სიმრავლეების მაგალითზე მიმართებების ფართო სპექტრს ახლავს ცნებების დიდი რაოდენობა, დაწყებული მათი განმარტებებით და დამთავრებული პარადოქსების ანალიტიკური ანალიზით. კომპლექტის შესახებ სტატიაში განხილული კონცეფციის მრავალფეროვნება უსასრულოა. თუმცა, როდესაც ვსაუბრობთ ორმაგ ტიპებზე, ეს ნიშნავს ორობით ურთიერთობას რამდენიმე მნიშვნელობას შორის. ასევე ობიექტებსა თუ განცხადებებს შორის.
როგორც წესი, ორობითი ურთიერთობები აღინიშნება R სიმბოლოთი, ანუ თუ xRx ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის R ველიდან, ასეთ თვისებას რეფლექსური ეწოდება, რომელშიც x და x არის მიღებული აზრის ობიექტები. და R ემსახურება თუ არა ინდივიდებს შორის ურთიერთობის სხვა ფორმას. ამავდროულად, თუ თქვენ გამოხატავთ xRy® ან yRx, მაშინ ეს მიუთითებს სიმეტრიის მდგომარეობაზე, სადაც ® არის იმპლიკაციური ნიშანი, რომელიც მსგავსია კავშირის „თუ … მაშინ …“. და ბოლოს, დეკოდირება წარწერა (xRy Ùy Rz) ®xRz მოგვითხრობს გარდამავალ ურთიერთობაზე, ხოლო ნიშანი Ù არის შეერთება.
ბინარულ მიმართებას, რომელიც არის როგორც რეფლექსური, ასევე სიმეტრიული და გარდამავალი, ეწოდება ეკვივალენტურ ურთიერთობას. კავშირი f არის ფუნქცია, ხოლო y=z ტოლობა Î f-დან და Î f-დან გამომდინარეობს. მარტივი ორობითი ფუნქციის გამოყენება მარტივად შეიძლებაორ მარტივ არგუმენტს გარკვეული თანმიმდევრობით და მხოლოდ ამ შემთხვევაში აძლევს მას მნიშვნელობას, რომელიც მიმართულია კონკრეტულ შემთხვევაში აღებულ ამ ორ გამონათქვამზე.
უნდა ითქვას, რომ f ასახავს x-ს y-ს,
თუ f არის ფუნქცია x დიაპაზონით და y დიაპაზონით. თუმცა, როდესაც f ექსტრაპოლაციას უწევს x-ს y-ს და y Í z-ს, ეს იწვევს f აჩვენებს x-ს z-ში. მარტივი მაგალითი: თუ f(x)=2x ჭეშმარიტია ნებისმიერი მთელი x-ისთვის, მაშინ ამბობენ, რომ f ასახავს ყველა ცნობილი მთელი რიცხვის ხელმოწერილი სიმრავლეს იმავე მთელი რიცხვების სიმრავლეს, მაგრამ ამჯერად ლუწი რიცხვებს. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ორობითი ურთიერთობები, რომლებიც არის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი, არის ეკვივალენტური ურთიერთობები.
ზემოხსენებულიდან გამომდინარე, ორობითი მიმართებების ეკვივალენტური მიმართებები განისაზღვრება თვისებებით:
- რეფლექსურობა - თანაფარდობა (M ~ N);
- სიმეტრიები - თუ ტოლობა არის M ~ N, მაშინ იქნება N ~ M;
- ტრანზიტულობა - თუ ორი ტოლია M ~ N და N ~ P, მაშინ შედეგად M ~ P.
მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ორობითი ურთიერთობების დეკლარირებული თვისებები. რეფლექსურობა არის გარკვეული კავშირების ერთ-ერთი მახასიათებელი, სადაც შესწავლილი სიმრავლის თითოეული ელემენტი თავისთვის მოცემულ თანასწორობაშია. მაგალითად, a=c და a³ c რიცხვებს შორის არის რეფლექსური კავშირები, რადგან ყოველთვის a=a, c=c, a³ a, c³ c. ამავდროულად, a>c უტოლობის მიმართება ანტირეფლექსურია a>a უტოლობის არსებობის შეუძლებლობის გამო. ამ თვისების აქსიომა დაშიფრულია ნიშნებით: aRc®aRa Ù cRc, აქ სიმბოლო ® ნიშნავს სიტყვას "მოიცავს" (ან "ასახავს"), ხოლო ნიშანი Ù - არის კავშირი "და" (ან კავშირი). ამ განცხადებადან გამომდინარეობს, რომ თუ განაჩენი aRc მართალია, გამოთქმები aRa და cRc ასევე მართალია.
სიმეტრია გულისხმობს ურთიერთობის არსებობას მაშინაც კი, თუ გონებრივი ობიექტების ურთიერთგაცვლა ხდება, ანუ სიმეტრიული ურთიერთობით, ობიექტების გადალაგება არ იწვევს "ორობითი ურთიერთობების" ტიპის ტრანსფორმაციას. მაგალითად, თანასწორობის მიმართება a=c სიმეტრიულია c=a მიმართების ეკვივალენტობის გამო; წინადადება a¹c ასევე იგივეა, რადგან იგი შეესაბამება კავშირს¹a-სთან.
გარდამავალი სიმრავლე არის თვისება, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნას: y н x, z н y ® z н x, სადაც ® არის ნიშანი, რომელიც ცვლის სიტყვებს: "თუ …, მაშინ …". ფორმულა სიტყვიერად იკითხება შემდეგნაირად: "თუ y დამოკიდებულია x-ზე, z ეკუთვნის y-ს, მაშინ z ასევე დამოკიდებულია x-ზე".
