მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ფუნდამენტური განყოფილება არის ინტეგრალური გამოთვლები. იგი მოიცავს ობიექტების ყველაზე ფართო ველს, სადაც პირველი განუსაზღვრელი ინტეგრალია. ღირს მისი პოზიციონირება, როგორც გასაღები, რომელიც უმაღლეს სკოლაშიც კი ავლენს მზარდი რაოდენობის პერსპექტივებსა და შესაძლებლობებს, რომლებსაც უმაღლესი მათემატიკა აღწერს.
გარეგნობა
ერთი შეხედვით, ინტეგრალი სრულიად თანამედროვე, აქტუალური ჩანს, მაგრამ პრაქტიკაში აღმოჩნდება, რომ ის ჯერ კიდევ ძვ.წ. 1800 წელს გაჩნდა. ეგვიპტე ოფიციალურად ითვლება სამშობლოდ, რადგან მისი არსებობის ადრინდელი მტკიცებულება ჩვენამდე არ მოაღწია. ის, ინფორმაციის ნაკლებობის გამო, მთელი ეს დრო უბრალოდ ფენომენად იყო პოზიციონირებული. მან კიდევ ერთხელ დაადასტურა მეცნიერების განვითარების დონე იმდროინდელ ხალხებში. საბოლოოდ, ნაპოვნი იქნა ძველი ბერძენი მათემატიკოსების ნაშრომები, რომლებიც თარიღდება ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV საუკუნით. მათ აღწერეს მეთოდი, სადაც გამოიყენებოდა განუსაზღვრელი ინტეგრალი, რომლის არსი იყო მრუდი ფიგურის მოცულობის ან ფართობის პოვნა (სამგანზომილებიანიდა ორგანზომილებიანი სიბრტყეები, შესაბამისად). გაანგარიშების პრინციპი ეფუძნებოდა თავდაპირველი ფიგურის უსასრულოდ მცირე კომპონენტებად დაყოფას, იმ პირობით, რომ მათი მოცულობა (ფართობი) უკვე ცნობილია. დროთა განმავლობაში, მეთოდი გაიზარდა, არქიმედესმა გამოიყენა იგი პარაბოლის ფართობის მოსაძებნად. მსგავს გამოთვლებს აწარმოებდნენ მეცნიერები ძველ ჩინეთში და ისინი სრულიად დამოუკიდებელნი იყვნენ თავიანთი ბერძენი კოლეგებისგან მეცნიერებაში.
განვითარება
მომდევნო მიღწევა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-11 საუკუნეში იყო არაბი მეცნიერის-„უნივერსალური“აბუ ალი ალ-ბასრის ნაშრომი, რომელმაც გადალახა უკვე ცნობილის საზღვრები, გამოიტანა ფორმულები, რომლებიც დაფუძნებულია ჯამების გამოთვლის ინტეგრალზე. მწკრივებისა და პირველიდან მეოთხემდე ძალაუფლების ჯამებით, ამისთვის ჩვენთვის ცნობილი მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით.
თანამედროვე დროის გონება აღფრთოვანებულია, თუ როგორ ქმნიდნენ ძველი ეგვიპტელები გასაოცარ არქიტექტურულ ძეგლებს რაიმე სპეციალური ხელსაწყოების გარეშე, შესაძლოა ხელების გარდა, მაგრამ განა იმდროინდელი მეცნიერების გონების ძალა არანაკლებ სასწაულია? დღევანდელთან შედარებით, მათი ცხოვრება თითქმის პრიმიტიული ჩანს, მაგრამ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნა ყველგან იყო მიღებული და პრაქტიკაში შემდგომი განვითარებისთვის გამოიყენებოდა.
შემდეგი ნაბიჯი გადადგა მე-16 საუკუნეში, როდესაც იტალიელმა მათემატიკოსმა კავალიერიმ შეიმუშავა განუყოფელთა მეთოდი, რომელიც აირჩია პიერ ფერმამ. სწორედ ამ ორმა პიროვნებამ ჩაუყარა საფუძველი თანამედროვე ინტეგრალურ კალკულუსს, რომელიც ამჟამად ცნობილია. მათ ერთმანეთთან დააკავშირეს დიფერენციაციისა და ინტეგრაციის ცნებები, რომლებიც ადრე იყოგანიხილება როგორც ავტონომიური ერთეულები. ზოგადად, იმდროინდელი მათემატიკა იყო ფრაგმენტული, დასკვნების ნაწილაკები დამოუკიდებლად არსებობდა, შეზღუდული მასშტაბით. გაერთიანებისა და საერთო ენის ძიების გზა იმ დროისთვის ერთადერთი ჭეშმარიტი იყო, რომლის წყალობითაც თანამედროვე მათემატიკურმა ანალიზმა მიიღო ზრდისა და განვითარების შესაძლებლობა.
ყველაფერი შეიცვალა დროთა განმავლობაში, ინტეგრალის აღნიშვნის ჩათვლით. ზოგადად, მეცნიერებმა ის აუცილებლად აღნიშნეს, მაგალითად, ნიუტონმა გამოიყენა კვადრატული ხატი, რომელშიც მან მოათავსა ინტეგრირებადი ფუნქცია ან უბრალოდ დადო მის გვერდით.
ეს შეუსაბამობა გაგრძელდა მე-17 საუკუნემდე, სანამ მეცნიერმა გოტფრიდ ლაიბნიცმა, მათემატიკური ანალიზის მთელი თეორიის საეტაპო, ჩვენთვის ასე ნაცნობი სიმბოლო შემოიტანა. წაგრძელებული "S" მართლაც დაფუძნებულია ლათინური ანბანის ამ ასოზე, რადგან ის აღნიშნავს ანტიწარმოებულთა ჯამს. ინტეგრალმა მიიღო სახელი იაკობ ბერნულის წყალობით 15 წლის შემდეგ.
ფორმალური განმარტება
განუსაზღვრელი ინტეგრალი პირდაპირ დამოკიდებულია ანტიწარმოებულის განსაზღვრებაზე, ამიტომ ჯერ განვიხილოთ იგი.
ანტიწარმოებული არის ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს წარმოებულის ინვერსიას, პრაქტიკაში მას ასევე პრიმიტიულს უწოდებენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში: d ფუნქციის ანტიდერივატი არის D ფუნქცია, რომლის წარმოებული ტოლია v V'=v. ანტიწარმოებულის ძიება არის განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლა და ამ პროცესს თავად ინტეგრაცია ჰქვია.
მაგალითი:
ფუნქცია s(y)=y3 და მისი ანტიდერივატი S(y)=(y4/4).
განხილული ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი, იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ∫v(x)dx.
იმის გამო, რომ V(x) არის ორიგინალური ფუნქციის მხოლოდ ზოგიერთი ანტიწარმოებული, გამოთქმა ხდება: ∫v(x)dx=V(x) + C, სადაც C არის მუდმივი. თვითნებური მუდმივი არის ნებისმიერი მუდმივი, რადგან მისი წარმოებული ტოლია ნულის.
თვისებები
თვისებები, რომლებიც გააჩნია განუსაზღვრელ ინტეგრალს, ეფუძნება ძირითად განმარტებას და წარმოებულების თვისებებს.
მოდით გადავხედოთ ძირითად პუნქტებს:
- ანტიწარმოებულის წარმოებული ინტეგრალი არის თავად ანტიწარმოებული პლუს თვითნებური მუდმივი С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- ფუნქციის ინტეგრალის წარმოებული არის ორიგინალური ფუნქცია (∫v(x)dx)'=v(x);
- მუდმივი ამოღებულია ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, სადაც k არის თვითნებური;
- ჯამიდან აღებული ინტეგრალი იდენტურად უდრის ინტეგრალების ჯამს ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
ბოლო ორი თვისებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალი წრფივია. ამის წყალობით გვაქვს: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
გასაერთიანებლად განიხილეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნის მაგალითები.
აუცილებელია ვიპოვოთ ინტეგრალი ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
მაგალითიდან შეგვიძლია დავასკვნათ:არ იცი როგორ ამოხსნა განუსაზღვრელი ინტეგრალები? უბრალოდ იპოვე ყველა პრიმიტივი! მაგრამ ძიების პრინციპები განიხილება ქვემოთ.
მეთოდები და მაგალითები
ინტეგრალის ამოსახსნელად შეგიძლიათ მიმართოთ შემდეგ მეთოდებს:
- გამოიყენეთ მომზადებული ცხრილი;
- ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით;
- ინტეგრაცია ცვლადის შეცვლით;
- მოტანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
მაგიდები
ყველაზე მარტივი და სასიამოვნო გზა. ამ დროისთვის მათემატიკური ანალიზი ამაყობს საკმაოდ ვრცელი ცხრილებით, რომლებშიც დაწერილია განუსაზღვრელი ინტეგრალების ძირითადი ფორმულები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის შაბლონები, რომლებიც შემუშავებულია თქვენამდე და თქვენთვის, რჩება მხოლოდ მათი გამოყენება. აქ არის ცხრილის ძირითადი პოზიციების სია, რომლიდანაც შეგიძლიათ მიიღოთ თითქმის ყველა მაგალითი, რომელსაც აქვს გამოსავალი:
- ∫0dy=C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫dy=y + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, სადაც C არის მუდმივი და n - არაერთი რიცხვი;
- ∫(1/წ)dy=ln|y| + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫eydy=ey + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫cosydy=siny + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫sinydy=-მყუდრო + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, სადაც C არის მუდმივი;
- ∫chydy=მორცხვი + C, სადაც C -მუდმივი;
- ∫shydy=chy + C, სადაც C არის მუდმივი.
საჭიროების შემთხვევაში გადადგით ორიოდე ნაბიჯი, მიიტანეთ ინტეგრანი ცხრილის ფორმამდე და ისიამოვნეთ გამარჯვებით. მაგალითი: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
ამოხსნის მიხედვით ირკვევა, რომ ტაბულური მაგალითისთვის ინტეგრანდს აკლია კოეფიციენტი 5. ვამატებთ, ვამრავლებთ 1/5-ზე პარალელურად ისე, რომ ზოგადი გამოხატულება არ შეიცვალოს.
ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით
განვიხილოთ ორი ფუნქცია - z(y) და x(y). ისინი მუდმივად უნდა იყოს დიფერენცირებადი დეფინიციის მთელ დომენში. ერთ-ერთი დიფერენციაციის თვისების მიხედვით გვაქვს: d(xz)=xdz + zdx. განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირებით მივიღებთ: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
მიღებული ტოლობის გადაწერით, ვიღებთ ფორმულას, რომელიც აღწერს ინტეგრაციის მეთოდს ნაწილების მიხედვით: ∫zdx=zx - ∫xdz.
რატომ არის საჭირო? საქმე იმაშია, რომ ზოგიერთი მაგალითის გამარტივება შესაძლებელია, პირობითად რომ ვთქვათ, ∫zdx-ის შემცირება ∫xdz-მდე, თუ ეს უკანასკნელი ახლოსაა ცხრილის ფორმასთან. ასევე, ამ ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია არაერთხელ, ოპტიმალური შედეგის მისაღწევად.
როგორ ამოხსნათ განუსაზღვრელი ინტეგრალები ამ გზით:
საჭიროა გამოთვლა ∫(s + 1)e2sდს
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
უნდა გამოვთვალოთ ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
ცვლადი ჩანაცვლება
განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნის ეს პრინციპი არანაკლებ მოთხოვნადია, ვიდრე ორი წინა, თუმცა უფრო რთულია. მეთოდი ასეთია: მოდით V(x) იყოს ზოგიერთი v(x) ფუნქციის ინტეგრალი. იმ შემთხვევაში, თუ თავად ინტეგრალი მაგალითში აღმოჩნდება, როგორც რთული, დიდია ალბათობა იმისა, რომ დაბნეული იყოს და გადაჭრის არასწორი გზა აიღო. ამის თავიდან ასაცილებლად ხდება x ცვლადიდან z-ზე გადასვლა, რომელშიც ზოგადი გამოხატულება ვიზუალურად გამარტივებულია z-ის დამოკიდებულების შენარჩუნებით x-ზე..
მათემატიკურად ასე გამოიყურება: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), სადაც x=y(z) არის ჩანაცვლება. და, რა თქმა უნდა, შებრუნებული ფუნქცია z=y-1(x) სრულად აღწერს ცვლადების დამოკიდებულებას და ურთიერთობას. მნიშვნელოვანი შენიშვნა - დიფერენციალი dx აუცილებლად შეიცვლება ახალი დიფერენციალით dz, ვინაიდან ცვლადის ჩანაცვლება განუსაზღვრელ ინტეგრალში გულისხმობს მის ჩანაცვლებას ყველგან და არა მხოლოდ ინტეგრანდში.
მაგალითი:
უნდა იპოვოთ ∫(s + 1) / (s2 + 2წ - 5)დს
გამოიყენეთ ჩანაცვლება z=(s+1)/(s2+2s-5). შემდეგ dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. შედეგად მივიღებთ შემდეგ გამოთქმას, რომლის გამოთვლაც ძალიან მარტივია:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
უნდა იპოვოთ ინტეგრალი∫2sesdx
გადასაჭრელად, ჩვენ გადავწერთ გამონათქვამს შემდეგი ფორმით:
∫2sesდს=∫(2e)sწ.
აღნიშნეთ a=2e-ით (ეს ნაბიჯი არ არის არგუმენტის შემცვლელი, ის მაინც არის s), მივყავართ ჩვენი ერთი შეხედვით რთული ინტეგრალი ელემენტარულ ცხრილის ფორმამდე:
∫(2e)sდ=∫asდს=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანა
ძირითადად, განუსაზღვრელი ინტეგრალების ეს მეთოდი არის ცვლადის ცვლილების პრინციპის ტყუპი ძმა, მაგრამ არსებობს განსხვავებები დიზაინის პროცესში. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.
თუ ∫v(x)dx=V(x) + C და y=z(x), მაშინ ∫v(y)dy=V(y) + C.
ამ შემთხვევაში არ უნდა დავივიწყოთ ტრივიალური ინტეგრალური გარდაქმნები, რომელთა შორის:
- dx=d(x + a), სადაც a არის ნებისმიერი მუდმივი;
- dx=(1 / a)d(ax + b), სადაც a არის ისევ მუდმივი, მაგრამ არა ტოლი ნულის;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
თუ განვიხილავთ ზოგად შემთხვევას, როდესაც ვიანგარიშებთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს, მაგალითები შეიძლება შეჯამდეს ზოგადი ფორმულით w'(x)dx=dw(x).
მაგალითები:
უნდა იპოვოთ ∫(2s + 3)2წ, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2წმ=1/2∫(2s + 3)2d (2s + 3)=(1/2) x ((2წ +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
ონლაინ დახმარება
ზოგიერთ შემთხვევაში, რომლის ბრალი შეიძლება იყოს ან სიზარმაცე ან გადაუდებელი საჭიროება, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ რჩევები, უფრო სწორად, გამოიყენოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალური კალკულატორი. ინტეგრალების ყველა აშკარა სირთულისა და სადავოობის მიუხედავად, მათი გადაწყვეტა ექვემდებარება გარკვეულ ალგორითმს, რომელიც ეფუძნება პრინციპს "თუ არა …, მაშინ …".
რა თქმა უნდა, ასეთი კალკულატორი არ დაეუფლება განსაკუთრებით რთულ მაგალითებს, რადგან არის შემთხვევები, როდესაც გამოსავალი უნდა მოიძებნოს ხელოვნურად, პროცესში გარკვეული ელემენტების "იძულებით" შეყვანა, რადგან შედეგის მიღწევა შეუძლებელია აშკარად. გზები. მიუხედავად ამ განცხადების ყველა წინააღმდეგობისა, ეს მართალია, რადგან მათემატიკა, პრინციპში, აბსტრაქტული მეცნიერებაა და თავის უპირველეს ამოცანად მიიჩნევს შესაძლებლობების საზღვრების გაფართოების აუცილებლობას. მართლაც, ძალიან რთულია ასვლა და განვითარება გლუვი, გაშვებული თეორიების მიხედვით, ამიტომ არ უნდა ვივარაუდოთ, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც ჩვენ მოვიყვანეთ, არის შესაძლებლობების სიმაღლე. მაგრამ დავუბრუნდეთ ტექნიკურ მხარეს. ყოველ შემთხვევაში, გამოთვლების შესამოწმებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სერვისები, რომლებშიც ყველაფერი ჩვენამდე იყო დაწერილი. თუ საჭიროა რთული გამოხატვის ავტომატური გაანგარიშება, მაშინ მათი გაუქმება შეუძლებელია, თქვენ მოგიწევთ უფრო სერიოზულ პროგრამულ უზრუნველყოფას მიმართოთ. ღირს ყურადღება მიაქციოთ პირველ რიგში MatLab გარემოს.
აპლიკაცია
განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამონახსნი ერთი შეხედვით სრულიად არ არის შეხება რეალობასთან, რადგან ძნელია აპლიკაციის აშკარა სფეროების დანახვა. მართლაც, ისინი არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას პირდაპირ სადმე, მაგრამ ისინი განიხილება აუცილებელ შუალედურ ელემენტად პრაქტიკაში გამოყენებული გადაწყვეტილებების მიღების პროცესში. ასე რომ, ინტეგრაცია დიფერენციაციის ინვერსიულია, რის გამოც იგი აქტიურად მონაწილეობს განტოლებების ამოხსნის პროცესში.
თავის მხრივ, ეს განტოლებები პირდაპირ გავლენას ახდენს მექანიკური ამოცანების გადაწყვეტაზე, ტრაექტორიების გამოთვლაზე და თბოგამტარობაზე - მოკლედ, ყველაფერს, რაც ქმნის აწმყოს და აყალიბებს მომავალს. განუსაზღვრელი ინტეგრალი, რომლის მაგალითებიც ზემოთ განვიხილეთ, მხოლოდ ერთი შეხედვით ტრივიალურია, რადგან ის უფრო და უფრო მეტი ახალი აღმოჩენის საფუძველია.
