დასაწყებად, ღირს გვახსოვდეს, რა არის დიფერენციალი და რა მათემატიკური მნიშვნელობა აქვს მას.
ფუნქციის დიფერენციალი არის არგუმენტიდან ფუნქციის წარმოებულის და თავად არგუმენტის დიფერენციალური პროდუქტი. მათემატიკურად, ეს ცნება შეიძლება დაიწეროს როგორც გამოხატულება: dy=y'dx.
თავის მხრივ, ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრის მიხედვით, ტოლობა y'=lim dx-0(dy/dx) მართალია, ხოლო ზღვრის განსაზღვრის მიხედვით გამოსახულება dy/dx.=x'+α, სადაც პარამეტრი α არის უსასრულოდ მცირე მათემატიკური მნიშვნელობა.
აქედან გამომდინარე, გამოხატვის ორივე ნაწილი უნდა გამრავლდეს dx-ზე, რაც საბოლოოდ იძლევა dy=y'dx+αdx, სადაც dx არის უსასრულოდ მცირე ცვლილება არგუმენტში, (αdx) არის მნიშვნელობა. რომელიც შეიძლება უგულებელვყოთ, მაშინ dy არის ფუნქციის ზრდა და (ydx) არის ნამატის ან დიფერენციალის ძირითადი ნაწილი.
ფუნქციის დიფერენციალი არის ფუნქციის წარმოებულის და არგუმენტის დიფერენციალური ნამრავლი.
ახლა ღირს დიფერენციაციის ძირითადი წესების გათვალისწინება, რომლებიც საკმაოდ ხშირად გამოიყენება მათემატიკური ანალიზისას.
თეორემა. ჯამის წარმოებული უდრის ტერმინებიდან მიღებული წარმოებულების ჯამს: (a+c)'=a'+c'.
ანალოგიურადეს წესი ასევე გამოიყენება სხვაობის წარმოებულის პოვნაზე.
ამ დიფერენციაციის წესის შედეგია განცხადება, რომ გარკვეული რაოდენობის ტერმინების წარმოებული უდრის ამ ტერმინებიდან მიღებული წარმოებულების ჯამს..
მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთქმის (a+c-k)' წარმოებულის პოვნა, მაშინ შედეგი იქნება გამოხატულება a'+c'-k'.
თეორემა. მათემატიკური ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული, რომლებიც დიფერენცირებადია წერტილში, უდრის ჯამს, რომელიც შედგება პირველი ფაქტორის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულისაგან და მეორე ფაქტორისა და პირველის წარმოებულის ნამრავლისაგან.
მათემატიკურად, თეორემა დაიწერება შემდეგნაირად: (ac)'=ac'+a'c. თეორემის შედეგია დასკვნა, რომ პროდუქტის წარმოებულში მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს ფუნქციის წარმოებულიდან.
ალგებრული გამოთქმის სახით ეს წესი დაიწერება შემდეგნაირად: (ac)'=ac', სადაც a=const.
მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთქმის (2a3)' წარმოებულის პოვნა, მაშინ შედეგი იქნება პასუხი: 2(a3)'=23a2=6a2.
თეორემა. ფუნქციების შეფარდების წარმოებული უდრის შეფარდებას მრიცხველის წარმოებულს შორის გამრავლებულ მნიშვნელზე და მრიცხველს შორის გამრავლებული მნიშვნელის წარმოებულსა და მნიშვნელის კვადრატზე.
მათემატიკურად, თეორემა დაიწერება შემდეგნაირად: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
დასკვნის სახით, აუცილებელია გავითვალისწინოთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესები.
თეორემა. მოდით ფუნქცია y \u003d f (x), სადაც x \u003d c (t), შემდეგ ფუნქცია y, მიმართებითm ცვლადს ეწოდება კომპლექსი.
ამგვარად, მათემატიკური ანალიზისას რთული ფუნქციის წარმოებული ინტერპრეტირებულია, როგორც თავად ფუნქციის წარმოებული, გამრავლებული მისი ქვეფუნქციის წარმოებულზე. მოხერხებულობისთვის რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესები წარმოდგენილია ცხრილის სახით.
f(x) |
f'(x) |
| (1/წ)' | -(1/წ2)s' |
| (ას)' | ac(ln a)c' |
| (ეს)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/წ)s' |
| (შესვლაc)' | 1/(სlg a)c' |
| (ცოდვა გ)' | cos ss' |
| (cos c)' | -ცოდვა ss' |
ამ ცხრილის რეგულარული გამოყენებით, წარმოებულები ადვილად დასამახსოვრებელია. რთული ფუნქციების დარჩენილი წარმოებულების პოვნა შესაძლებელია ფუნქციების დიფერენცირების წესების გამოყენებით, რომლებიც მითითებული იყო თეორემებში და მათთან დაკავშირებულ შედეგებში.
