ინტეგრალის ცნების გაჩენა განპირობებული იყო მისი წარმოებულის მიერ ანტიდერივატიული ფუნქციის პოვნის აუცილებლობით, აგრეთვე სამუშაოს მოცულობის, რთული ფიგურების ფართობის, გავლილი მანძილის დადგენით. არაწრფივი ფორმულებით აღწერილი მრუდებით გამოსახული პარამეტრები.
კურსიდან
და ფიზიკამ იცის, რომ სამუშაო უდრის ძალისა და მანძილის ნამრავლს. თუ ყველა მოძრაობა ხდება მუდმივი სიჩქარით ან მანძილი გადალახულია იმავე ძალის გამოყენებით, მაშინ ყველაფერი ნათელია, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ ისინი. რა არის მუდმივის ინტეგრალი? ეს არის y=kx+c ფორმის წრფივი ფუნქცია.
მაგრამ მუშაობის დროს ძალა შეიძლება შეიცვალოს და რაღაც ბუნებრივ დამოკიდებულებაში. იგივე სიტუაციაა გავლილი მანძილის გაანგარიშებისას, თუ სიჩქარე არ არის მუდმივი.
მაშ, გასაგებია, რისთვის არის ინტეგრალი. მისი განმარტება, როგორც ფუნქციის მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამი არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით, სრულად აღწერს ამ კონცეფციის მთავარ მნიშვნელობას, როგორც ფიგურის ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან ფუნქციის ხაზით და კიდეები განმარტების საზღვრებით.
ჟან გასტონ დარბუ, ფრანგი მათემატიკოსი, XIX საუკუნის მეორე ნახევარში.საუკუნეში ძალიან მკაფიოდ ახსნა რა არის ინტეგრალი. მან ისე ნათლად აჩვენა, რომ ზოგადად უმცროსი სკოლის მოსწავლესაც არ გაუჭირდება ამ საკითხის გაგება.
ვთქვათ, რომ არსებობს რაიმე რთული ფორმის ფუნქცია. y-ღერძი, რომელზედაც დახატულია არგუმენტის მნიშვნელობები, იყოფა მცირე ინტერვალებად, იდეალურად ისინი უსასრულოდ მცირეა, მაგრამ რადგან უსასრულობის ცნება საკმაოდ აბსტრაქტულია, საკმარისია წარმოვიდგინოთ მხოლოდ მცირე სეგმენტები, მნიშვნელობა. რომელთაგან ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასო Δ (დელტა).
ფუნქცია აღმოჩნდა "დაჭრილი" პატარა კუბიკებად.
თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება y-ღერძზე არსებულ წერტილს, რომელზეც გამოსახულია შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები. მაგრამ რადგან არჩეულ ზონას აქვს ორი საზღვარი, ასევე იქნება ფუნქციის ორი მნიშვნელობა, მეტი და ნაკლები.
უფრო დიდი მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამს Δ ნამატით ეწოდება დიდი დარბოს ჯამი და აღინიშნება როგორც S. შესაბამისად, უფრო მცირე მნიშვნელობები შეზღუდულ ფართობზე, გამრავლებული Δ-ზე, ყველა ერთად. შექმენით პატარა დარბოს ჯამი s. თავად მონაკვეთი წააგავს მართკუთხა ტრაპეციას, ვინაიდან ფუნქციის ხაზის გამრუდება მისი უსასრულოდ მცირე ნაზრდით შეიძლება უგულებელყო. ასეთი გეომეტრიული ფიგურის ფართობის პოვნის უმარტივესი გზაა ფუნქციის უფრო დიდი და მცირე მნიშვნელობის ნამრავლების დამატება Δ-ნამატით და ორზე გაყოფა, ანუ მისი არითმეტიკული საშუალოდ განსაზღვრა.
აი რა არის Darboux ინტეგრალი:
s=Σf(x) Δ არის მცირე რაოდენობა;
S=Σf(x+Δ)Δ არის დიდი ჯამი.
მაშ რა არის ინტეგრალი? ფუნქციის ხაზით შემოსაზღვრული ფართობი და განსაზღვრების საზღვრები იქნება:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
ანუ დიდი და პატარა Darboux ჯამების არითმეტიკული საშუალო.c არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც დაყენებულია ნულზე დიფერენციაციის დროს.
ამ კონცეფციის გეომეტრიული გამოხატულებიდან გამომდინარე, ინტეგრალის ფიზიკური მნიშვნელობა ცხადი ხდება. ფიგურის ფართობი, გამოკვეთილი სიჩქარის ფუნქციით და შეზღუდული დროის ინტერვალით აბსცისის ღერძის გასწვრივ, იქნება გავლილი ბილიკის სიგრძე.
L=∫f(x)dx t1-დან t2-მდე ინტერვალზე, სად
f(x) - სიჩქარის ფუნქცია, ანუ ფორმულა, რომლითაც ის იცვლება დროთა განმავლობაში;
L – ბილიკის სიგრძე;
t1 – დაწყების დრო;
t2 - მოგზაურობის დასრულების დრო.
ზუსტად იგივე პრინციპით დგინდება სამუშაოს ოდენობა, მხოლოდ მანძილი დაიხაზება აბსცისის გასწვრივ, ხოლო თითოეულ კონკრეტულ წერტილში გამოყენებული ძალის ოდენობა გამოისახება ორდინატზე.
