ყველა სტუდენტს სმენია მრგვალი კონუსის შესახებ და წარმოიდგენს როგორ გამოიყურება ეს სამგანზომილებიანი ფიგურა. ეს სტატია განსაზღვრავს კონუსის განვითარებას, აწვდის ფორმულებს, რომლებიც აღწერს მის მახასიათებლებს და აღწერს, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ იგი კომპასის, პროტრაქტორისა და სწორხაზის გამოყენებით.
წრიული კონუსი გეომეტრიაში
მოდი მივცეთ ამ ფიგურის გეომეტრიული განმარტება. მრგვალი კონუსი არის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზის სეგმენტებით, რომლებიც აკავშირებენ გარკვეული წრის ყველა წერტილს სივრცეში ერთ წერტილთან. ეს ერთი წერტილი არ უნდა ეკუთვნოდეს სიბრტყეს, რომელშიც წრე მდებარეობს. თუ წრის ნაცვლად ავიღებთ წრეს, მაშინ ეს მეთოდიც კონუსამდე მივყავართ.
წრე ეწოდება ფიგურის ფუძეს, მის გარშემოწერილობას არის მიმართულება. წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტებს მიმართულებასთან ეწოდება გენერატორები ან გენერატორები, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილი არის კონუსის წვერო.
მრგვალი კონუსი შეიძლება იყოს სწორი და ირიბი. ორივე ფიგურა ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
მათ შორის განსხვავება ასეთია: თუ კონუსის ზემოდან პერპენდიკულარი ზუსტად წრის ცენტრამდე ეცემა, მაშინ კონუსი სწორი იქნება. მისთვის პერპენდიკულარი, რომელსაც ფიგურის სიმაღლეს უწოდებენ, მისი ღერძის ნაწილია. ირიბი კონუსის შემთხვევაში სიმაღლე და ღერძი ქმნიან მახვილ კუთხეს.
ფიგურის სიმარტივის და სიმეტრიის გამო, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა კონუსის თვისებებს, რომელსაც აქვს მრგვალი ფუძე.
ფორმის მიღება ბრუნვის გამოყენებით
კონუსის ზედაპირის განვითარების განხილვის დაწყებამდე სასარგებლოა ვიცოდეთ, როგორ შეიძლება ამ სივრცითი ფიგურის მიღება ბრუნვის გამოყენებით.
ვთქვათ, რომ გვაქვს მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b, c. პირველი ორი მათგანი ფეხებია, c არის ჰიპოტენუზა. დავდოთ სამკუთხედი a ფეხზე და დავიწყოთ მისი შემოტრიალება ბ ფეხის გარშემო. შემდეგ c ჰიპოტენუზა აღწერს კონუსურ ზედაპირს. კონუსის ეს მარტივი ტექნიკა ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე.
ცხადია, ფეხი a იქნება ფიგურის ფუძის რადიუსი, ფეხი b იქნება მისი სიმაღლე, ხოლო c ჰიპოტენუზა შეესაბამება მარჯვენა მრგვალი კონუსის გენერაციას.
კონუსის განვითარების ხედი
როგორც შეიძლება მიხვდეთ, კონუსი წარმოიქმნება ორი სახის ზედაპირისგან. ერთ-ერთი მათგანია ბრტყელი ფუძის წრე. დავუშვათ, რომ მას აქვს რადიუსი r. მეორე ზედაპირი გვერდითია და მას კონუსური ეწოდება. დაე მისი გენერატორი ტოლი იყოს g.
თუ გვაქვს ქაღალდის კონუსი, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ მაკრატელი და მოვაჭრათ ძირი. შემდეგ, კონუსური ზედაპირი უნდა გაიჭრასნებისმიერი გენერატორის გასწვრივ და განათავსეთ იგი თვითმფრინავში. ამ გზით მივიღეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. ორი ზედაპირი, თავდაპირველ კონუსთან ერთად, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე.
ძირის წრე გამოსახულია ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ცენტრში გამოსახულია გაშლილი კონუსური ზედაპირი. გამოდის, რომ იგი შეესაბამება წრის რაღაც წრიულ სექტორს, რომლის რადიუსი უდრის g გენერატრიქსის სიგრძეს.
კუთხისა და ფართობის სპექტაკლი
ახლა მივიღებთ ფორმულებს, რომლებიც ცნობილი პარამეტრების g და r გამოყენებით საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ კონუსის ფართობი და კუთხე.
ცხადია, ნახატზე ზემოთ ნაჩვენები წრიული სექტორის რკალს აქვს სიგრძე ფუძის გარშემოწერილობის ტოლი, ანუ:
l=2pir.
თუ აშენდა მთელი წრე g რადიუსით, მაშინ მისი სიგრძე იქნება:
L=2pig.
რადგან L სიგრძე შეესაბამება 2pi რადიანებს, მაშინ კუთხე, რომელზედაც დგას რკალი l, შეიძლება განისაზღვროს შესაბამისი პროპორციიდან:
L==>2pi;
l==> φ.
მაშინ უცნობი კუთხე φ ტოლი იქნება:
φ=2pil/L.
გამოსახულებების ჩანაცვლებით l და L სიგრძეებით, მივდივართ კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხის ფორმულამდე:
φ=2pir/g.
კუთხე φ აქ გამოიხატება რადიანებში.
წრიული სექტორის Sb ფართობის დასადგენად, გამოვიყენებთ φ-ის ნაპოვნი მნიშვნელობას. ჩვენ ვაკეთებთ კიდევ ერთ პროპორციას, მხოლოდ ტერიტორიებისთვის. ჩვენ გვაქვს:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
საიდან გამოვხატოთ Sb და შემდეგ ჩაანაცვლოთ φ კუთხის მნიშვნელობა. ჩვენ ვიღებთ:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=პირგ.
კონუსური ზედაპირის ფართობისთვის მივიღეთ საკმაოდ კომპაქტური ფორმულა. Sb-ის მნიშვნელობა უდრის სამი ფაქტორის ნამრავლს: pi, ფიგურის რადიუსი და მისი გენერატრიქსი.
მაშინ ფიგურის მთელი ზედაპირის ფართობი იქნება Sb და So-ის ჯამის ტოლი (წრიული ბაზის ფართობი). ჩვენ ვიღებთ ფორმულას:
S=Sb+ So=პირ(გ + რ).
კონუსის გაწმენდა ქაღალდზე
ამ ამოცანის შესასრულებლად დაგჭირდებათ ფურცელი, ფანქარი, საზომი, სახაზავი და კომპასი.
პირველ რიგში დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით 3სმ,4სმ და 5სმ,მისი შემობრუნება ფეხის ირგვლივ 3სმ მივიღებთ სასურველ კონუსს. ფიგურას აქვს r=3 სმ, h=4 სმ, g=5 სმ.
სვიპის აგება დაიწყება კომპასით r რადიუსით წრის დახატვით. მისი სიგრძე იქნება 6პი სმ. ახლა მის გვერდით დავხატავთ კიდევ ერთ წრეს, ოღონდ g რადიუსით. მისი სიგრძე შეესაბამება 10pi სმ. ახლა ჩვენ უნდა გამოვჭრათ წრიული სექტორი დიდი წრიდან. მისი კუთხე φ არის:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
ახლა ამ კუთხეს გამოვყოფთ პროტრატორით წრეზე g რადიუსით და ვხატავთ ორ რადიუსს, რომლებიც შეზღუდავს წრიულ სექტორს.
ასე რომამრიგად, ჩვენ ავაშენეთ კონუსის განვითარება რადიუსის, სიმაღლისა და გენერატორის მითითებული პარამეტრებით.
გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნის მაგალითი
მოცემულია მრგვალი სწორი კონუსი. ცნობილია, რომ მისი გვერდითი გადახვევის კუთხეა 120o. აუცილებელია ამ ფიგურის რადიუსისა და გენერატრიქსის პოვნა, თუ ცნობილია, რომ კონუსის სიმაღლე h არის 10 სმ.
ამოცანა არ არის რთული, თუ გავიხსენებთ, რომ მრგვალი კონუსი არის მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის ფიგურა. ამ სამკუთხედიდან გამომდინარეობს ცალსახა კავშირი სიმაღლეს, რადიუსსა და გენერატრიქსს შორის. დავწეროთ შესაბამისი ფორმულა:
g2=h2+ r2.
მეორე გამონათქვამი, რომელიც გამოიყენება ამოხსნისას არის ფორმულა φ კუთხისთვის:
φ=2pir/g.
ამგვარად, ჩვენ გვაქვს ორი განტოლება, რომელიც აკავშირებს ორ უცნობ რაოდენობას (r და g).
გამოხატე g მეორე ფორმულიდან და ჩაანაცვლე შედეგი პირველით, მივიღებთ:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
კუთხე φ=120o რადიანებში არის 2pi/3. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობას, ვიღებთ საბოლოო ფორმულებს r და g:
r=სთ /√8;
g=3სთ /√8.
რჩება სიმაღლის მნიშვნელობის ჩანაცვლება და პასუხის მიღება პრობლემურ კითხვაზე: r ≈ 3,54 სმ, g ≈ 10,61 სმ.
