გეომეტრიაში, წერტილის შემდეგ სწორი ხაზი, ალბათ, უმარტივესი ელემენტია. იგი გამოიყენება თვითმფრინავზე და სამგანზომილებიან სივრცეში ნებისმიერი რთული ფიგურის ასაგებად. ამ სტატიაში განვიხილავთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას და მისი გამოყენებით გადავჭრით რამდენიმე პრობლემას. დავიწყოთ!
სწორი ხაზი გეომეტრიაში
ყველამ იცის, რომ ისეთი ფორმები, როგორიცაა მართკუთხედი, სამკუთხედი, პრიზმა, კუბი და ა.შ. ფორმირდება სწორი ხაზების გადაკვეთით. გეომეტრიაში სწორი ხაზი არის ერთგანზომილებიანი ობიექტი, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნეს გარკვეული წერტილის იმავე ან საპირისპირო მიმართულების ვექტორზე გადატანით. ამ განმარტების უკეთ გასაგებად, წარმოიდგინეთ, რომ სივრცეში არის რაღაც P წერტილი. აიღეთ თვითნებური ვექტორი u¯ ამ სივრცეში. მაშინ წრფის ნებისმიერი Q წერტილი შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მათემატიკური მოქმედებების შედეგად:
Q=P + λu¯.
აქ λ არის თვითნებური რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. თუ თანასწორობადაწერეთ ზემოთ კოორდინატების მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ სწორი ხაზის შემდეგ განტოლებას:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
ამ ტოლობას ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება ვექტორული ფორმით. და ვექტორს u¯ ეწოდება სახელმძღვანელო.
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სიბრტყეში
ყველა სტუდენტს შეუძლია ყოველგვარი სირთულის გარეშე ჩაიწეროს იგი. მაგრამ ყველაზე ხშირად განტოლება იწერება ასე:
y=kx + b.
სადაც k და b არის თვითნებური რიცხვები. რიცხვს b ეწოდება თავისუფალი წევრი. პარამეტრი k უდრის კუთხის ტანგენტს, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზის x ღერძთან გადაკვეთით.
ზემოხსენებული განტოლება გამოიხატება y ცვლადის მიმართ. თუ მას უფრო ზოგადი სახით წარმოვადგენთ, მაშინ მივიღებთ შემდეგ აღნიშვნას:
Ax + By + C=0.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ სიბრტყეზე სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერის ეს ფორმა ადვილად გარდაიქმნება წინა ფორმაში. ამისათვის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები უნდა გაიყოს B კოეფიციენტზე და გამოვხატოთ y.
ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ წერტილს.
ხაზი 3D სივრცეში
მოდით გავაგრძელოთ სწავლა. განვიხილეთ კითხვა, თუ როგორ არის მოცემული სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება ზოგადი ფორმით. თუ სტატიის წინა პუნქტში მოცემულ აღნიშვნას გამოვიყენებთ სივრცითი შემთხვევისთვის, რას მივიღებთ? ყველაფერი მარტივია - აღარ არის სწორი ხაზი, არამედ თვითმფრინავი. მართლაც, შემდეგი გამონათქვამი აღწერს z-ღერძის პარალელურ სიბრტყეს:
Ax + By + C=0.
თუ C=0, მაშინ ასეთი სიბრტყე გადისz-ღერძის გავლით. ეს მნიშვნელოვანი ფუნქციაა.
როგორ ვიყოთ მაშინ სივრცეში სწორი ხაზის ზოგად განტოლებასთან? იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გკითხოთ, უნდა გახსოვდეთ რაღაც. ორი სიბრტყე იკვეთება გარკვეული სწორი ხაზის გასწვრივ. Რას ნიშნავს ეს? მხოლოდ ის, რომ ზოგადი განტოლება არის სიბრტყეებისთვის ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის შედეგი. მოდით დავწეროთ ეს სისტემა:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
ეს სისტემა არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სივრცეში. გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყეები არ უნდა იყოს ერთმანეთის პარალელურად, ანუ მათი ნორმალური ვექტორები უნდა იყოს დახრილი რაღაც კუთხით ერთმანეთთან შედარებით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემას არ ექნება გამოსავალი.
ზემოთ მივეცით განტოლების ვექტორული ფორმა სწორი ხაზისთვის. მოსახერხებელია მისი გამოყენება ამ სისტემის გადაჭრისას. ამისათვის თქვენ ჯერ უნდა იპოვოთ ამ სიბრტყეების ნორმალების ვექტორული ნამრავლი. ამ ოპერაციის შედეგი იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი. შემდეგ, ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ხაზს, უნდა გამოითვალოს. ამისათვის თქვენ უნდა დააყენოთ რომელიმე ცვლადი გარკვეული მნიშვნელობის ტოლი, დანარჩენი ორი ცვლადის პოვნა შესაძლებელია შემცირებული სისტემის ამოხსნით.
როგორ გადავთარგმნოთ ვექტორული განტოლება ზოგად? ნიუანსი
ეს არის რეალური პრობლემა, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას, თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დაწერა გჭირდებათ ორი წერტილის ცნობილი კოორდინატების გამოყენებით.მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ წყდება ეს პრობლემა მაგალითით. ცნობილი იყოს ორი წერტილის კოორდინატები:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
განტოლება ვექტორული ფორმით საკმაოდ მარტივია შედგენა. მიმართულების ვექტორის კოორდინატებია:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება არ არის, თუ Q კოორდინატებს გამოვაკლებთ P წერტილის კოორდინატებს, ვექტორი მხოლოდ საპირისპირო მიმართულებით შეიცვლის მიმართულებას. ახლა თქვენ უნდა აიღოთ ნებისმიერი წერტილი და ჩაწეროთ ვექტორული განტოლება:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დასაწერად, პარამეტრი λ უნდა იყოს გამოხატული ორივე შემთხვევაში. და შემდეგ შეადარეთ შედეგები. ჩვენ გვაქვს:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
რჩება მხოლოდ ფრჩხილების გახსნა და განტოლების ყველა პირობის გადატანა განტოლების ერთ მხარეს, რათა მივიღოთ ზოგადი გამოხატულება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის ორ ცნობილ წერტილზე.
სამგანზომილებიანი ამოცანის შემთხვევაში ამოხსნის ალგორითმი შენარჩუნებულია, მხოლოდ მისი შედეგი იქნება სიბრტყეების ორი განტოლების სისტემა.
ამოცანა
აუცილებელია ზოგადი განტოლების გაკეთებასწორი ხაზი, რომელიც კვეთს x ღერძს (-3, 0) და პარალელურია y ღერძის.
დავიწყოთ ამოცანის ამოხსნა განტოლების ვექტორული სახით ჩაწერით. ვინაიდან წრფე პარალელურია y-ღერძის, მაშინ მისთვის მიმართული ვექტორი იქნება შემდეგი:
u¯=(0, 1).
შემდეგ სასურველი ხაზი ჩაიწერება შემდეგნაირად:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
ახლა გადავთარგმნოთ ეს გამოთქმა ზოგად ფორმაში, ამისთვის გამოვხატავთ პარამეტრს λ:
- x=-3;
- y=λ.
ამგვარად, y ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა ეკუთვნის ხაზს, თუმცა მას მხოლოდ x ცვლადის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება. ამრიგად, ზოგადი განტოლება მიიღებს ფორმას:
x + 3=0.
პრობლემა სწორი ხაზით სივრცეში
ცნობილია, რომ ორი გადამკვეთი სიბრტყე მოცემულია შემდეგი განტოლებით:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
აუცილებელია ვიპოვოთ სწორი ხაზის ვექტორული განტოლება, რომლის გასწვრივაც ეს სიბრტყეები იკვეთება. დავიწყოთ.
როგორც ითქვა, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სამგანზომილებიან სივრცეში უკვე მოცემულია სისტემის სახით ორიდან სამი უცნობით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ განვსაზღვრავთ მიმართულების ვექტორს, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები იკვეთება. ნორმალების ვექტორული კოორდინატების სიბრტყეებზე გამრავლებით მივიღებთ:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
რადგან ვექტორის გამრავლება უარყოფით რიცხვზე აბრუნებს მის მიმართულებას, შეგვიძლია დავწეროთ:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
კენსწორი ხაზის ვექტორული გამოხატვის საპოვნელად, მიმართულების ვექტორის გარდა, უნდა იცოდეთ ამ სწორი ხაზის გარკვეული წერტილი. იპოვნეთ, რადგან მისი კოორდინატები პრობლემის მდგომარეობაში უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებათა სისტემას, მაშინ ჩვენ ვიპოვით მათ. მაგალითად, დავდოთ x=0, შემდეგ მივიღებთ:
y=z;
y=3/2=1, 5.
ამგვარად, წერტილს, რომელიც მიეკუთვნება სასურველ სწორ ხაზს, აქვს კოორდინატები:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
შემდეგ მივიღებთ ამ ამოცანის პასუხს, სასურველი წრფის ვექტორული განტოლება ასე გამოიყურება:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
ხსნარის სისწორის შემოწმება მარტივად შეიძლება. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ λ პარამეტრის თვითნებური მნიშვნელობა და სწორი ხაზის წერტილის მიღებული კოორდინატები ჩაანაცვლოთ სიბრტყეების ორივე განტოლებაში, ორივე შემთხვევაში მიიღებთ იდენტურობას.
