მიმართულების ვექტორი პირდაპირი: განმარტება და მაგალითები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ობიექტი, რომელიც შესწავლილია ბრტყელ სივრცეში არის სწორი ხაზი. სამგანზომილებიან სივრცეში, გარდა სწორი ხაზისა, არის თვითმფრინავიც. ორივე ობიექტი მოხერხებულად არის განსაზღვრული მიმართულების ვექტორების გამოყენებით. რა არის ეს, როგორ გამოიყენება ეს ვექტორები სწორი ხაზისა და სიბრტყის განტოლებების დასადგენად? ეს და სხვა კითხვები განხილულია სტატიაში.

პირდაპირი ხაზი და როგორ განვსაზღვროთ იგი

თითოეულ მოსწავლეს აქვს კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტზეა საუბარი. მათემატიკის თვალსაზრისით, სწორი ხაზი არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებიც მათი თვითნებური წყვილური კავშირის შემთხვევაში იწვევს პარალელური ვექტორების სიმრავლეს. ხაზის ეს განმარტება გამოიყენება მისი განტოლების დასაწერად როგორც ორ, ასევე სამ განზომილებაში.

განხილული ერთგანზომილებიანი ობიექტის აღსაწერად გამოიყენება სხვადასხვა ტიპის განტოლებები, რომლებიც ჩამოთვლილია ქვემოთ მოცემულ სიაში:

• ზოგადი ხედი;
• პარამეტრული;
• ვექტორი;
• კანონიკური ან სიმეტრიული;
• სეგმენტებში.

თითოეულ ამ სახეობას აქვს გარკვეული უპირატესობები სხვებთან შედარებით. მაგალითად, სეგმენტებში განტოლება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სწორი ხაზის ქცევის შესწავლისას კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, ზოგადი განტოლება მოსახერხებელია მოცემულ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარული მიმართულების პოვნისას, აგრეთვე მისი კუთხის გაანგარიშებისას. გადაკვეთა x ღერძთან (ბრტყელი შემთხვევისთვის).

რადგან ამ სტატიის თემა დაკავშირებულია სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორთან, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ განტოლებას, სადაც ეს ვექტორი ფუნდამენტურია და შეიცავს ცალსახად, ანუ ვექტორულ გამოსახულებას.

სწორი ხაზის მითითება ვექტორში

დავუშვათ, რომ გვაქვს v¯ ვექტორი ცნობილი კოორდინატებით (a; b; c). ვინაიდან სამი კოორდინატია, ვექტორი მოცემულია სივრცეში. როგორ გამოვსახოთ ის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში? ეს კეთდება ძალიან მარტივად: სამივე ღერძზე თითოეულზე გამოსახულია სეგმენტი, რომლის სიგრძე უდრის ვექტორის შესაბამის კოორდინატს. xy, yz და xz სიბრტყეებზე აღდგენილი სამი პერპენდიკულარულის გადაკვეთის წერტილი იქნება ვექტორის დასასრული. მისი დასაწყისია წერტილი (0; 0; 0).

მიუხედავად ამისა, ვექტორის მოცემული პოზიცია არ არის ერთადერთი. ანალოგიურად, შეიძლება დავხატოთ v¯ მისი საწყისი სივრცის თვითნებურ წერტილში განთავსებით. ეს არგუმენტები ამბობენ, რომ შეუძლებელია კონკრეტული ხაზის დაყენება ვექტორის გამოყენებით. ის განსაზღვრავს უსასრულო რაოდენობის პარალელური წრფეების ოჯახს.

ახლადააფიქსირეთ სივრცის P(x₀; y₀; z_{0). და ჩვენ ვაყენებთ პირობას: სწორი ხაზი უნდა გაიაროს P-ზე. ამ შემთხვევაში ვექტორი v¯ ასევე უნდა შეიცავდეს ამ წერტილს. ბოლო ფაქტი ნიშნავს, რომ ერთი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს P და v¯ გამოყენებით. ის დაიწერება შემდეგი განტოლების სახით:}

Q=P + λ × v¯

აქ Q არის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის წრფეს. ამ წერტილის მიღება შესაძლებელია შესაბამისი პარამეტრის λ არჩევით. დაწერილ განტოლებას ეწოდება ვექტორული განტოლება, ხოლო v¯ ეწოდება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს. მისი განლაგებით, რათა გაიაროს P-ზე და სიგრძის λ პარამეტრით შეცვლით, ვიღებთ Q-ის თითოეულ წერტილს სწორ ხაზად.

კოორდინატთა სახით განტოლება დაიწერება შემდეგნაირად:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; გ)}

და აშკარა (პარამეტრული) ფორმით შეგიძლიათ დაწეროთ:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

თუ გამოვრიცხავთ მესამე კოორდინატს ზემოაღნიშნულ გამონათქვამებში, მაშინ მივიღებთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის ვექტორულ განტოლებებს.

რა ამოცანებისთვის არის სასარგებლო მიმართულების ვექტორის ცოდნა ?

როგორც წესი, ეს არის ამოცანები წრფეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის დასადგენად. ასევე, პირდაპირი ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს მიმართულებას, გამოიყენება სწორ ხაზებსა და წერტილსა და სწორ ხაზს შორის მანძილის გაანგარიშებისას, რათა აღწეროს სწორი ხაზის ქცევა სიბრტყესთან მიმართებაში.

ორიხაზები იქნება პარალელური, თუ მათი მიმართულების ვექტორები არის. შესაბამისად, წრფეების პერპენდიკულურობა დასტურდება მათი ვექტორების პერპენდიკულარობის გამოყენებით. ამ ტიპის ამოცანებში პასუხის მისაღებად საკმარისია განხილული ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლა.

წრფეებსა და წერტილებს შორის მანძილის გამოთვლის ამოცანების შემთხვევაში მიმართულების ვექტორი ცალსახად შედის შესაბამის ფორმულაში. მოდი ჩავწეროთ:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

აქ P₁P₂¯ - აგებულია P₁ და P წერტილებზე ₂ მიმართული სეგმენტი. წერტილი P₂ არის თვითნებური, მდებარეობს v¯ ვექტორთან არსებულ წრფეზე, ხოლო წერტილი P_{1 არის ის, სადაც მანძილი უნდა იყოს. განისაზღვროს. ის შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ან მიეკუთვნებოდეს სხვა ხაზს ან სიბრტყეს.}

გაითვალისწინეთ, რომ აზრი აქვს წრფეებს შორის მანძილის გამოთვლას მხოლოდ მაშინ, როდესაც ისინი პარალელურია ან იკვეთება. თუ ისინი იკვეთებიან, მაშინ d არის ნული.

d-ის ზემოაღნიშნული ფორმულა ასევე მოქმედებს სიბრტყესა და მის პარალელურ სწორ ხაზს შორის მანძილის გამოსათვლელად, მხოლოდ ამ შემთხვევაში სიბრტყეს უნდა ეკუთვნოდეს P_1.

მოდით გადავწყვიტოთ რამდენიმე პრობლემა, რათა უკეთ ვაჩვენოთ, როგორ გამოვიყენოთ განხილული ვექტორი.

ვექტორული განტოლების ამოცანა

ცნობილია, რომ სწორი ხაზი აღწერილია შემდეგი განტოლებით:

y=3 × x - 4

თქვენ უნდა ჩაწეროთ შესაბამისი გამოთქმავექტორული ფორმა.

ეს არის სწორი ხაზის ტიპიური განტოლება, რომელიც ცნობილია ყველა სკოლის მოსწავლისთვის, დაწერილი ზოგადი ფორმით. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა გადავიწეროთ იგი ვექტორული ფორმით.

გამოხატვა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

ჩანს, რომ თუ გახსნით, მიიღებთ თავდაპირველ ტოლობას. ახლა მის მარჯვენა მხარეს ვყოფთ ორ ვექტორად ისე, რომ მხოლოდ ერთი მათგანი შეიცავს x, გვაქვს:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

რჩება x ამოიღოთ ფრჩხილებიდან, აღვნიშნოთ იგი ბერძნული სიმბოლოთი და შევცვალოთ მარჯვენა მხარის ვექტორები:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

მივიღეთ ორიგინალური გამოხატვის ვექტორული ფორმა. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებია (1; 3).

სტრიქონების ფარდობითი პოზიციის განსაზღვრის ამოცანა

სივრცეში მოცემულია ორი ხაზი:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

ისინი პარალელურია, კვეთენ თუ იკვეთებიან?

არანულოვანი ვექტორები (-1; 3; 1) და (1; 2; 0) იქნება სახელმძღვანელო ამ ხაზებისთვის. მოდით გამოვხატოთ ეს განტოლებები პარამეტრული ფორმით და ჩავანაცვლოთ პირველის კოორდინატები მეორეში. ჩვენ ვიღებთ:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

შეცვალეთ ნაპოვნი პარამეტრი λ ზემოთ მოცემულ ორ განტოლებაში, მივიღებთ:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

პარამეტრი γ არ შეუძლია მიიღოს ორი განსხვავებული მნიშვნელობა ერთდროულად. ეს ნიშნავს, რომ ხაზებს არ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, ანუ ისინი იკვეთებიან. ისინი არ არიან პარალელური, ვინაიდან არანულოვანი ვექტორები ერთმანეთის პარალელურად არ არიან (მათი პარალელურობისთვის უნდა არსებობდეს რიცხვი, რომელიც ერთ ვექტორზე გამრავლებით მიგვიყვანს მეორის კოორდინატებამდე).

თვითმფრინავის მათემატიკური აღწერა

სივრცეში სიბრტყის დასაყენებლად ჩვენ ვაძლევთ ზოგად განტოლებას:

A × x + B × y + C × z + D=0

აქ ლათინური დიდი ასოები წარმოადგენს კონკრეტულ რიცხვებს. პირველი სამი მათგანი განსაზღვრავს სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს. თუ იგი აღინიშნება n¯-ით, მაშინ:

n¯=(A; B; C)

ეს ვექტორი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ამიტომ მას სახელმძღვანელო ეწოდება. მისი ცოდნა, ისევე როგორც სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის ცნობილი კოორდინატები, ცალსახად განსაზღვრავს ამ უკანასკნელს.

თუ წერტილი P(x₁; y₁; z_{1) ეკუთვნის სიბრტყე, შემდეგ D კვეთა გამოითვლება შემდეგნაირად:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

მოდით გადავწყვიტოთ რამდენიმე ამოცანა სიბრტყის ზოგადი განტოლების გამოყენებით.

დავალებასიბრტყის ნორმალური ვექტორის პოვნა

თვითმფრინავი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

როგორ მოვძებნოთ მიმართულების ვექტორი მისთვის?

ზემოხსენებული თეორიიდან გამომდინარეობს, რომ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები n¯ არის კოეფიციენტები ცვლადების წინ. ამასთან დაკავშირებით, n¯-ს საპოვნელად, განტოლება უნდა დაიწეროს ზოგადი ფორმით. ჩვენ გვაქვს:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

მაშინ სიბრტყის ნორმალური ვექტორია:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

სიბრტყის განტოლების შედგენის ამოცანა

მოცემულია სამი წერტილის კოორდინატები:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

როგორი იქნება ყველა ამ წერტილის შემცველი სიბრტყის განტოლება.

სამი წერტილის გავლით, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე წრფეს, მხოლოდ ერთი სიბრტყის დახატვა შეიძლება. მისი განტოლების საპოვნელად, ჯერ გამოვთვალოთ n¯ სიბრტყის მიმართულების ვექტორი. ამისათვის ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად: ჩვენ ვპოულობთ თვითნებურ ორ ვექტორს, რომლებიც მიეკუთვნება თვითმფრინავს და გამოვთვალოთ მათი ვექტორული ნამრავლი. ის მისცემს ვექტორს, რომელიც იქნება ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული, ანუ n¯. ჩვენ გვაქვს:

M₁M₂¯=(1; -1; 5); M₁M_{3¯=(-1; -2; -2);}

n¯=[M₁M₂¯ × M₁M 3_{¯]=(12; -3; -3)}

მიიღეთ წერტილი M_{1დასახატავადთვითმფრინავის გამონათქვამები. ჩვენ ვიღებთ:}

D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;

12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>

4 × x - y - z - 4=0

ჩვენ მივიღეთ ზოგადი ტიპის გამოხატულება სიბრტყისთვის სივრცეში, ჯერ მისთვის მიმართულების ვექტორის განსაზღვრით.

ჯვარედინი პროდუქტის თვისება უნდა გვახსოვდეს სიბრტყეებით ამოცანების ამოხსნისას, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად განსაზღვროთ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.