ექვსკუთხა პრიზმა და მისი ძირითადი მახასიათებლები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სივრცითი გეომეტრია არის პრიზმების შესწავლა. მათი მნიშვნელოვანი მახასიათებლებია მათში შემავალი მოცულობა, ზედაპირის ფართობი და შემადგენელი ელემენტების რაოდენობა. სტატიაში განვიხილავთ ყველა ამ თვისებას ექვსკუთხა პრიზმისთვის.

რომელ პრიზმაზეა საუბარი?

ექვსკუთხა პრიზმა არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი მრავალკუთხედით ექვსი გვერდით და ექვსი კუთხით, და ექვსი პარალელოგრამი, რომლებიც აკავშირებს მონიშნულ ექვსკუთხედებს ერთ გეომეტრიულ ფორმირებაში.

სურათი გვიჩვენებს ამ პრიზმის მაგალითს.

წითლად მონიშნულ ექვსკუთხედს ფიგურის ფუძე ეწოდება. ცხადია, მისი ფუძეების რაოდენობა უდრის ორს და ორივე იდენტურია. პრიზმის ყვითელ-მომწვანო სახეებს მის გვერდებს უწოდებენ. ფიგურაში ისინი წარმოდგენილია კვადრატებით, მაგრამ ზოგადად ისინი პარალელოგრამებია.

ექვსკუთხა პრიზმა შეიძლება იყოს დახრილი და სწორი. პირველ შემთხვევაში ფუძესა და გვერდებს შორის კუთხეები სწორი არ არის, მეორეში უდრის 90o. ასევე, ეს პრიზმა შეიძლება იყოს სწორი და არასწორი. რეგულარული ექვსკუთხაპრიზმა სწორი უნდა იყოს და ძირში ჰქონდეს რეგულარული ექვსკუთხედი. ნახატზე ზემოთ მოცემული პრიზმა ამ მოთხოვნებს აკმაყოფილებს, ამიტომ მას სწორი ეწოდება. შემდგომ სტატიაში ჩვენ შევისწავლით მხოლოდ მის თვისებებს, როგორც ზოგადი შემთხვევა.

ელემენტები

ნებისმიერი პრიზმისთვის მისი ძირითადი ელემენტებია კიდეები, სახეები და წვეროები. ექვსკუთხა პრიზმა არ არის გამონაკლისი. ზემოთ მოცემული ფიგურა საშუალებას გაძლევთ დათვალოთ ამ ელემენტების რაოდენობა. ამრიგად, ვიღებთ 8 სახეს ან მხარეს (ორი ფუძე და ექვსი გვერდითი პარალელოგრამი), წვეროების რაოდენობა არის 12 (თითოეული ფუძისთვის 6 წვერო), ექვსკუთხა პრიზმის კიდეების რაოდენობა არის 18 (ექვსი გვერდითი და 12 ფუძეებისთვის).

1750-იან წლებში ლეონჰარდ ეილერმა (შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა) დაადგინა ყველა პოლიედრისთვის, რომელიც მოიცავს პრიზმას, მათემატიკურ ურთიერთობას მითითებულ ელემენტთა რიცხვებს შორის. ეს ურთიერთობა ასე გამოიყურება:

კიდეების რაოდენობა=სახეების რაოდენობა + წვეროების რაოდენობა - 2.

ზემოხსენებული ციფრები აკმაყოფილებს ამ ფორმულას.

პრიზმის დიაგონალები

ექვსკუთხა პრიზმის ყველა დიაგონალი შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:

• ისინი, რომლებიც წევენ მისი სახის სიბრტყეებში;
• ისინი, რომლებიც ეკუთვნის ფიგურის მთელ მოცულობას.

ქვემოთ სურათზე ნაჩვენებია ყველა ეს დიაგონალი.

ჩანს, რომ D₁ არის გვერდითი დიაგონალი, D₂ და D₃ არის დიაგონალები მთელ პრიზმაზე, D₄ და D_{5 - ფუძის დიაგონალები.}

გვერდების დიაგონალების სიგრძეები ერთმანეთის ტოლია.მათი გამოთვლა მარტივია ცნობილი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. მოდით a იყოს ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძე, b გვერდითი კიდის სიგრძე. მაშინ დიაგონალს აქვს სიგრძე:

D₁=√(a² + b^2).

დიაგონალი D₄ ასევე ადვილი დასადგენია. თუ გავიხსენებთ, რომ რეგულარული ექვსკუთხედი ჯდება წრეში a რადიუსით, მაშინ D_{4 არის ამ წრის დიამეტრი, ანუ მივიღებთ შემდეგ ფორმულას:}

D_4=2a.

დიაგონალი D₅ბაზის პოვნა გარკვეულწილად უფრო რთულია. ამისათვის განიხილეთ ტოლგვერდა სამკუთხედი ABC (იხ. ნახ.). მისთვის AB=BC=a, კუთხე ABC არის 120^{o. თუ ამ კუთხიდან ჩამოვაწევთ სიმაღლეს (ის ასევე იქნება ბისექტორი და მედიანა), მაშინ AC ფუძის ნახევარი უდრის:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC მხარე არის D_{5-ის დიაგონალი, ამიტომ მივიღებთ:}

D_5=AC=√3a.

ახლა რჩება რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის D₂და D_{3 დიაგონალების პოვნა. ამისათვის თქვენ უნდა ნახოთ, რომ ისინი შესაბამისი მართკუთხა სამკუთხედების ჰიპოტენუსებია. პითაგორას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

ამგვარად, უდიდესი დიაგონალი a და b-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის არისD_2.

ზედაპირის ფართობი

იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის სასწორზე, უმარტივესი გზაა განიხილოს ამ პრიზმის განვითარება. ეს ნაჩვენებია სურათზე.

შეიძლება ნახოთ, რომ განსახილველი ფიგურის ყველა მხარის ფართობის დასადგენად აუცილებელია ოთხკუთხედის ფართობის და ექვსკუთხედის ფართობის გამოთვლა, შემდეგ მათი გამრავლება. პრიზმაში თითოეული n-გონების რაოდენობის ტოლი შესაბამისი მთელი რიცხვებით და დაამატეთ შედეგები. ექვსკუთხედები 2, მართკუთხედები 6.

მართკუთხედის ფართობისთვის ვიღებთ:

S_1=ab.

მაშინ გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

S_2=6ab.

ექვსკუთხედის ფართობის დასადგენად, ყველაზე მარტივი გზაა შესაბამისი ფორმულის გამოყენება, რომელიც ასე გამოიყურება:

S=n/4a2ctg(pi/n).

ამ გამოსახულებაში n რიცხვის ტოლი 6 ჩანაცვლებით, მივიღებთ ერთი ექვსკუთხედის ფართობს:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

ეს გამოხატულება უნდა გავამრავლოთ ორზე, რათა მივიღოთ პრიზმის ფუძეების ფართობი:

S_os=3√3a^2.

დარჩენილია დაამატოთ S_os და S_{2 ფიგურის მთლიანი ზედაპირის ფართობის მისაღებად:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

პრიზმის მოცულობა

ფორმულის შემდეგექვსკუთხა ფუძის ფართობი, მოცემულ პრიზმაში შემავალი მოცულობის გამოთვლა ისეთივე მარტივია, როგორც მსხლის ჭურვი. ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ ერთი ფუძის (ექვსკუთხედის) ფართობი ფიგურის სიმაღლეზე, რომლის სიგრძე უდრის გვერდითი კიდის სიგრძეს. ჩვენ ვიღებთ ფორმულას:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლი იძლევა აბსოლუტურად ნებისმიერი პრიზმის მოცულობის მნიშვნელობას, ირიბის ჩათვლით. თუმცა, ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, სიმაღლის გამოთვლა რთულია, რადგან ის აღარ იქნება გვერდითი ნეკნის სიგრძის ტოლი. რაც შეეხება რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმას, მისი მოცულობის მნიშვნელობა ორი ცვლადის ფუნქციაა: გვერდები a და b.