რა არის ეს - კონუსი? განმარტება, თვისებები, ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

კონუსი ბრუნვის ერთ-ერთი სივრცითი ფიგურაა, რომლის მახასიათებლებსა და თვისებებს სტერეომეტრიით სწავლობს. ამ სტატიაში ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ ფიგურას და განვიხილავთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აკავშირებს კონუსის წრფივ პარამეტრებს მის ზედაპირის ფართობთან და მოცულობასთან.

რა არის კონუსი?

გეომეტრიის თვალსაზრისით, ჩვენ ვსაუბრობთ სივრცულ ფიგურაზე, რომელიც წარმოიქმნება სწორი სეგმენტების სიმრავლით, რომელიც აკავშირებს სივრცის გარკვეულ წერტილს გლუვი ბრტყელი მრუდის ყველა წერტილთან. ეს მრუდი შეიძლება იყოს წრე ან ელიფსი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს კონუსს.

წარმოდგენილ ფიგურას არ აქვს მოცულობა, ვინაიდან მისი ზედაპირის კედლებს უსასრულოდ მცირე სისქე აქვს. თუმცა, თუ იგი ივსება ნივთიერებით და ზემოდან შემოსაზღვრულია არა მრუდით, არამედ ბრტყელი ფიგურით, მაგალითად, წრეში, მაშინ მივიღებთ მყარ მოცულობით სხეულს, რომელსაც ჩვეულებრივ კონუსსაც უწოდებენ..

კონუსის ფორმა ხშირად გვხვდება ცხოვრებაში. ასე რომ, მას აქვს ნაყინის კონუსი ან ზოლიანი შავი და ნარინჯისფერი სატრანსპორტო კონუსები, რომლებიც გზებზე დგას მოძრაობის მონაწილეების ყურადღების მისაპყრობად.

კონუსის ელემენტები და მისი ტიპები

ვინაიდან კონუსი არ არის მრავალწახნაგოვანი, მისი შემქმნელი ელემენტების რაოდენობა არ არის ისეთი დიდი, როგორც პოლიედრებისთვის. გეომეტრიაში ზოგადი კონუსი შედგება შემდეგი ელემენტებისაგან:

• ფუძე, რომლის შეზღუდვის მრუდი ეწოდება დირექტიკას, ან გენერატრიქსს;
• გვერდითი ზედაპირის, რომელიც არის სწორი ხაზის სეგმენტების ყველა წერტილის ერთობლიობა (გენერატრიკები), რომლებიც აკავშირებს სახელმძღვანელო მრუდის წვეროსა და წერტილებს;
• ვერტექსი, რომელიც არის გენერატრიების გადაკვეთის წერტილი.

გაითვალისწინეთ, რომ წვერო არ უნდა იყოს ფუძის სიბრტყეში, რადგან ამ შემთხვევაში კონუსი გადაგვარდება ბრტყელ ფიგურად.

თუ დავხატავთ პერპენდიკულარულ სეგმენტს ზემოდან ფუძემდე მივიღებთ ფიგურის სიმაღლეს. თუ ბოლო ფუძე იკვეთება გეომეტრიულ ცენტრში, მაშინ ეს არის სწორი კონუსი. თუ პერპენდიკულარი არ ემთხვევა ფუძის გეომეტრიულ ცენტრს, მაშინ ფიგურა იქნება დახრილი.

სწორი და ირიბი კონუსები ნაჩვენებია სურათზე. აქ კონუსის ფუძის სიმაღლე და რადიუსი აღინიშნება შესაბამისად h და r. ხაზი, რომელიც აკავშირებს ფიგურის ზედა ნაწილსა და ფუძის გეომეტრიულ ცენტრს, არის კონუსის ღერძი. ფიგურიდან ჩანს, რომ სწორი ფიგურისთვის სიმაღლე დევს ამ ღერძზე, ხოლო დახრილი ფიგურისთვის სიმაღლე ღერძთან კუთხეს ქმნის. კონუსის ღერძი მითითებულია ასო a.

სწორი კონუსი მრგვალი ფუძით

შესაძლოა, ეს კონუსი ყველაზე გავრცელებულია ფიგურების განხილულ კლასში. იგი შედგება წრისა და მხარისგანზედაპირები. გეომეტრიული მეთოდებით მისი მიღება არ არის რთული. ამისათვის აიღეთ მართკუთხა სამკუთხედი და მოატრიალეთ ის ღერძის გარშემო, რომელიც ემთხვევა ერთ-ერთ ფეხს. ცხადია, ეს ფეხი გახდება ფიგურის სიმაღლე, ხოლო სამკუთხედის მეორე ფეხის სიგრძე ქმნის კონუსის ფუძის რადიუსს. ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვიჩვენებს აღწერილ სქემას მოცემული ბრუნვის ფიგურის მისაღებად.

გამოსახული სამკუთხედი შეიძლება შემობრუნდეს სხვა ფეხის გარშემო, რაც გამოიწვევს კონუსს უფრო დიდი ფუძის რადიუსით და უფრო დაბალი სიმაღლით, ვიდრე პირველი.

მრგვალი სწორი კონუსის ყველა პარამეტრის ცალსახად დასადგენად, უნდა იცოდეთ მისი ნებისმიერი ორი ხაზოვანი მახასიათებელი. მათ შორის გამოიყოფა რადიუსი r, სიმაღლე h ან გენერატრიქსის სიგრძე g. ყველა ეს სიდიდე არის განხილული მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, შესაბამისად, პითაგორას თეორემა მოქმედებს მათი კავშირისთვის:

g²=r²+ h^2.

ზედაპირის ფართობი

ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ფიგურის ზედაპირის შესწავლისას მოსახერხებელია მისი განვითარება თვითმფრინავზე. კონუსი არ არის გამონაკლისი. მრგვალი კონუსისთვის, განვითარება ნაჩვენებია ქვემოთ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფიგურის გაშლა შედგება ორი ნაწილისაგან:

1. წრე, რომელიც ქმნის კონუსის ფუძეს.
2. წრის სექტორი, რომელიც წარმოადგენს ფიგურის კონუსურ ზედაპირს.

წრის ფართობის პოვნა ადვილია და შესაბამისი ფორმულა ყველა სტუდენტისთვის ცნობილია. წრიულ სექტორზე საუბრისას აღვნიშნავთ, რომ ისარის წრის ნაწილი g რადიუსით (კონუსის გენერატრიქსის სიგრძე). ამ სექტორის რკალის სიგრძე უდრის ფუძის გარშემოწერილობას. ეს პარამეტრები შესაძლებელს ხდის ცალსახად განსაზღვროს მისი ფართობი. შესაბამისი ფორმულა არის:

S=პირ2+ პირგ.

გამოსახულებაში პირველი და მეორე წევრი არის, შესაბამისად, ფართობის ფუძის და გვერდითი ზედაპირის კონუსი.

თუ g გენერატორის სიგრძე უცნობია, მაგრამ მოცემულია ფიგურის სიმაღლე h, მაშინ ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

ფიგურის მოცულობა

თუ ავიღებთ სწორ პირამიდას და გავზრდით მისი ფუძის გვერდების რაოდენობას უსასრულობაში, მაშინ ფუძის ფორმა მიიქცევა წრისკენ, ხოლო პირამიდის გვერდითი ზედაპირი მიუახლოვდება კონუსურ ზედაპირს. ეს მოსაზრებები საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ პირამიდის მოცულობის ფორმულა კონუსის მსგავსი მნიშვნელობის გამოთვლისას. კონუსის მოცულობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

V=1/3სთS_o.

ეს ფორმულა ყოველთვის მართალია, მიუხედავად იმისა, თუ რა არის კონუსის საფუძველი, აქვს ფართობი S_{o. უფრო მეტიც, ფორმულა ასევე ვრცელდება დახრილ კონუსზე.}

რადგან ჩვენ ვსწავლობთ მრგვალი ფუძის მქონე სწორი ფიგურის თვისებებს, შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი გამოხატულება მისი მოცულობის დასადგენად:

V=1/3hpir2.

ფორმულა აშკარაა.

ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის პოვნის პრობლემა

მოვცეთ კონუსი, რომლის რადიუსი არის 10 სმ, ხოლო გენერატრიქსის სიგრძე 20იხილეთ ამ ფორმის მოცულობის და ზედაპირის ფართობის დადგენა.

S ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ზემოთ დაწერილი ფორმულა. ჩვენ გვაქვს:

S=pir²+ pirg=942 სმ^2.

მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფიგურის სიმაღლე h. ჩვენ ვიანგარიშებთ მას კონუსის ხაზოვან პარამეტრებს შორის ურთიერთობის გამოყენებით. ჩვენ ვიღებთ:

სთ=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 სმ.}

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83სმ}3^.

გაითვალისწინეთ, რომ მრგვალი კონუსის მოცულობა არის ცილინდრის მესამედი, რომელშიც ის არის ჩაწერილი.