სივრცითი ფიგურების მოცულობის განსაზღვრის უნარი მნიშვნელოვანია გეომეტრიული და პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად. ერთ-ერთი ასეთი ფიგურა არის პრიზმა. სტატიაში განვიხილავთ რა არის ეს და ვაჩვენებთ როგორ გამოვთვალოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა.
რა იგულისხმება პრიზმაში გეომეტრიაში?
ეს არის რეგულარული პოლიედონი (მრავალედონი), რომელიც წარმოიქმნება პარალელურ სიბრტყეში განლაგებული ორი იდენტური ფუძით და მონიშნული ფუძეების დამაკავშირებელი რამდენიმე პარალელოგრამით.
პრიზმის ფუძეები შეიძლება იყოს თვითნებური მრავალკუთხედები, როგორიცაა სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, შვიდკუთხედი და ა.შ. უფრო მეტიც, მრავალკუთხედის კუთხეების (გვერდების) რაოდენობა განსაზღვრავს ფიგურის სახელს.
ნებისმიერი პრიზმა n-gon ფუძით (n არის გვერდების რაოდენობა) შედგება n+2 გვერდისაგან, 2 × n წვეროებისა და 3 × n კიდეებისგან. მოცემული რიცხვებიდან ჩანს, რომ პრიზმის ელემენტების რაოდენობა შეესაბამება ეილერის თეორემას:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
ქვემოთ სურათზე ნაჩვენებია როგორ გამოიყურება მინისგან დამზადებული სამკუთხა და ოთხკუთხა პრიზები.
ფიგურების ტიპები. დახრილი პრიზმა
ზემოთ უკვე ითქვა, რომ პრიზმის სახელწოდება განისაზღვრება ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობით. თუმცა, მის სტრუქტურაში არის სხვა მახასიათებლები, რომლებიც განსაზღვრავს ფიგურის თვისებებს. ასე რომ, თუ ყველა პარალელოგრამი, რომელიც ქმნის პრიზმის გვერდით ზედაპირს, წარმოდგენილია მართკუთხედებით ან კვადრატებით, მაშინ ასეთ ფიგურას სწორი ხაზი ეწოდება. სწორი პრიზმისთვის, ფუძეებს შორის მანძილი უდრის ნებისმიერი მართკუთხედის გვერდითი კიდის სიგრძეს.
თუ ზოგიერთი ან ყველა გვერდი პარალელოგრამებია, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ დახრილ პრიზმაზე. მისი სიმაღლე უკვე გვერდითი ნეკნის სიგრძეზე ნაკლები იქნება.
კიდევ ერთი კრიტერიუმი, რომლითაც ხდება განხილული ფიგურების კლასიფიკაცია, არის გვერდების სიგრძე და ფუძეზე მრავალკუთხედის კუთხეები. თუ ისინი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ მრავალკუთხედი სწორი იქნება. სწორ ფიგურას ფუძეებზე რეგულარული მრავალკუთხედით რეგულარული ეწოდება. მოსახერხებელია მასთან მუშაობა ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის განსაზღვრისას. ამ მხრივ დახრილი პრიზმა გარკვეულ სირთულეებს წარმოშობს.
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს ორ პრიზმას კვადრატული ფუძით. 90° კუთხე გვიჩვენებს ფუნდამენტურ განსხვავებას სწორ და ირიბ პრიზმას შორის.
ფორმულა ფიგურის მოცულობის დასადგენად
სივრცის ნაწილს, რომელიც შემოიფარგლება პრიზმის სახეებით, ეწოდება მის მოცულობას. ნებისმიერი ტიპის განხილული ფიგურებისთვის ეს მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ფორმულით:
V=h × So
აქ, სიმბოლო h აღნიშნავს პრიზმის სიმაღლეს,რომელიც არის ორ ფუძეს შორის მანძილის საზომი. სიმბოლო So - ერთი ფუძის კვადრატი.
ბაზის ფართობის პოვნა მარტივია. თუ გავითვალისწინებთ მრავალკუთხედს რეგულარულია თუ არა, და თუ იცით მისი გვერდების რაოდენობა, უნდა გამოიყენოთ შესაბამისი ფორმულა და მიიღოთ So. მაგალითად, ჩვეულებრივი n-გონებისთვის a გვერდის სიგრძით, ფართობი იქნება:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
ახლა გადავიდეთ h სიმაღლეზე. სწორი პრიზმისთვის სიმაღლის დადგენა არ არის რთული, მაგრამ ირიბი პრიზმისთვის ეს არც ისე ადვილი საქმეა. მისი გადაჭრა შესაძლებელია სხვადასხვა გეომეტრიული მეთოდით, კონკრეტული საწყისი პირობებიდან დაწყებული. თუმცა, არსებობს ფიგურის სიმაღლის განსაზღვრის უნივერსალური გზა. მოკლედ აღვწეროთ.
იდეა ვიპოვოთ მანძილი სივრცეში წერტილიდან სიბრტყემდე. დავუშვათ, რომ სიბრტყე მოცემულია განტოლებით:
A × x+ B × y + C × z + D=0
მაშინ თვითმფრინავი იქნება მანძილზე:
სთ=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
თუ კოორდინატთა ღერძები განლაგებულია ისე, რომ წერტილი (0; 0; 0) მდებარეობს პრიზმის ქვედა ფუძის სიბრტყეში, მაშინ საბაზისო სიბრტყის განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
z=0
ეს ნიშნავს, რომ სიმაღლის ფორმულა დაიწერებაასე რომ:
სთ=z1
საკმარისია ზედა ფუძის ნებისმიერი წერტილის z-კოორდინატის პოვნა ფიგურის სიმაღლის დასადგენად.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს ოთხკუთხა პრიზმას. დახრილი პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით 10 სმ. აუცილებელია მისი მოცულობის გამოთვლა, თუ ცნობილია, რომ გვერდითი კიდის სიგრძეა 15 სმ, ხოლო შუბლის პარალელოგრამის მწვავე კუთხე 70 °.
რადგან ფიგურის h სიმაღლე ასევე პარალელოგრამის სიმაღლეა, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს მისი ფართობის დასადგენად h-ის საპოვნელად. ავღნიშნოთ პარალელოგრამის გვერდები შემდეგნაირად:
a=10 სმ;
b=15სმ
შეგიძლიათ დაწეროთ მისთვის შემდეგი ფორმულები S ფართობის დასადგენადp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
საიდან მივიღებთ:
h=b × sin (α)
აქ α არის პარალელოგრამის მახვილი კუთხე. ვინაიდან ფუძე არის კვადრატი, დახრილი პრიზმის მოცულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას:
V=a2 × b × sin (a)
პირობის მონაცემებს ვცვლით ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს: V ≈ 1410 სმ3.
