რა არის ცვლადები? ცვლადი მათემატიკაში

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

ცვლადების მნიშვნელობა მათემატიკაში დიდია, რადგან მისი არსებობის მანძილზე მეცნიერებმა მოახერხეს მრავალი აღმოჩენის გაკეთება ამ სფეროში და ამა თუ იმ თეორემის მოკლედ და მკაფიოდ ჩამოყალიბების მიზნით ვიყენებთ ცვლადებს შესაბამისი ფორმულების დასაწერად.. მაგალითად, პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედზე: a² =b² + c^{2. როგორ დავწეროთ ყოველ ჯერზე ამოცანის ამოხსნისას: პითაგორას თეორემის მიხედვით, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს - ამას ვწერთ ფორმულით და ყველაფერი მაშინვე ცხადი ხდება.}

ასე რომ, ეს სტატია განიხილავს რა არის ცვლადები, მათი ტიპები და თვისებები. ასევე განიხილება სხვადასხვა მათემატიკური გამოთქმები: უტოლობები, ფორმულები, სისტემები და მათი ამოხსნის ალგორითმები.

ცვლადი კონცეფცია

პირველ რიგში, რა არის ცვლადი? ეს არის რიცხვითი მნიშვნელობა, რომელსაც შეუძლია მრავალი მნიშვნელობის მიღება. ის არ შეიძლება იყოს მუდმივი, რადგან სხვადასხვა ამოცანებში და განტოლებებში, მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვიღებთ ამონახსნებს როგორცცვლადი სხვადასხვა რიცხვი, ანუ, მაგალითად, z არის ზოგადი აღნიშვნა თითოეული სიდიდისთვის, რომლიდანაც იგი აღებულია. ჩვეულებრივ ისინი აღნიშნავენ ლათინური ან ბერძნული ანბანის ასოებით (x, y, a, b და ასე შემდეგ).

არსებობს სხვადასხვა სახის ცვლადები. ისინი ადგენენ როგორც ზოგიერთ ფიზიკურ სიდიდეს - გზას (S), დროს (t) და უბრალოდ უცნობ მნიშვნელობებს განტოლებებში, ფუნქციებში და სხვა გამოსახულებებში.

მაგალითად, არსებობს ფორმულა: S=Vt. აქ ცვლადები აღნიშნავენ რეალურ სამყაროსთან დაკავშირებულ გარკვეულ სიდიდეებს - გზას, სიჩქარეს და დროს.

და არსებობს ფორმის განტოლება: 3x - 16=12x. აქ x უკვე აღებულია, როგორც აბსტრაქტული რიცხვი, რომელსაც აქვს აზრი ამ აღნიშვნით.

რაოდენობების ტიპები

თანხა ნიშნავს იმას, რაც გამოხატავს გარკვეული საგნის, ნივთიერების ან ფენომენის თვისებებს. მაგალითად, ჰაერის ტემპერატურა, ცხოველის წონა, ვიტამინების პროცენტი ტაბლეტში - ეს ყველაფერი ის რაოდენობაა, რომელთა რიცხვითი მნიშვნელობების გამოთვლა შესაძლებელია.

თითოეულ რაოდენობას აქვს საკუთარი საზომი ერთეულები, რომლებიც ერთად ქმნიან სისტემას. მას უწოდებენ რიცხვთა სისტემას (SI).

რა არის ცვლადები და მუდმივები? განვიხილოთ ისინი კონკრეტული მაგალითებით.

ავიღოთ მართკუთხა ერთგვაროვანი მოძრაობა. სივრცეში წერტილი ყოველ ჯერზე ერთი და იგივე სიჩქარით მოძრაობს. ანუ იცვლება დრო და მანძილი, მაგრამ სიჩქარე იგივე რჩება. ამ მაგალითში დრო და მანძილი ცვლადებია, ხოლო სიჩქარე მუდმივი.

ან, მაგალითად, "pi". ეს არის ირაციონალური რიცხვი, რომელიც გრძელდება გამეორების გარეშეციფრების თანმიმდევრობა და სრულად ჩაწერა შეუძლებელია, ამიტომ მათემატიკაში იგი გამოიხატება ზოგადად მიღებული სიმბოლოთი, რომელიც იღებს მხოლოდ მოცემული უსასრულო წილადის მნიშვნელობას. ანუ „pi“არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ისტორია

ცვლადების აღნიშვნის ისტორია იწყება მეჩვიდმეტე საუკუნეში მეცნიერ რენე დეკარტთან.

მან დაასახელა ცნობილი მნიშვნელობები ანბანის პირველი ასოებით: a, b და ასე შემდეგ, ხოლო უცნობისთვის მან შესთავაზა ბოლო ასოების გამოყენება: x, y, z. საგულისხმოა, რომ დეკარტი ასეთ ცვლადებს არაუარყოფით რიცხვებად თვლიდა და უარყოფითი პარამეტრების წინაშე ცვლადის წინ მინუს ნიშანს აყენებდა ან თუ არ იცოდა რა ნიშანი იყო რიცხვი, ელიფსისი. მაგრამ დროთა განმავლობაში, ცვლადების სახელებმა დაიწყეს ნებისმიერი ნიშნის რიცხვის აღნიშვნა და ეს დაიწყო მათემატიკოს იოჰან ჰადესთან.

ცვლადებით, მათემატიკაში გამოთვლები უფრო ადვილი ამოსახსნელია, რადგან, მაგალითად, როგორ ამოვხსნათ ახლა ბიკვადრატული განტოლებები? ჩვენ შევიყვანთ ცვლადს. მაგალითად:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2-სთვის ჩვენ ვიღებთ გარკვეულ k-ს და განტოლება ნათელი ხდება:

x2=k, k ≧ 0-ისთვის

k2 + 15k + 7=0

აი რას მოაქვს მათემატიკაში ცვლადების შემოღება.

უტოლობა, ამონახსნების მაგალითები

უტოლობა არის ჩანაწერი, რომელშიც ორი მათემატიკური გამოსახულება ან ორი რიცხვი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული შედარების ნიშნებით:, ≦, ≧. ისინი მკაცრია და მითითებულია ნიშნებით ან არა მკაცრი ნიშნებით ≦, ≧.

პირველად შემოვიდა ეს ნიშნებითომას ჰარიოტი. თომას გარდაცვალების შემდეგ გამოიცა მისი წიგნი ამ აღნიშვნებით, მათემატიკოსებს მოეწონათ ისინი და დროთა განმავლობაში ისინი ფართოდ გამოიყენეს მათემატიკურ გამოთვლებში.

არის რამდენიმე წესი, რომელიც უნდა დაიცვათ ერთი ცვლადის უტოლობების ამოხსნისას:

რიცხვის გადატანისას უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადაიტანეთ მისი ნიშანი საპირისპიროდ.
უტოლობის ნაწილების უარყოფით რიცხვზე გამრავლებისას ან გაყოფისას მათი ნიშნები შებრუნებულია.
თუ უტოლობის ორივე მხარეს გაამრავლებთ ან გაყოფთ დადებით რიცხვზე, მიიღებთ ორიგინალის ტოლ უტოლობას.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს ცვლადის ყველა სწორი მნიშვნელობის პოვნას.

ერთი ცვლადის მაგალითი:

10x - 50 > 150

ჩვეულებრივი წრფივი განტოლების მსგავსად ვხსნით - ტერმინებს ცვლადით გადავიტანთ მარცხნივ, ცვლადის გარეშე - მარჯვნივ და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:

10x > 200

ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს 10-ზე და ვიღებთ:

x > 20

სიცხადისთვის, უტოლობის ამოხსნის მაგალითში ერთი ცვლადით, დახაზეთ რიცხვითი წრფე, მონიშნეთ მასზე გაჭრილი წერტილი 20, რადგან უტოლობა მკაცრია და ეს რიცხვი არ შედის მისი ამონახსნების სიმრავლეში..

ამ უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი (20; +∞).

არამკაცრი უტოლობის ამოხსნა ხორციელდება ისევე, როგორც მკაცრი:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

მაგრამ არის ერთი გამონაკლისი. x ≧ 5 ფორმის ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: x მეტია ან ტოლია ხუთზე, რაც ნიშნავსრიცხვი ხუთი შედის უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლეში, ანუ პასუხის წერისას ხუთი რიცხვის წინ ვსვამთ კვადრატულ ფრჩხილს.

x ∈ [5; +∞)

კვადრატული უტოლობა

თუ ავიღებთ ax2 ფორმის კვადრატულ განტოლებას + bx +c=0 და ტოლობის ნიშანს შევცვლით მასში არსებული უტოლობის ნიშნით, მაშინ შესაბამისად მივიღებთ კვადრატული უტოლობა.

კვადრატული უტოლობის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა შეძლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

y=ax2 + bx + c არის კვადრატული ფუნქცია. ჩვენ შეგვიძლია მისი ამოხსნა დისკრიმინანტის ან ვიეტას თეორემის გამოყენებით. გაიხსენეთ როგორ წყდება ეს განტოლებები:

1) y=x2 + 12x + 11 - ფუნქცია პარაბოლაა. მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, ვინაიდან კოეფიციენტის ნიშანი „a“დადებითია.

2) x2 + 12x + 11=0 - უდრის ნულს და ამოხსენით დისკრიმინანტის გამოყენებით.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 ფესვი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით მივიღებთ:

x₁ =-1, x_2=-11

ან შეგიძლიათ ამოხსნათ ეს განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

შერჩევის მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ განტოლების იგივე ფესვებს.

პარაბოლა

ასე რომ, კვადრატული უტოლობის ამოხსნის პირველი გზა არის პარაბოლა. მისი ამოხსნის ალგორითმი ასეთია:

1. დაადგინეთ სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები.

2.გააუტოლეთ ფუნქცია ნულს და იპოვეთ განტოლების ფესვები.

3. ვაშენებთ რიცხვით წრფეს, ვნიშნავთ მასზე ფესვებს, ვხატავთ პარაბოლას და ვპოულობთ საჭირო უფსკრული უტოლობის ნიშნის მიხედვით.

უტოლობის ამოხსნა x2 + x - 12 > 0

ჩაწერეთ ფუნქცია:

1) y=x2 + x - 12 - პარაბოლა, ტოტები ზემოთ.

დააყენეთ ნულზე.

2) x2 + x -12=0

შემდეგ, ვხსნით კვადრატული განტოლების სახით და ვპოულობთ ფუნქციის ნულებს:

x₁ =3, x_2=-4

3) დახაზეთ რიცხვითი წრფე მასზე 3 და -4 წერტილებით. პარაბოლა გაივლის მათში, განშტოდება და უტოლობაზე პასუხი იქნება დადებითი მნიშვნელობების სიმრავლე, ანუ (-∞; -4), (3; +∞)..

ინტერვალის მეთოდი

მეორე გზა არის ინტერვალის მეთოდი. მისი ამოხსნის ალგორითმი:

1. იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლის უტოლობა ნულის ტოლია.

2. ჩვენ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით ხაზზე. ამრიგად, ის იყოფა რამდენიმე ინტერვალად.

3. განსაზღვრეთ ნებისმიერი ინტერვალის ნიშანი.

4. ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს დარჩენილ ინტერვალებში, ვცვლით მათ ერთის შემდეგ.

უტოლობის ამოხსნა (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) უტოლობა ნულები: 4, 5 და -7.

2) დახაზეთ ისინი რიცხვით წრფეზე.

3) განსაზღვრეთ ინტერვალების ნიშნები.

პასუხი: (-∞; -7]; [4; 5].

კიდევ ერთი უტოლობის ამოხსნა: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. უტოლობის ნულები: 0, 2, -2 და 1.

2. მონიშნეთ ისინი რიცხვით ხაზზე.

3.განსაზღვრეთ ინტერვალის ნიშნები.

ხაზი დაყოფილია ინტერვალებად - -2-დან 0-მდე, 0-დან 1-მდე, 1-დან 2-მდე.

მიიღეთ მნიშვნელობა პირველ ინტერვალზე - (-1). ჩანაცვლება უთანასწორობაში. ამ მნიშვნელობით უტოლობა დადებითი ხდება, რაც ნიშნავს, რომ ნიშანი ამ ინტერვალზე იქნება +.

შემდეგ, დაწყებული პირველი უფსკრულიდან, ვაწყობთ ნიშანს, ვცვლით მათ ერთის შემდეგ.

უტოლობა მეტია ნულზე, ანუ თქვენ უნდა იპოვოთ დადებითი მნიშვნელობების ნაკრები ხაზზე.

პასუხი: (-2; 0), (1; 2).

განტოლებათა სისტემები

განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით არის ორი განტოლება, რომლებიც შეერთებულია ხვეული ფრჩხილით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამონახსნის პოვნა.

სისტემები შეიძლება იყოს ეკვივალენტური, თუ ერთი მათგანის ზოგადი ამონახსნი არის მეორის ამონახსნი, ან ორივეს არ აქვს ამონახსნები.

შევისწავლით განტოლებათა სისტემების ამოხსნას ორი ცვლადით. მათი გადაჭრის ორი გზა არსებობს - ჩანაცვლების მეთოდი ან ალგებრული მეთოდი.

ალგებრული მეთოდი

ამ მეთოდით სურათზე ნაჩვენები სისტემის ამოსახსნელად, ჯერ უნდა გაამრავლოთ მისი ერთ-ერთი ნაწილი ასეთ რიცხვზე, რათა მოგვიანებით ორმხრივად გააუქმოთ ერთი ცვლადი განტოლების ორივე ნაწილიდან. აქ ვამრავლებთ სამზე, ვხაზავთ ხაზს სისტემის ქვეშ და ვაგროვებთ მის ნაწილებს. შედეგად, x ხდება იდენტური მოდულით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით და ჩვენ ვამცირებთ მათ. შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ წრფივ განტოლებას ერთი ცვლადით და ვხსნით მას.

ჩვენ ვიპოვეთ Y, მაგრამ აქ ვერ გავჩერდებით, რადგან X ჯერ ვერ ვიპოვეთ. შემცვლელიY იმ ნაწილამდე, საიდანაც მოსახერხებელი იქნება X-ის ამოღება, მაგალითად:

-x + 5y=8, y=1

-x + 5=8

ამოხსენით მიღებული განტოლება და იპოვეთ x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

სისტემის ამოხსნაში მთავარია პასუხის სწორად ჩაწერა. ბევრი სტუდენტი უშვებს შეცდომას წერისას:

პასუხი: -3, 1.

მაგრამ ეს არასწორი ჩანაწერია. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ჩვენ ვეძებთ ზოგად ამოხსნას მისი ნაწილებისთვის. სწორი პასუხი იქნება:

(-3; 1)