ალბათობის თეორიის შესწავლა იწყება ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების ამოცანების ამოხსნით. დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ცოდნის ამ სფეროს დაუფლებისას სტუდენტს შეიძლება შეექმნას პრობლემა: თუ ფიზიკური ან ქიმიური პროცესები შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი და გავიგოთ ემპირიულად, მაშინ მათემატიკური აბსტრაქციის დონე ძალიან მაღალია და აქ გაგება მოდის მხოლოდ. გამოცდილება.
თუმცა, თამაში სანთლად ღირს, რადგან ფორმულები - როგორც ამ სტატიაში განხილული, ასევე უფრო რთული - დღეს ყველგან გამოიყენება და შესაძლოა სასარგებლო იყოს სამუშაოში.
წარმოშობა
უცნაურად საკმარისია, მაგრამ მათემატიკის ამ განყოფილების განვითარების სტიმული იყო … აზარტული თამაშები. მართლაც, კამათელი, მონეტის სროლა, პოკერი, რულეტკა ტიპიური მაგალითებია, რომლებიც იყენებენ ალბათობების შეკრებას და გამრავლებას. ნებისმიერი სახელმძღვანელოს ამოცანების მაგალითზე ეს აშკარად ჩანს. ხალხს აინტერესებდა, როგორ გაეზარდათ გამარჯვების შანსები და უნდა ითქვას, რომ ზოგიერთმა წარმატებას მიაღწია ამაში.
მაგალითად, უკვე 21-ე საუკუნეში, ერთი ადამიანი, რომლის სახელს არ გავამხელთ,გამოიყენა საუკუნეების განმავლობაში დაგროვილი ეს ცოდნა კაზინოს ფაქტიურად „გასაწმენდად“, რულეტზე რამდენიმე ათეული მილიონი დოლარის მოგებით.
თუმცა, საგნისადმი გაზრდილი ინტერესის მიუხედავად, მხოლოდ მე-20 საუკუნეში შემუშავდა თეორიული ჩარჩო, რომელმაც „თეორვერი“მათემატიკის სრულფასოვან კომპონენტად აქცია. დღეს, თითქმის ნებისმიერ მეცნიერებაში, შეგიძლიათ იპოვოთ გამოთვლები ალბათური მეთოდების გამოყენებით.
გამოყენება
მნიშვნელოვანი წერტილი ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების ფორმულების გამოყენებისას, პირობითი ალბათობა არის ცენტრალური ლიმიტის თეორემის დაკმაყოფილება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მიუხედავად იმისა, რომ სტუდენტმა შეიძლება ვერ გააცნობიეროს, ყველა გამოთვლა, რაც არ უნდა დამაჯერებელი ჩანდეს, არასწორი იქნება.
დიახ, მაღალი მოტივაციის მქონე მოსწავლეს ეძლევა ცდუნება გამოიყენოს ახალი ცოდნა ყველა შესაძლებლობაში. მაგრამ ამ შემთხვევაში ცოტა უნდა შენელდეს და მკაცრად გამოიკვეთოს გამოყენების ფარგლები.
ალბათობის თეორია ეხება შემთხვევით მოვლენებს, რომლებიც ემპირიული თვალსაზრისით არის ექსპერიმენტების შედეგი: ჩვენ შეგვიძლია გავაგოროთ ექვსმხრივი საყრდენი, გამოვხატოთ ბარათი გემბანიდან, გამოვთვალოთ დეფექტური ნაწილების რაოდენობა პარტიაში. თუმცა, ზოგიერთ კითხვაში კატეგორიულად შეუძლებელია მათემატიკის ამ ნაწილის ფორმულების გამოყენება. მოვლენის ალბათობების გათვალისწინების თავისებურებებს, მოვლენათა შეკრების და გამრავლების თეორემებს განვიხილავთ სტატიის ბოლოს, მაგრამ ახლა მოდით მივმართოთ მაგალითებს.
ძირითადი ცნებები
შემთხვევითი მოვლენა ნიშნავს რაღაც პროცესს ან შედეგს, რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდესექსპერიმენტის შედეგად. მაგალითად, ჩვენ ვაყრით სენდვიჩს - მას შეუძლია კარაქი ზევით ჩამოვარდეს ან კარაქი. ორი შედეგიდან რომელიმე იქნება შემთხვევითი და წინასწარ არ ვიცით რომელი იქნება.
ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების შესწავლისას ჩვენ გვჭირდება კიდევ ორი ცნება.
ერთობლივი მოვლენები არის ის მოვლენები, რომელთაგან ერთის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის დადგომას. ვთქვათ, ორი ადამიანი ერთდროულად ესვრიან მიზანს. თუ ერთმა მათგანმა გაისროლა წარმატებული გასროლა, ეს არ იმოქმედებს მეორეს დარტყმის ან გაშვების უნარზე.
არათანმიმდევრული იქნება ისეთი მოვლენები, რომელთა წარმოშობა ერთდროულად შეუძლებელია. მაგალითად, ყუთიდან მხოლოდ ერთი ბურთის ამოღებით, თქვენ არ შეგიძლიათ ერთდროულად მიიღოთ ლურჯი და წითელი.
აღნიშვნა
ალბათობის ცნება აღინიშნება ლათინური დიდი ასოებით P. შემდეგ ფრჩხილებში არის არგუმენტები, რომლებიც აღნიშნავენ ზოგიერთ მოვლენას.
მიმატების თეორემის, პირობითი ალბათობის, გამრავლების თეორემის ფორმულებში ნახავთ გამონათქვამებს ფრჩხილებში, მაგალითად: A+B, AB ან A|B. ისინი გამოითვლება სხვადასხვა გზით, ახლა ჩვენ მივმართავთ მათ.
დამატება
მოდით განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც გამოიყენება შეკრების და გამრავლების ფორმულები.
შეუთავსებელი მოვლენებისთვის, უმარტივესი შეკრების ფორმულა აქტუალურია: ნებისმიერი შემთხვევითი შედეგის ალბათობა ტოლი იქნება თითოეული ამ შედეგის ალბათობათა ჯამის.
დავუშვათ, რომ არის ყუთი 2 ლურჯი, 3 წითელი და 5 ყვითელი ბუშტით. ყუთში სულ 10 ნივთია. რამდენი პროცენტია ჭეშმარიტების დებულება, რომ დავხატავთ ლურჯ ან წითელ ბურთს? ტოლი იქნება 2/10 + 3/10, ანუ ორმოცდაათი პროცენტი.
შეუთავსებელი მოვლენების შემთხვევაში, ფორმულა უფრო რთული ხდება, რადგან ემატება დამატებითი ტერმინი. ჩვენ დავუბრუნდებით მას ერთ აბზაცში, კიდევ ერთი ფორმულის განხილვის შემდეგ.
გამრავლება
დამოუკიდებელ მოვლენათა ალბათობების შეკრება და გამრავლება გამოიყენება სხვადასხვა შემთხვევაში. თუ ექსპერიმენტის პირობის მიხედვით დავკმაყოფილდებით ორი შესაძლო შედეგიდან რომელიმე, გამოვთვლით ჯამს; თუ გვინდა მივიღოთ ორი გარკვეული შედეგი ერთმანეთის მიყოლებით, მივმართავთ განსხვავებულ ფორმულას.
ვბრუნდებით წინა განყოფილების მაგალითზე, გვინდა დავხატოთ ჯერ ლურჯი ბურთი და შემდეგ წითელი. პირველი რიცხვი, რომელიც ჩვენ ვიცით, არის 2/10. Შემდეგ რა მოხდება? დარჩენილია 9 ბურთი, დარჩა იგივე რაოდენობის წითელი - სამი ცალი. გათვლების მიხედვით მიიღებთ 3/9 ან 1/3. მაგრამ რა ვუყოთ ახლა ორ რიცხვს? სწორი პასუხია გამრავლება 2/30-ის მისაღებად.
ერთობლივი ღონისძიებები
ახლა შეგვიძლია გადავხედოთ ერთობლივი ღონისძიებების ჯამის ფორმულას. რატომ ვშორდებით თემას? იმის გასაგებად, თუ როგორ მრავლდება ალბათობა. ახლა ეს ცოდნა გამოგადგებათ.
ჩვენ უკვე ვიცით, როგორი იქნება პირველი ორი წევრი (იგივე, რაც ადრე განხილულ შეკრების ფორმულაში), ახლა უნდა გამოვაკლოთალბათობების ნამრავლი, რომლის გამოთვლაც ახლახან ვისწავლეთ. სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ ფორმულას: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). გამოდის, რომ ალბათობათა შეკრებაც და გამრავლებაც გამოიყენება ერთ გამოსახულებაში.
ვთქვათ, რომ კრედიტის მისაღებად ორი პრობლემისგან რომელიმე უნდა გადავჭრათ. ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ პირველი 0,3 ალბათობით, ხოლო მეორე - 0,6 ამოხსნა: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. გაითვალისწინეთ, რომ აქ რიცხვების უბრალოდ შეჯამება საკმარისი არ იქნება.
პირობითი ალბათობა
დაბოლოს, არსებობს პირობითი ალბათობის ცნება, რომლის არგუმენტები მითითებულია ფრჩხილებში და გამოყოფილია ვერტიკალური ზოლით. ჩანაწერი P(A|B) იკითხება შემდეგნაირად: „A მოვლენის ალბათობა მოცემული მოვლენის B“.
მოდი ვნახოთ მაგალითი: მეგობარი გაძლევს მოწყობილობას, დაე ეს იყოს ტელეფონი. ის შეიძლება იყოს გატეხილი (20%) ან კარგი (80%). თქვენ შეგიძლიათ შეაკეთოთ ნებისმიერი მოწყობილობა, რომელიც ხელში მოხვდება 0,4 ალბათობით ან ვერ შეძლებთ (0,6). და ბოლოს, თუ მოწყობილობა მუშა მდგომარეობაშია, შეგიძლიათ მიხვიდეთ სწორ ადამიანთან 0,7 ალბათობით.
მარტივია იმის დანახვა, თუ როგორ მუშაობს პირობითი ალბათობა ამ შემთხვევაში: ტელეფონი გაფუჭების შემთხვევაში ვერ შეხვალ ადამიანთან და თუ კარგია, არ გჭირდება მისი შეკეთება. ამრიგად, იმისათვის, რომ მიიღოთ რაიმე შედეგი „მეორე დონეზე“, თქვენ უნდა იცოდეთ რა ღონისძიება განხორციელდა პირველზე.
გამოთვლები
მოდით განვიხილოთ ამოცანების ამოხსნის მაგალითები ალბათობების შეკრებაზე და გამრავლებაზე წინა აბზაცის მონაცემების გამოყენებით.
პირველ რიგში, მოდით ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ თქვენშეაკეთეთ თქვენთვის მოცემული მოწყობილობა. ამისათვის, პირველ რიგში, ის უნდა იყოს გაუმართავი და მეორეც, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ შეკეთებას. ეს არის ტიპიური გამრავლების პრობლემა: მივიღებთ 0.20.4=0.08.
რა არის ალბათობა იმისა, რომ დაუყოვნებლივ მიაღწევთ სწორ ადამიანს? მარტივია, ვიდრე მარტივი: 0,80,7=0,56. ამ შემთხვევაში, თქვენ აღმოაჩინეთ, რომ ტელეფონი მუშაობს და წარმატებით დარეკეთ.
დაბოლოს, განიხილეთ ეს სცენარი: მიიღეთ გაფუჭებული ტელეფონი, გაასწორეთ, შემდეგ აკრიფეთ ნომერი და მოპირდაპირე მხარეს მყოფმა უპასუხა ტელეფონს. აქ უკვე საჭიროა სამი კომპონენტის გამრავლება: 0, 20, 40, 7=0, 056.
და რა მოხდება, თუ თქვენ გაქვთ ერთდროულად ორი არასამუშაო ტელეფონი? რამდენად სავარაუდოა, რომ ერთი მათგანი მაინც გამოასწორო? ეს არის ალბათობების შეკრების და გამრავლების პრობლემა, რადგან გამოიყენება ერთობლივი მოვლენები. ამოხსნა: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
ფრთხილი გამოყენება
როგორც სტატიის დასაწყისში აღინიშნა, ალბათობის თეორიის გამოყენება უნდა იყოს მიზანმიმართული და შეგნებული.
რაც უფრო დიდია ექსპერიმენტების სერია, მით უფრო უახლოვდება თეორიულად პროგნოზირებული მნიშვნელობა პრაქტიკულს. მაგალითად, ჩვენ ვაყრით მონეტას. თეორიულად, ვიცით ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების ფორმულების არსებობის შესახებ, შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ რამდენჯერ ამოვარდება თავები და კუდები, თუ ექსპერიმენტს 10-ჯერ ჩავატარებთ. ჩავატარეთ ექსპერიმენტი დადამთხვევა, ჩამოშვებული მხარეების თანაფარდობა იყო 3-დან 7-მდე. მაგრამ თუ თქვენ ჩაატარებთ 100, 1000 ან მეტი მცდელობის სერიას, გამოდის, რომ განაწილების გრაფიკი უფრო და უფრო უახლოვდება თეორიულს: 44-დან 56-მდე, 482-მდე. 518 და ასე შემდეგ.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ეს ექსპერიმენტი ტარდება არა მონეტით, არამედ რაიმე ახალი ქიმიური ნივთიერების წარმოებით, რომლის ალბათობაც ჩვენ არ ვიცით. ჩავატარებდით 10 ექსპერიმენტს და წარმატებულ შედეგს რომ არ მივიღებდით, განვაზოგადებდით: „მატერიის მიღება შეუძლებელია“. მაგრამ ვინ იცის, მეთერთმეტე მცდელობა რომ გაგვეკეთებინა, მივაღწევდით თუ არა მიზანს?
ასე რომ, თუ თქვენ მიდიხართ უცნობში, შეუსწავლელ სფეროში, ალბათობის თეორია შეიძლება არ იყოს გამოყენებული. ყოველი მომდევნო მცდელობა ამ შემთხვევაში შეიძლება იყოს წარმატებული და განზოგადებები, როგორიცაა "X არ არსებობს" ან "X შეუძლებელია" ნაადრევი იქნება.
დასასვლელი სიტყვა
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ შეკრების ორი ტიპი, გამრავლება და პირობითი ალბათობა. ამ სფეროს შემდგომი შესწავლით, აუცილებელია ვისწავლოთ სიტუაციების გარჩევა, როდესაც გამოიყენება თითოეული კონკრეტული ფორმულა. გარდა ამისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ, არის თუ არა ზოგადად გამოსაყენებელი ალბათური მეთოდები თქვენი პრობლემის გადასაჭრელად.
თუ ვარჯიშობთ, გარკვეული პერიოდის შემდეგ დაიწყებთ ყველა საჭირო ოპერაციის განხორციელებას ექსკლუზიურად გონებაში. მათთვის, ვისაც ბანქოს უყვარს, ეს უნარი შეიძლება ჩაითვალოსუკიდურესად ღირებული - თქვენ მნიშვნელოვნად გაზრდით მოგების შანსებს, მხოლოდ კონკრეტული ბარათის ან კოსტუმის ამოვარდნის ალბათობის გამოთვლით. თუმცა, მიღებული ცოდნა ადვილად შეიძლება გამოყენებულ იქნას საქმიანობის სხვა სფეროებში.
