მათემატიკა არსებითად აბსტრაქტული მეცნიერებაა, თუ ელემენტარულ ცნებებს გადავალთ. ასე რომ, რამდენიმე ვაშლზე შეგიძლიათ ვიზუალურად გამოსახოთ ძირითადი ოპერაციები, რომლებიც საფუძვლად უდევს მათემატიკას, მაგრამ როგორც კი აქტივობის სიბრტყე ფართოვდება, ეს ობიექტები არასაკმარისი ხდება. ვინმეს სცადა გამოეხატა ოპერაციები უსასრულო ნაკრებებზე ვაშლებზე? ამაშია საქმე, არა. რაც უფრო რთული ხდებოდა ცნებები, რომლებითაც მათემატიკა მოქმედებს მის მსჯელობაში, მით უფრო პრობლემური ჩანდა მათი ვიზუალური გამოხატულება, რომელიც გამიზნული იქნებოდა გაგების გასაადვილებლად. თუმცა, როგორც თანამედროვე სტუდენტების, ისე ზოგადად მეცნიერების ბედნიერებისთვის, გამოყვანილი იქნა ეილერის წრეები, რომელთა მაგალითებსა და შესაძლებლობებს ქვემოთ განვიხილავთ.
ცოტა ისტორია
1707 წლის 17 აპრილს მსოფლიომ მეცნიერებას აჩუქა ლეონჰარდ ეილერი, შესანიშნავი მეცნიერი, რომლის წვლილი მათემატიკაში, ფიზიკაში, გემთმშენებლობაში და მუსიკის თეორიაშიც კი არ შეიძლება გადაჭარბებული იყოს.
მისი ნამუშევრები დღემდე აღიარებულია და მოთხოვნადია მთელ მსოფლიოში, მიუხედავად იმისა, რომ მეცნიერება არ დგას. განსაკუთრებით საინტერესოა ის ფაქტი, რომ ბატონმა ეილერმა პირდაპირი მონაწილეობა მიიღო რუსული უმაღლესი მათემატიკის სკოლის ჩამოყალიბებაში, მით უმეტეს, რომ ბედის ნებით ორჯერ დაბრუნდა ჩვენს სახელმწიფოში. მეცნიერს ჰქონდა უნიკალური უნარი აეგო ალგორითმები, რომლებიც გამჭვირვალე იყო მათი ლოგიკით, წყვეტდა ყველაფერს ზედმეტს და უმოკლეს დროში გადადიოდა ზოგადიდან კონკრეტულზე. ჩვენ არ ჩამოვთვლით მის ყველა დამსახურებას, რადგან ამას საკმაოდ დიდი დრო დასჭირდება და პირდაპირ სტატიის თემას მივმართავთ. სწორედ მან შემოგვთავაზა ნაკრებებზე ოპერაციების გრაფიკული გამოსახულების გამოყენება. ეილერის წრეებს შეუძლიათ წარმოიდგინონ ნებისმიერი, თუნდაც ყველაზე რთული პრობლემის გადაწყვეტა.
რა აზრი აქვს?
პრაქტიკაში, ეილერის წრეები, რომელთა სქემა ნაჩვენებია ქვემოთ, შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მათემატიკაში, რადგან "კომპლექტის" ცნება თანდაყოლილია არა მხოლოდ ამ დისციპლინაში. ასე რომ, ისინი წარმატებით გამოიყენება მენეჯმენტში.
ზემოთ მოცემული დიაგრამა გვიჩვენებს A (ირაციონალური რიცხვები), B (რაციონალური რიცხვები) და C (ნატურალური რიცხვები) სიმრავლეთა მიმართებებს. წრეები აჩვენებს, რომ C სიმრავლე შედის B სიმრავლეში, ხოლო A სიმრავლე არანაირად არ იკვეთება მათთან. მაგალითი ყველაზე მარტივია, მაგრამ ის ნათლად ხსნის „სიმრავლეების მიმართებების“სპეციფიკას, რომლებიც ძალიან აბსტრაქტულია რეალური შედარებისთვის, თუნდაც მხოლოდ მათი უსასრულობის გამო.
ლოგიკის ალგებრა
ეს ტერიტორიამათემატიკური ლოგიკა მოქმედებს განცხადებებით, რომლებიც შეიძლება იყოს როგორც ჭეშმარიტი, ასევე მცდარი. მაგალითად, ელემენტარულიდან: რიცხვი 625 იყოფა 25-ზე, რიცხვი 625 იყოფა 5-ზე, რიცხვი 625 არის მარტივი. პირველი და მეორე განცხადებები მართალია, ხოლო ბოლო მცდარი. რა თქმა უნდა, პრაქტიკაში ყველაფერი უფრო რთულია, მაგრამ არსი აშკარად ჩანს. და, რა თქმა უნდა, ეილერის წრეები კვლავ ჩართულნი არიან გამოსავალში, მათი გამოყენების მაგალითები ძალიან მოსახერხებელი და ვიზუალურია იმისათვის, რომ უგულებელყო.
ცოტა თეორია:
- მოვცეთ A და B სიმრავლეები არსებობდეს და არ იყოს ცარიელი, შემდეგ მათთვის განსაზღვრულია გადაკვეთის, კავშირისა და უარყოფის შემდეგი მოქმედებები.
- A და B სიმრავლეთა კვეთა შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება A და B სიმრავლეს.
- A და B სიმრავლეთა გაერთიანება შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც მიეკუთვნება A სიმრავლეს ან B სიმრავლეს.
- A სიმრავლის უარყოფა არის სიმრავლე, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც არ მიეკუთვნება A სიმრავლეს.
ეს ყველაფერი ისევ ასახავს ეილერის წრეებს ლოგიკაში, რადგან მათი დახმარებით თითოეული ამოცანა, სირთულის ხარისხის მიუხედავად, აშკარა და ვიზუალური ხდება.
ლოგიკის ალგებრის აქსიომები
ვუშვათ, რომ 1 და 0 არსებობენ და განისაზღვრება A სიმრავლეში, შემდეგ:
- A სიმრავლის უარყოფის უარყოფა არის A;
- ერთობა A სიმრავლის not_A-სთან არის 1;
- ერთობა A სიმრავლის 1-თან არის 1;
- ერთობა A სიმრავლეს საკუთარ თავთან არის A;
- ერთობა0-ით არის A სიმრავლე;
- A სიმრავლის გადაკვეთა not_A-სთან არის 0;
- A სიმრავლის გადაკვეთა თავისთან არის A;
- A სიმრავლის გადაკვეთა 0-თან არის 0;
- A სიმრავლის გადაკვეთა 1-თან არის მითითებული A.
A ნაკრების
ლოგიკის ალგებრის ძირითადი თვისებები
მოდით A და B სიმრავლეები არსებობდეს და ცარიელი არ იყოს, მაშინ:
- A და B სიმრავლეების გადაკვეთისა და გაერთიანებისთვის გამოიყენება შემცვლელი კანონი;
- კომბინაციის კანონი ვრცელდება A და B სიმრავლეთა კვეთაზე და გაერთიანებაზე;
- განაწილების კანონი ვრცელდება A და B სიმრავლეთა კვეთაზე და გაერთიანებაზე;
- A და B სიმრავლეთა გადაკვეთის უარყოფა არის A და B სიმრავლეთა უარყოფათა კვეთა;
- A და B სიმრავლეთა კავშირის უარყოფა არის A და B სიმრავლეების უარყოფა.
შემდეგ გვიჩვენებს ეილერის წრეებს, A, B და C სიმრავლეთა გადაკვეთისა და გაერთიანების მაგალითებს.
პერსპექტივები
ლეონჰარდ ეილერის ნაშრომები სამართლიანად განიხილება თანამედროვე მათემატიკის საფუძვლად, მაგრამ ახლა ისინი წარმატებით გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სფეროებში, რომლებიც შედარებით ცოტა ხნის წინ გამოჩნდა, მაგალითად, კორპორატიული მმართველობა: ეილერის წრეები, მაგალითები და გრაფიკები აღწერს მექანიზმებს. განვითარების მოდელები, იქნება ეს რუსული თუ ინგლისურ-ამერიკული ვერსია.
