ცილინდრი არის ერთ-ერთი მარტივი სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც შეისწავლება სკოლის გეომეტრიის კურსში (განყოფილება მყარი გეომეტრია). ამ შემთხვევაში ხშირად წარმოიქმნება პრობლემები ცილინდრის მოცულობისა და მასის გამოთვლაში, აგრეთვე მისი ზედაპირის ფართობის განსაზღვრისას. მონიშნულ კითხვებზე პასუხები მოცემულია ამ სტატიაში.
რა არის ცილინდრი?
სანამ კითხვაზე პასუხის გაცემამდე, რა არის ცილინდრის მასა და მოცულობა, ღირს გავითვალისწინოთ რა არის ეს სივრცითი ფიგურა. დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ცილინდრი არის სამგანზომილებიანი ობიექტი. ანუ სივრცეში შეგიძლიათ გაზომოთ მისი სამი პარამეტრი თითოეული ღერძის გასწვრივ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. სინამდვილეში, ცილინდრის ზომების ცალსახად დასადგენად, საკმარისია ვიცოდეთ მისი მხოლოდ ორი პარამეტრი.
ცილინდრი არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია ორი წრით და ცილინდრული ზედაპირით. ამ ობიექტის უფრო მკაფიოდ წარმოსადგენად საკმარისია აიღოთ მართკუთხედი და დაიწყოთ მისი ბრუნვა მისი რომელიმე მხარის გარშემო, რომელიც იქნება ბრუნვის ღერძი. ამ შემთხვევაში, მბრუნავი მართკუთხედი აღწერს ფორმასროტაცია - ცილინდრი.
ორი მრგვალი ზედაპირი ეწოდება ცილინდრის ფუძეს, მათ ახასიათებთ გარკვეული რადიუსი. ფუძეებს შორის მანძილს სიმაღლე ეწოდება. ორი ფუძე ერთმანეთთან დაკავშირებულია ცილინდრული ზედაპირით. ხაზს, რომელიც გადის ორივე წრის ცენტრს, ეწოდება ცილინდრის ღერძი.
მოცულობა და ზედაპირის ფართობი
როგორც ზემოდან ხედავთ, ცილინდრი განისაზღვრება ორი პარამეტრით: სიმაღლე h და მისი ფუძის r რადიუსი. ამ პარამეტრების ცოდნით შესაძლებელია განხილული სხეულის ყველა სხვა მახასიათებლის გამოთვლა. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი:
- ბაზების ფართობი. ეს მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით: S1=2pir2, სადაც pi უდრის 3, 14-ს. ციფრი 2 ფორმულაში ჩანს, რადგან ცილინდრს ორი იდენტური საფუძველი აქვს.
- ცილინდრული ზედაპირის ფართობი. მისი გამოთვლა შეიძლება ასე: S2=2pirh. ამ ფორმულის გაგება მარტივია: თუ ცილინდრული ზედაპირი ვერტიკალურად გადაიჭრება ერთი ფუძიდან მეორეზე და გაფართოვდება, მაშინ მიიღება მართკუთხედი, რომლის სიმაღლე ტოლი იქნება ცილინდრის სიმაღლეზე, ხოლო სიგანე შეესაბამება სამგანზომილებიანი ფიგურის ფუძის გარშემოწერილობა. ვინაიდან მიღებული მართკუთხედის ფართობი არის მისი გვერდების ნამრავლი, რომლებიც უდრის h და 2pir, მიიღება ზემოაღნიშნული ფორმულა.
- ცილინდრის ზედაპირის ფართობი. ის უდრის S1 და S2 ფართობების ჯამს, მივიღებთ: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- ტომი. ამ მნიშვნელობის პოვნა მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ ერთი ფუძის ფართობი ფიგურის სიმაღლეზე: V=(S1/2)h=pir 2 სთ.
ცილინდრის მასის განსაზღვრა
დაბოლოს, ღირს პირდაპირ სტატიის თემაზე გადასვლა. როგორ განვსაზღვროთ ცილინდრის მასა? ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ მისი მოცულობა, გაანგარიშების ფორმულა, რომელიც ზემოთ იყო წარმოდგენილი. და იმ ნივთიერების სიმკვრივე, საიდანაც იგი შედგება. მასა განისაზღვრება მარტივი ფორმულით: m=ρV, სადაც ρ არის მასალის სიმკვრივე, რომელიც ქმნის მოცემულ ობიექტს.
სიმკვრივის ცნება ახასიათებს ნივთიერების მასას, რომელიც არის სივრცის ერთეული მოცულობის. Მაგალითად. ცნობილია, რომ რკინას უფრო მაღალი სიმკვრივე აქვს, ვიდრე ხე. ეს ნიშნავს, რომ რკინისა და ხის მასალის თანაბარი მოცულობის შემთხვევაში, პირველს ექნება ბევრად უფრო დიდი მასა, ვიდრე მეორეს (დაახლოებით 16-ჯერ).
სპილენძის ცილინდრის მასის გამოთვლა
განიხილეთ მარტივი პრობლემა. აუცილებელია სპილენძისგან დამზადებული ცილინდრის მასის პოვნა. სიზუსტისთვის, ცილინდრის დიამეტრი 20 სმ და სიმაღლე 10 სმ.
სანამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ წყაროს მონაცემებს. ცილინდრის რადიუსი უდრის მისი დიამეტრის ნახევარს, რაც ნიშნავს r=20/2=10 სმ, ხოლო სიმაღლე არის h=10 სმ. ვინაიდან ამოცანაში განხილული ცილინდრი დამზადებულია სპილენძისგან, მაშინ, ვგულისხმობთ საცნობარო მონაცემები, ჩვენ ვწერთ ამ მასალის სიმკვრივის მნიშვნელობას: ρ=8, 96 გ/სმ3 (ტემპერატურისთვის 20 °C).
ახლა შეგიძლიათ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჯერ გამოვთვალოთ მოცულობა: V=pir2სთ=3, 14(10)210=3140 სმ3. მაშინ ცილინდრის მასა იქნება: m=ρV=8,963140=28134 გრამი ან დაახლოებით 28 კილოგრამი.
თქვენ ყურადღება უნდა მიაქციოთ ერთეულების განზომილებას მათი გამოყენებისას შესაბამის ფორმულებში. ასე რომ, პრობლემაში ყველა პარამეტრი წარმოდგენილი იყო სანტიმეტრებში და გრამებში.
ერთგვაროვანი და ღრუ ცილინდრები
ზემოთ მიღებული შედეგიდან ჩანს, რომ შედარებით მცირე ზომის (10 სმ) სპილენძის ცილინდრს აქვს დიდი მასა (28 კგ). ეს განპირობებულია არა მხოლოდ იმით, რომ იგი დამზადებულია მძიმე მასალისგან, არამედ იმითაც, რომ იგი ერთგვაროვანია. ამ ფაქტის გაგება მნიშვნელოვანია, რადგან მასის გამოსათვლელად ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცილინდრი მთლიანად (გარედან და შიგნით) დამზადებულია ერთი და იგივე მასალისგან, ანუ ის არის ერთგვაროვანი.
პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება ღრუ ცილინდრები (მაგალითად, ცილინდრული კასრები წყლისთვის). ანუ რაღაც მასალის თხელი ფურცლებით კეთდება, შიგნით კი ცარიელია. ღრუ ცილინდრისთვის არ შეიძლება გამოყენებული იქნას მასის გამოსათვლელი მითითებული ფორმულა.
ღარი ცილინდრის მასის გამოთვლა
საინტერესოა გამოვთვალოთ რა მასა ექნება სპილენძის ცილინდრის შიგნით თუ ცარიელია. მაგალითად, დამზადდეს თხელი სპილენძის ფურცლისგან, რომლის სისქე მხოლოდ d=2 მმ.
ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ თავად სპილენძის მოცულობა, საიდანაც მზადდება ობიექტი. არა ცილინდრის მოცულობა. რადგან სისქეფურცელი მცირეა ცილინდრის ზომებთან შედარებით (d=2 მმ და r=10 სმ), შემდეგ სპილენძის მოცულობა, საიდანაც მზადდება ობიექტი, შეგიძლიათ იპოვოთ ცილინდრის მთელი ზედაპირის ფართობის გამრავლებით. სპილენძის ფურცლის სისქე ვიღებთ: V=dS 3=d2pir(r+h). წინა ამოცანის მონაცემების ჩანაცვლებით მივიღებთ: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 სმ3. ღრუ ცილინდრის მასის მიღება შესაძლებელია სპილენძის მიღებული მოცულობის გამრავლებით, რომელიც საჭირო იყო მისი წარმოებისთვის, სპილენძის სიმკვრივით: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 გ ან 2.3 კგ. ანუ, განხილული ღრუ ცილინდრი იწონის 12 (28, 1/2, 3)-ჯერ ნაკლებს, ვიდრე ერთგვაროვანი.
