დღემდე მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე რთული განყოფილებაა წილადები. წილადების ისტორია ერთ ათასწლეულზე მეტია. მთელის ნაწილებად დაყოფის უნარი გაჩნდა ძველი ეგვიპტისა და ბაბილონის ტერიტორიაზე. წლების განმავლობაში ფრაქციებით შესრულებული ოპერაციები გართულდა, შეიცვალა მათი ჩაწერის ფორმა. ანტიკური სამყაროს თითოეულ სახელმწიფოს ჰქონდა საკუთარი მახასიათებლები მათემატიკის ამ მონაკვეთთან „ურთიერთობაში“.
რა არის წილადი?
როცა საჭირო გახდა მთელის ნაწილებად დაყოფა ზედმეტი ძალისხმევის გარეშე, მაშინ გაჩნდა წილადები. წილადების ისტორია განუყოფლად არის დაკავშირებული უტილიტარული პრობლემების გადაწყვეტასთან. თავად ტერმინი "ფრაქცია" არაბული ფესვებია და მომდინარეობს სიტყვიდან, რაც ნიშნავს "გატეხვას, გაყოფას". უძველესი დროიდან ამ თვალსაზრისით ცოტა რამ შეიცვალა. თანამედროვე განმარტება ასეთია: წილადი არის ერთეულის ნაწილი ან ნაწილების ჯამი. შესაბამისად, წილადების მაგალითები წარმოადგენს მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრულ შესრულებას რიცხვების წილადებით.
დღეს არის ორიმათი ჩაწერის გზა. ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები წარმოიშვა სხვადასხვა დროს: პირველი უფრო ძველია.
მოდი უხსოვარი დროიდან
პირველად მათ დაიწყეს ფრაქციებით მოქმედება ეგვიპტისა და ბაბილონის ტერიტორიაზე. ორი სახელმწიფოს მათემატიკოსთა მიდგომას მნიშვნელოვანი განსხვავებები ჰქონდა. თუმცა დასაწყისი იქაც და იქაც იგივე იყო. პირველი წილადი იყო ნახევარი ან 1/2. მერე მოვიდა მეოთხედი, მესამედი და ა.შ. არქეოლოგიური გათხრების თანახმად, ფრაქციების გაჩენის ისტორია დაახლოებით 5 ათასი წელია. პირველად რიცხვის წილადები გვხვდება ეგვიპტურ პაპირუსებსა და ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე.
ძველი ეგვიპტე
დღევანდელი ჩვეულებრივი წილადების ტიპებს მიეკუთვნება ეგვიპტური ე.წ. ისინი წარმოადგენს 1/n ფორმის რამდენიმე ტერმინის ჯამს. მრიცხველი ყოველთვის ერთია, მნიშვნელი კი ნატურალური რიცხვია. ასეთი წილადები გამოჩნდა, რაც არ უნდა ძნელი გამოსაცნობი იყოს, ძველ ეგვიპტეში. ყველა წილის გამოთვლისას ისინი ცდილობდნენ ჩამოეწერათ ისინი ასეთი თანხების სახით (მაგალითად, 1/2 + 1/4 + 1/8). მხოლოდ 2/3 და 3/4 წილადებს ჰქონდათ ცალკე აღნიშვნები, დანარჩენი იყოფა ტერმინებად. იყო სპეციალური ცხრილები, რომლებშიც რიცხვის წილადები იყო წარმოდგენილი ჯამის სახით.
ასეთი სისტემის შესახებ უძველესი ცნობილი ცნობა გვხვდება Rhind-ის მათემატიკურ პაპირუსში, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულის დასაწყისით. იგი მოიცავს წილადებისა და მათემატიკის ამოცანების ცხრილს ამონახსნებითა და პასუხებით, რომლებიც წარმოდგენილია წილადების ჯამების სახით. ეგვიპტელებმა იცოდნენ რიცხვის წილადების შეკრება, გაყოფა და გამრავლება. კადრები ნილოსის ველზედაიწერა იეროგლიფების გამოყენებით.
რიცხვის წილადის წარმოდგენა ძველი ეგვიპტისთვის დამახასიათებელი 1/n ფორმის წევრთა ჯამის სახით გამოიყენებოდა მათემატიკოსების მიერ არა მხოლოდ ამ ქვეყანაში. შუა საუკუნეებამდე ეგვიპტური ფრაქციები გამოიყენებოდა საბერძნეთში და სხვა სახელმწიფოებში.
მათემატიკის განვითარება ბაბილონში
მათემატიკა სხვაგვარად გამოიყურებოდა ბაბილონის სამეფოში. წილადების აქ გაჩენის ისტორია პირდაპირ კავშირშია რიცხვთა სისტემის თავისებურებებთან, რომლებიც მემკვიდრეობით მიიღო ანტიკური სახელმწიფოს მიერ მისი წინამორბედი შუმერულ-აქადური ცივილიზაციისგან. გაანგარიშების ტექნიკა ბაბილონში უფრო მოსახერხებელი და სრულყოფილი იყო, ვიდრე ეგვიპტეში. მათემატიკამ ამ ქვეყანაში ამოცანების გაცილებით ფართო სპექტრი გადაჭრა.
დღეს ბაბილონელების მიღწევებზე მსჯელობა შეგიძლიათ შემორჩენილი თიხის ფირფიტებით, სავსე ლურსმული დამწერლობით. მასალის მახასიათებლებიდან გამომდინარე, ისინი ჩვენამდე დიდი რაოდენობით მოვიდა. ზოგიერთი მეცნიერის აზრით, მათემატიკოსებმა ბაბილონში აღმოაჩინეს პითაგორამდე ცნობილი თეორემა, რომელიც უდავოდ მიუთითებს მეცნიერების განვითარებაზე ამ უძველეს სახელმწიფოში.
წილადები: წილადების ისტორია ბაბილონში
ბაბილონში რიცხვითი სისტემა სქესობრივი იყო. ყოველი ახალი კატეგორია წინასგან განსხვავდებოდა 60-ით. ასეთი სისტემა შენარჩუნებულია თანამედროვე სამყაროში დროისა და კუთხეების მითითებისთვის. ფრაქციები ასევე სქესობრივი იყო. ჩაწერისთვის გამოიყენებოდა სპეციალური ხატები. როგორც ეგვიპტეში, წილადის მაგალითები შეიცავდა ცალკეულ სიმბოლოებს 1/2, 1/3 და 2/3.
ბაბილონურისისტემა არ გამქრალა სახელმწიფოსთან ერთად. მე-60 სისტემაში დაწერილ წილადებს იყენებდნენ ძველი და არაბი ასტრონომები და მათემატიკოსები.
ძველი საბერძნეთი
ჩვეულებრივი წილადების ისტორია დიდად არ იყო გამდიდრებული ძველ საბერძნეთში. ელადის მაცხოვრებლებს სჯეროდათ, რომ მათემატიკა უნდა მოქმედებდეს მხოლოდ მთელი რიცხვებით. მაშასადამე, ძველი ბერძნული ტრაქტატების გვერდებზე ფრაქციებით გამოთქმები პრაქტიკულად არ ხდებოდა. თუმცა პითაგორაელებმა გარკვეული წვლილი შეიტანეს მათემატიკის ამ დარგში. მათ ესმოდათ წილადები, როგორც თანაფარდობები ან პროპორციები და ასევე თვლიდნენ ერთეულს განუყოფლად. პითაგორამ და მისმა სტუდენტებმა ააშენეს წილადების ზოგადი თეორია, ისწავლეს ოთხივე არითმეტიკული მოქმედების შესრულება, აგრეთვე წილადების შედარება მათი საერთო მნიშვნელის შემცირებით.
საღვთო რომის იმპერია
წილადების რომაული სისტემა ასოცირდება წონის საზომთან, რომელსაც "ტრაკი" ჰქვია. იგი დაყოფილი იყო 12 აქციად. 1/12 ასას ერქვა უნცია. იყო წილადების 18 სახელი. აქ არის რამდენიმე მათგანი:
- ნახევარ - ნახევარი უკანალი;
- sextante - აწ. მეექვსე;
- ნახევრად უნცია - ნახევარი უნცია ან 1/24 ტუზი.
ასეთი სისტემის უხერხულობა იყო რიცხვის წილადის სახით 10 ან 100 მნიშვნელობით წარმოდგენის შეუძლებლობა. რომაელმა მათემატიკოსებმა დაძლიეს სირთულე პროცენტების გამოყენებით.
საერთო წილადების წერა
ანტიკურ ხანაში წილადები უკვე იწერებოდა ნაცნობი გზით: ერთი რიცხვი მეორეზე. თუმცა, იყო ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება. მრიცხველი მდებარეობდამნიშვნელის ქვეშ. პირველად წილადების ასე დაწერა ძველ ინდოეთში დაიწყო. არაბებმა დაიწყეს ჩვენთვის თანამედროვე გზების გამოყენება. მაგრამ არცერთ ამ ხალხში არ გამოიყენა ჰორიზონტალური ხაზი მრიცხველისა და მნიშვნელის გამოსაყოფად. ის პირველად ჩნდება ლეონარდო პიზაელის, უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩის, 1202 წელს.
ჩინეთი
თუ ჩვეულებრივი წილადების ისტორია ეგვიპტეში დაიწყო, მაშინ ათწილადები პირველად გამოჩნდა ჩინეთში. ციურ იმპერიაში მათი გამოყენება დაიწყეს ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნიდან. ათწილადების ისტორია დაიწყო ჩინელი მათემატიკოსი ლიუ ჰუით, რომელმაც შესთავაზა მათი გამოყენება კვადრატული ფესვების ამოსაღებად.
III საუკუნეში ჩინეთში ათობითი წილადების გამოყენება დაიწყო წონისა და მოცულობის გამოსათვლელად. თანდათან დაიწყეს მათემატიკაში უფრო და უფრო ღრმად შეღწევა. თუმცა ევროპაში ათწილადები გაცილებით გვიან შევიდა.
ალ-კაში სამარყანდიდან
ჩინელი წინამორბედების მიუხედავად, ათობითი წილადები აღმოაჩინა ასტრონომმა ალ-კაშიმ უძველესი ქალაქ სამარკანდიდან. ცხოვრობდა და მოღვაწეობდა მე-15 საუკუნეში. მეცნიერმა თავისი თეორია გამოაქვეყნა ტრაქტატში „არითმეტიკის გასაღები“, რომელიც 1427 წელს გამოიცა. ალ-კაშიმ შესთავაზა წილადებისთვის აღნიშვნის ახალი ფორმის გამოყენება. როგორც მთელი, ისე წილადი ნაწილები ახლა ერთ სტრიქონში იწერებოდა. სამარყანდელმა ასტრონომმა არ გამოიყენა მძიმით მათ გამოსაყოფად. მან დაწერა მთელი რიცხვი და წილადი ნაწილი სხვადასხვა ფერებში, შავი და წითელი მელნის გამოყენებით. ალ-კაში ზოგჯერ მათ გამოსაყოფად ვერტიკალურ ზოლსაც იყენებდა.
ათწილადები ევროპაში
მე-13 საუკუნიდან დაიწყო ევროპელი მათემატიკოსების ნაშრომებში ახალი ტიპის წილადების გამოჩენა. უნდა აღინიშნოს, რომ ისინი არ იცნობდნენ როგორც ალ-კაშის შემოქმედებას, ასევე ჩინელების გამოგონებას. ათწილადი წილადები გამოჩნდა იორდანე ნემოარიუსის თხზულებებში. შემდეგ ისინი უკვე მე -16 საუკუნეში გამოიყენეს ფრანსუა ვიეტმა. ფრანგმა მეცნიერმა დაწერა „მათემატიკური კანონი“, რომელიც შეიცავდა ტრიგონომეტრიულ ცხრილებს. მათში ვიეტმა გამოიყენა ათობითი წილადები. მთელი და წილადი ნაწილების გამოსაყოფად მეცნიერმა გამოიყენა ვერტიკალური ხაზი, ასევე შრიფტის განსხვავებული ზომა.
თუმცა, ეს იყო მხოლოდ მეცნიერული გამოყენების განსაკუთრებული შემთხვევები. ყოველდღიური პრობლემების გადასაჭრელად ევროპაში ათობითი წილადების გამოყენება ცოტა მოგვიანებით დაიწყეს. ეს მოხდა ჰოლანდიელი მეცნიერის სიმონ სტევინის წყალობით XVI საუკუნის ბოლოს. მან 1585 წელს გამოაქვეყნა მათემატიკური ნაშრომი მეათე. მასში მეცნიერმა ჩამოაყალიბა ათწილადის წილადების არითმეტიკაში, ფულად სისტემაში გამოყენებისა და ზომებისა და წონების განსაზღვრის თეორია.
წერტილი, წერტილი, მძიმე
სტივინმაც არ გამოიყენა მძიმე. მან გამოყო წილადის ორი ნაწილი შემოხაზული ნულით.
პირველად მძიმით გამოეყო ათწილადის ორი ნაწილი მხოლოდ 1592 წელს. ინგლისში კი ამის ნაცვლად წერტილი გამოიყენეს. შეერთებულ შტატებში ათობითი წილადები კვლავ ასე იწერება.
2 სასვენი ნიშნის გამოყენების ერთ-ერთი ინიციატორი მთელი და წილადი ნაწილების გამოსაყოფად იყო შოტლანდიელი მათემატიკოსი ჯონ ნაპიერი. მან თავისი წინადადება 1616-1617 წლებში გააკეთა. მძიმით გამოიყენებადა გერმანელი მეცნიერი იოჰანეს კეპლერი.
ფრაქციები რუსეთში
რუსულ მიწაზე, პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც მთელის ნაწილებად დაყოფა გამოიკვეთა, იყო ნოვგოროდის ბერი კირიკი. 1136 წელს მან დაწერა ნაშრომი, რომელშიც გამოკვეთა „წლების გამოთვლის“მეთოდი. კირიკი ქრონოლოგიისა და კალენდრის საკითხებს ეხებოდა. თავის ნაშრომში მან ასევე მოიყვანა საათის დაყოფა ნაწილებად: მეხუთედებად, ოცდამეხუთედებად და ასე შემდეგ.
მთლიანის ნაწილებად დაყოფა გამოიყენებოდა გადასახადის ოდენობის გამოთვლისას XV-XVII სს. გამოყენებული იყო შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლების მოქმედებები წილადებით.
თავად სიტყვა "ფრაქცია" რუსეთში VIII საუკუნეში გაჩნდა. ის მომდინარეობს ზმნიდან "დამსხვრევა, ნაწილებად დაყოფა". ჩვენი წინაპრები იყენებდნენ სპეციალურ სიტყვებს წილადების დასასახელებლად. მაგალითად, 1/2 დანიშნულ იქნა როგორც ნახევარი ან ნახევარი, 1/4 - ოთხი, 1/8 - ნახევარი საათი, 1/16 - ნახევარი საათი და ასე შემდეგ.
წილადების სრული თეორია, რომელიც დიდად არ განსხვავდება თანამედროვესგან, წარმოდგენილი იყო არითმეტიკის პირველ სახელმძღვანელოში, რომელიც დაწერა 1701 წელს ლეონტი ფილიპოვიჩ მაგნიტსკის მიერ. „არითმეტიკა“რამდენიმე ნაწილისგან შედგებოდა. წილადებზე ავტორი დეტალურად საუბრობს განყოფილებაში „გატეხილი ხაზების რიცხვებზე ან წილადებთან“. მაგნიტსკი იძლევა ოპერაციებს "გატეხილი" რიცხვებით, მათი განსხვავებული აღნიშვნებით.
დღეს წილადები კვლავ მათემატიკის ყველაზე რთულ მონაკვეთებს შორისაა. წილადების ისტორია ასევე არ იყო მარტივი. სხვადასხვა ხალხები, ხან ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და ხანაც თავიანთი წინამორბედების გამოცდილების ისესხებით, მიდიოდნენ რიცხვების წილადების დანერგვის, დაუფლებისა და გამოყენების აუცილებლობამდე. წილადების დოქტრინა ყოველთვის იზრდებოდა პრაქტიკული დაკვირვებებიდან და სასიცოცხლო მნიშვნელობის წყალობითპრობლემები. საჭირო იყო პურის გაყოფა, თანაბარი მიწის ნაკვეთების მონიშვნა, გადასახადების გამოთვლა, დროის გაზომვა და ა.შ. წილადებისა და მათთან მათემატიკური მოქმედებების გამოყენების თავისებურებები დამოკიდებული იყო სახელმწიფოში არსებულ რიცხვთა სისტემაზე და მათემატიკის განვითარების ზოგად დონეზე. ასეა თუ ისე, ათასზე მეტი წლის გადალახვის შემდეგ, ჩამოყალიბდა, განვითარდა რიცხვების წილადებისთვის მიძღვნილი ალგებრის მონაკვეთი და წარმატებით გამოიყენება დღეს სხვადასხვა საჭიროებებისთვის, როგორც პრაქტიკული, ასევე თეორიული.
