ვექტორი მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ობიექტია, მისი თვისებების დახმარებით მოსახერხებელია მრავალი პრობლემის გადაჭრა სიბრტყეზე და სივრცეში. ამ სტატიაში ჩვენ განვსაზღვრავთ მას, განვიხილავთ მის ძირითად მახასიათებლებს და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება სივრცეში ვექტორის გამოყენება სიბრტყეების დასადგენად.
რა არის ვექტორი: ორგანზომილებიანი შემთხვევა
პირველ რიგში, აუცილებელია ნათლად გავიგოთ, რომელ ობიექტზეა საუბარი. გეომეტრიაში მიმართულ სეგმენტს ვექტორი ეწოდება. ნებისმიერი სეგმენტის მსგავსად, მას ახასიათებს ორი ძირითადი ელემენტი: საწყისი და დასასრული წერტილები. ამ წერტილების კოორდინატები ცალსახად განსაზღვრავს ვექტორის ყველა მახასიათებელს.
მოდით განვიხილოთ ვექტორის მაგალითი სიბრტყეზე. ამისათვის ჩვენ ვხატავთ ორ ერთმანეთის პერპენდიკულარულ ღერძს x და y. ავღნიშნოთ თვითნებური წერტილი P(x, y). თუ ამ წერტილს დავუკავშირებთ საწყისს (O წერტილი) და შემდეგ მივუთითებთ მიმართულებას P-სკენ, მაშინ მივიღებთ ვექტორს OP¯ (მოგვიანებით სტატიაში, სიმბოლოზე ზოლი მიუთითებს, რომ ჩვენ განვიხილავთ ვექტორს). სიბრტყეზე ვექტორული ნახაზი ნაჩვენებია ქვემოთ.
აქ ასევე ნაჩვენებია სხვა ვექტორი AB¯ და თქვენ ხედავთ, რომ მისი მახასიათებლები ზუსტად იგივეა, რაც OP¯, მაგრამ ის არის კოორდინატთა სისტემის განსხვავებულ ნაწილში. პარალელური თარგმნით OP¯ შეგიძლიათ მიიღოთ უსასრულო რაოდენობის ვექტორები იგივე თვისებებით.
ვექტორი სივრცეში
ყველა რეალური ობიექტი, რომელიც ჩვენს გარშემოა, სამგანზომილებიან სივრცეშია. სამგანზომილებიანი ფიგურების გეომეტრიული თვისებების შესწავლა ეხება სტერეომეტრიას, რომელიც მოქმედებს სამგანზომილებიანი ვექტორების კონცეფციით. ისინი განსხვავდებიან ორგანზომილებიანისგან მხოლოდ იმით, რომ მათი აღწერა მოითხოვს დამატებით კოორდინატს, რომელიც იზომება მესამე პერპენდიკულარული x და y ღერძების გასწვრივ z.
ქვემოთ სურათზე ნაჩვენებია ვექტორი სივრცეში. მისი ბოლოების კოორდინატები თითოეული ღერძის გასწვრივ მითითებულია ფერადი სეგმენტებით. ვექტორის დასაწყისი მდებარეობს სამივე კოორდინატთა ღერძის გადაკვეთის წერტილში, ანუ მას აქვს კოორდინატები (0; 0; 0).
რადგან ვექტორი სიბრტყეზე არის სივრცით მიმართული სეგმენტის განსაკუთრებული შემთხვევა, სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ სამგანზომილებიან ვექტორს.
ვექტორული კოორდინატები მისი დასაწყისისა და დასასრულის ცნობილ კოორდინატებზე დაყრდნობით
დავუშვათ, რომ არსებობს ორი წერტილი P(x1; y1; z1) და Q(x2; y2; z2). როგორ განვსაზღვროთ ვექტორის PQ ¯ კოორდინატები. პირველ რიგში, საჭიროა შევთანხმდეთ, რომელი წერტილი იქნება ვექტორის დასაწყისი და რომელი დასასრული. მათემატიკაში ჩვეულებრივად არის მოცემული ობიექტის დაწერა მისი მიმართულებით, ანუ P არის დასაწყისი, Q.- დასასრული. მეორეც, ვექტორის PQ ¯ კოორდინატები გამოითვლება, როგორც სხვაობა დასასრულისა და დასაწყისის შესაბამის კოორდინატებს შორის, ანუ:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
გაითვალისწინეთ, რომ ვექტორის მიმართულების შეცვლით, მისი კოორდინატები შეიცვლება ნიშანი, შემდეგნაირად:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
ეს ნიშნავს PQ¯=-QP¯.
მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი რამის გაგება. ზემოთ ითქვა, რომ სიბრტყეში არის მოცემულის ტოლი ვექტორების უსასრულო რაოდენობა. ეს ფაქტი ასევე მოქმედებს სივრცითი შემთხვევისთვის. სინამდვილეში, როდესაც ზემოთ მოცემულ მაგალითში გამოვთვალეთ PQ¯ კოორდინატები, ჩვენ ჩავატარეთ ამ ვექტორის პარალელური ტრანსლაციის ოპერაცია ისე, რომ მისი საწყისი დაემთხვა საწყისს. ვექტორი PQ¯ შეიძლება დახაზული იყოს მიმართული სეგმენტის სახით საწყისიდან M წერტილამდე ((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
ვექტორის თვისებები
როგორც ნებისმიერი გეომეტრიული ობიექტი, ვექტორს აქვს გარკვეული თანდაყოლილი მახასიათებლები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანების გადასაჭრელად. მოკლედ ჩამოვთვალოთ ისინი.
ვექტორული მოდული არის მიმართული სეგმენტის სიგრძე. კოორდინატების ცოდნა ადვილია მისი გამოთვლა. ვექტორისთვის PQ¯ ზემოთ მოცემულ მაგალითში, მოდული არის:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2- y1)2+ (z2 - z1 )2].
ვექტორის მოდული ჩართულიასიბრტყე გამოითვლება მსგავსი ფორმულით, მხოლოდ მესამე კოორდინატის მონაწილეობის გარეშე.
ვექტორთა ჯამი და სხვაობა შესრულებულია სამკუთხედის წესის მიხედვით. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა დაამატოთ და გამოკლოთ ეს ობიექტები.
ჯამის ვექტორის მისაღებად, დაამატეთ მეორის დასაწყისი პირველი ვექტორის ბოლოს. სასურველი ვექტორი დაიწყება პირველის დასაწყისში და დასრულდება მეორე ვექტორის ბოლოს.
სხვაობა შესრულებულია იმის გათვალისწინებით, რომ გამოკლებული ვექტორი იცვლება საპირისპიროთ და შემდეგ შესრულებულია ზემოთ აღწერილი შეკრების ოპერაცია.
მიმატებისა და გამოკლების გარდა, მნიშვნელოვანია ვექტორის რიცხვზე გამრავლება. თუ რიცხვი k-ის ტოლია, მაშინ მიიღება ვექტორი, რომლის მოდული k-ჯერ განსხვავდება საწყისიდან და მიმართულება არის ან იგივე (k>0) ან საპირისპირო (k<0)..
ასევე განსაზღვრულია ვექტორების ერთმანეთთან გამრავლების ოპერაცია. ამისთვის სტატიაში ცალკე აბზაცს გამოვყოფთ.
სკალარული და ვექტორული გამრავლება
დავუშვათ, რომ არსებობს ორი ვექტორი u¯(x1; y1; z1) და v¯(x2; y2; z2). ვექტორი ვექტორზე შეიძლება გამრავლდეს ორი განსხვავებული გზით:
- სკალარი. ამ შემთხვევაში შედეგი არის რიცხვი.
- ვექტორი. შედეგი არის ახალი ვექტორი.
u¯ და v¯ ვექტორების სკალარული ნამრავლი გამოითვლება შემდეგნაირად:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
სად α არის კუთხე მოცემულ ვექტორებს შორის.
შეიძლება აჩვენოს, რომ u¯ და v¯ კოორდინატების ცოდნით, მათი წერტილოვანი ნამრავლი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
სკალარული პროდუქტი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ვექტორის ორ პერპენდიკულარულად მიმართულ სეგმენტად დაშლისას. იგი ასევე გამოიყენება ვექტორების პარალელურობის ან ორთოგონალურობის გამოსათვლელად და მათ შორის კუთხის გამოსათვლელად.
u¯ და v¯ ჯვრის ნამრავლი იძლევა ახალ ვექტორს, რომელიც პერპენდიკულარულია თავდაპირველ ვექტორზე და აქვს მოდული:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
ახალი ვექტორის მიმართულება ქვევით ან ზევით განისაზღვრება მარჯვენა ხელის წესით (მარჯვენა ხელის ოთხი თითი მიმართულია პირველი ვექტორის ბოლოდან მეორის ბოლომდე და ცერა თითი მაღლა იწევს. მიუთითებს ახალი ვექტორის მიმართულებაზე). ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ჯვარედინი ნამრავლის შედეგს თვითნებური a¯ და b¯.
ჯვარედინი ნამრავლი გამოიყენება ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, აგრეთვე მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ვექტორის კოორდინატების დასადგენად.
ვექტორები და მათი თვისებები მოსახერხებელია სიბრტყის განტოლების განსაზღვრისას.
სიბრტყის ნორმალური და ზოგადი განტოლება
სიბრტყის განსაზღვრის რამდენიმე გზა არსებობს. ერთ-ერთი მათგანია სიბრტყის ზოგადი განტოლების წარმოშობა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს მასზე პერპენდიკულარული ვექტორის და სიბრტყის კუთვნილი ზოგიერთი ცნობილი წერტილის ცოდნიდან.
ვუშვათ, რომ არსებობს ვექტორი n¯ (A; B; C) და წერტილი P (x0; y0; z 0). რა პირობა დააკმაყოფილებს სიბრტყის ყველა Q(x; y; z) წერტილს? ეს პირობა შედგება ნებისმიერი ვექტორის PQ პერპენდიკულარულობაში ნორმალურ n¯-თან. ორი პერპენდიკულარული ვექტორისთვის, წერტილის ნამრავლი ხდება ნული (cos(90o)=0), ჩაწერეთ ეს:
(n¯PQ¯)=0 ან
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
ფრჩხილების გახსნით მივიღებთ:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ან
Ax + By + Cz +D=0 სადაც D=-Ax0-By0-Cz0.
ამ განტოლებას სიბრტყისთვის ზოგადი ეწოდება. ჩვენ ვხედავთ, რომ x, y და z-ის წინ კოეფიციენტები არის n¯ პერპენდიკულარული ვექტორის კოორდინატები. მას თვითმფრინავის მეგზური ჰქვია.
სიბრტყის ვექტორული პარამეტრული განტოლება
სიბრტყის განსაზღვრის მეორე გზა არის მასში მოთავსებული ორი ვექტორის გამოყენება.
ვუშვათ, რომ არსებობს ვექტორები u¯(x1; y1; z1) და v¯(x2; y2; z2). როგორც ითქვა, თითოეული მათგანი სივრცეში შეიძლება იყოს წარმოდგენილი უსასრულო რაოდენობის იდენტური მიმართულების სეგმენტებით, შესაბამისად, სიბრტყის ცალსახად განსაზღვრისთვის საჭიროა კიდევ ერთი წერტილი. ეს წერტილი იყოს P(x0;y0; z0). ნებისმიერი წერტილი Q(x; y; z) იქნება სასურველ სიბრტყეში, თუ ვექტორი PQ¯ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც u¯ და v¯ კომბინაცია. ანუ გვაქვს:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
სადაც α და β არის რამდენიმე რეალური რიცხვი. ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს გამოთქმა:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
მას უწოდებენ სიბრტყის პარამეტრულ ვექტორულ განტოლებას 2 ვექტორთან u¯ და v¯ მიმართ. თვითნებური α და β პარამეტრების ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა წერტილი (x; y; z), რომელიც ეკუთვნის ამ სიბრტყეს.
ამ განტოლებიდან მარტივია სიბრტყის ზოგადი გამოხატულების მიღება. ამისათვის საკმარისია ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორი n¯, რომელიც იქნება პერპენდიკულარული ორივე ვექტორზე u¯ და v¯, ანუ უნდა იქნას გამოყენებული მათი ვექტორული ნამრავლი..
სიბრტყის ზოგადი განტოლების განსაზღვრის პრობლემა
მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულები გეომეტრიული ამოცანების ამოსახსნელად. დავუშვათ, სიბრტყის მიმართულების ვექტორი არის n¯(5; -3; 1). თქვენ უნდა იპოვოთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P(2; 0; 0) მას ეკუთვნის.
ზოგადი განტოლება იწერება როგორც:
Ax + By + Cz +D=0.
რადგან სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი ცნობილია, განტოლება მიიღებს ფორმას:
5x - 3y + z +D=0.
დარჩენილია ვიპოვოთ თავისუფალი ტერმინი D. ჩვენ ვიანგარიშებთ მას P: კოორდინატების ცოდნით.
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
ამგვარად, სიბრტყის სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა:
5x - 3y + z -10=0.
ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება მიღებული სიბრტყე.
წერტილების მითითებული კოორდინატები შეესაბამება სიბრტყის გადაკვეთებს x, y და z ღერძებთან.
სიბრტყის განსაზღვრის პრობლემა ორი ვექტორისა და წერტილის მეშვეობით
ახლა დავუშვათ, წინა სიბრტყე განსხვავებულად არის განსაზღვრული. ცნობილია ორი ვექტორი u¯(-2; 0; 10) და v¯(-2; -10/3; 0), ასევე წერტილი P(2; 0; 0). როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება ვექტორული პარამეტრული ფორმით? განხილული შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყის ამ განტოლების განმარტებები, ვექტორები u¯ და v¯ შეიძლება იქნას მიღებული აბსოლუტურად ნებისმიერი, მაგრამ ერთი პირობით: ისინი არ უნდა იყვნენ პარალელური. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სიბრტყის ცალსახად განსაზღვრა შეუძლებელია, თუმცა, შეგიძლიათ იპოვოთ განტოლება სხივის ან სიბრტყეების სიმრავლისთვის.
