მათემატიკაში არის ცნება "კომპლექტი", ისევე როგორც მაგალითები ამ სიმრავლეების ერთმანეთთან შედარების. კომპლექტების შედარების სახეობების სახელებია შემდეგი სიტყვები: ბიჟექცია, ინექცია, სურჟექცია. თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად არის აღწერილი ქვემოთ.
ბიექცია არის… რა არის ეს?
პირველი ნაკრების ელემენტების ერთი ჯგუფი ემთხვევა მეორე ნაკრების ელემენტთა მეორე ჯგუფს ამ ფორმით: პირველი ჯგუფის თითოეული ელემენტი პირდაპირ ემთხვევა მეორე ჯგუფის მეორე ელემენტს და იქ არ არის სიტუაცია რომელიმე კომპლექტის ან ორი ჯგუფის ელემენტების დეფიციტის ან ჩამოთვლის შემთხვევაში.
მთავარი თვისებების ფორმულირება:
- ერთი ელემენტი ერთში.
- შემთხვევისას ზედმეტი ელემენტები არ არის და პირველი თვისება შენარჩუნებულია.
- შესაძლებელია რუკების შებრუნება ზოგადი ხედის შენარჩუნებისას.
- ბიექცია არის ფუნქცია, რომელიც არის ინექციურიც და სუბიექტურიც.
ბიექცია მეცნიერული თვალსაზრისით
ბიექტური ფუნქციები არის ზუსტად იზომორფიზმები კატეგორიაში "ფუნქციების სიმრავლე და სიმრავლე". თუმცა, ბიექციები ყოველთვის არ არის იზომორფიზმი უფრო რთული კატეგორიებისთვის. მაგალითად, ჯგუფების გარკვეულ კატეგორიაში მორფიზმები უნდა იყოს ჰომორფიზმი, რადგან მათ უნდა შეინარჩუნონ ჯგუფის სტრუქტურა. მაშასადამე, იზომორფიზმები არის ჯგუფური იზომორფიზმები, რომლებიც ბიექტიური ჰომორფიზმებია.
კონცეფცია "ერთი-ერთთან შესაბამისობა" განზოგადებულია ნაწილობრივ ფუნქციებზე, სადაც მათ ნაწილობრივ ბიექციას უწოდებენ, თუმცა ნაწილობრივი ბიექცია არის ის, რაც უნდა იყოს ინექცია. ამ დასვენების მიზეზი არის ის, რომ ნაწილობრივი (სათანადო) ფუნქცია აღარ არის განსაზღვრული მისი დომენის ნაწილისთვის. ამრიგად, არ არსებობს კარგი მიზეზი, რომ შეზღუდოს მისი ინვერსიული ფუნქცია სრულით, ანუ განსაზღვრული ყველგან მის დომენში. მოცემულ საბაზისო სიმრავლის ყველა ნაწილობრივი ბიექციის სიმრავლეს ეწოდება სიმეტრიული შებრუნებული ნახევარჯგუფი.
იგივე ცნების განსაზღვრის კიდევ ერთი გზა: ღირს იმის თქმა, რომ სიმრავლეთა ნაწილობრივი ბიექცია A-დან B-მდე არის ნებისმიერი მიმართება R (პარციალური ფუნქცია) იმ თვისებასთან, რომ R არის ბიექციის გრაფიკი f:A'→B. 'სადაც A' არის A-ს ქვესიმრავლე და B' არის B-ის ქვესიმრავლე.
როდესაც ნაწილობრივი ბიექცია ერთსა და იმავე სიმრავლეზეა, მას ზოგჯერ უწოდებენ ერთ-ერთ ნაწილობრივ ტრანსფორმაციას. ამის მაგალითია მობიუსის ტრანსფორმაცია ახლახან განსაზღვრული კომპლექსურ სიბრტყეზე და არა მისი დასრულება გაფართოებულ კომპლექსურ სიბრტყეში.
ინექცია
პირველი ნაკრების ელემენტების ერთი ჯგუფი ემთხვევა მეორე ნაკრების ელემენტთა მეორე ჯგუფს ამ ფორმით: პირველი ჯგუფის თითოეული ელემენტი ემთხვევა მეორეს მეორე ელემენტს, მაგრამ არა ყველა ისინი გარდაიქმნება წყვილებად. დაუწყვილებელი ელემენტების რაოდენობა დამოკიდებულია ამ ელემენტების რაოდენობის განსხვავებაზე თითოეულ კომპლექტში: თუ ერთი ნაკრები შედგება ოცდათერთმეტი ელემენტისგან, ხოლო მეორეს აქვს კიდევ შვიდი, მაშინ დაუწყვილებელი ელემენტების რაოდენობა არის შვიდი. მიმართული ინექცია კომპლექტში. ბიექცია და ინექცია მსგავსია, მაგრამ მსგავსი არაფერია.
ქირურგიული ჩარევა
პირველი ნაკრების ელემენტების ერთი ჯგუფი ემთხვევა მეორე ნაკრების ელემენტთა მეორე ჯგუფს ამ გზით: ნებისმიერი ჯგუფის თითოეული ელემენტი ქმნის წყვილს, მაშინაც კი, თუ ელემენტების რაოდენობას შორის განსხვავებაა. აქედან გამომდინარეობს, რომ ერთი ჯგუფის ერთ ელემენტს შეუძლია დაწყვილდეს მეორე ჯგუფის რამდენიმე ელემენტთან.
არც ბიჯექტური, არც საინექციო და არც სუბიექტური ფუნქცია
ეს არის ბიჯექტური და სუბიექტური ფორმის ფუნქცია, მაგრამ ნაშთით (დაწყვილებული)=> ინექცია. ასეთ ფუნქციაში აშკარად არის კავშირი ბიჟექციასა და სურჟექციას შორის, ვინაიდან ის პირდაპირ მოიცავს ამ ორი ტიპის ნაკრების შედარებებს. ასე რომ, ყველა სახის ამ ფუნქციის მთლიანობა არ არის ერთ-ერთი მათგანი იზოლირებულად.
ყველა სახის ფუნქციის ახსნა
მაგალითად, დამკვირვებელი მოხიბლულია შემდეგით. ტარდება შეჯიბრებები მშვილდოსნობაში. Ყოველი მათგანიმონაწილეებს უნდათ მიზანში დარტყმა (დავალების გასაადვილებლად: ზუსტად არ არის გათვალისწინებული ისარი, სადაც მოხვდება). მხოლოდ სამი მონაწილე და სამი სამიზნე - ეს არის ტურნირის პირველი საიტი (საიტი). მომდევნო მონაკვეთებში მშვილდოსნების რაოდენობა შენარჩუნებულია, მაგრამ სამიზნეების რაოდენობა იცვლება: მეორეზე - ოთხი სამიზნე, შემდეგზე - ასევე ოთხი, ხოლო მეოთხეზე - ხუთი. თითოეული მონაწილე ისვრის თითოეულ სამიზნეს.
- ტურნირის პირველი ადგილი. პირველი მშვილდოსანი მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს. მეორე ურტყამს მხოლოდ ერთ მიზანს. მესამე მეორდება სხვების შემდეგ და ყველა მშვილდოსანი ურტყამს სხვადასხვა სამიზნეებს: მათ, რომლებიც მათ მოპირდაპირედ არიან. შედეგად, 1 (პირველი მშვილდოსანი) მოხვდა სამიზნეს (ა), 2 - (ბ)ში, 3 - (გ). შეინიშნება შემდეგი დამოკიდებულება: 1 – (ა), 2 – (ბ), 3 – (გ). დასკვნა იქნება განსჯა, რომ სიმრავლეების ასეთი შედარება ბიექციაა.
- ტურნირის მეორე პლატფორმა. პირველი მშვილდოსანი მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს. მეორეც მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს. მესამე ნამდვილად არ ცდილობს და ყველაფერს იმეორებს სხვების შემდეგ, მაგრამ მდგომარეობა იგივეა - ყველა მშვილდოსანი სხვადასხვა მიზანს ურტყამს. მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მეორე პლატფორმაზე უკვე ოთხი სამიზნეა. დამოკიდებულება: 1 - (ა), 2 - (ბ), 3 - (გ), (დ) - ნაკრების დაუწყვილებელი ელემენტი. ამ შემთხვევაში, დასკვნა იქნება გადაწყვეტილება, რომ ასეთი კომპლექტის შედარება არის ინექცია.
- ტურნირის მესამე ადგილი. პირველი მშვილდოსანი მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს. მეორე ისევ მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს. მესამე გადაწყვეტს თავის გაყვანას და ურტყამს მესამე და მეოთხე სამიზნეებს. შედეგად, დამოკიდებულება: 1 -(ა), 2 - (ბ), 3 - (გ), 3 - (დ). აქ დასკვნა იქნება განსჯა, რომ კომპლექტების ასეთი შედარება საეჭვოა.
- ტურნირის მეოთხე პლატფორმა. პირველით უკვე ყველაფერი ნათელია, ის მხოლოდ ერთ მიზანს ურტყამს, რომელშიც მალე აღარ დარჩება ადგილი ისედაც მოსაწყენი დარტყმებისთვის. ახლა მეორე იღებს ჯერ კიდევ ბოლო მესამედის როლს და ისევ ურტყამს მხოლოდ ერთ მიზანს, მეორდება პირველის შემდეგ. მესამე აგრძელებს თავის კონტროლს და არ წყვეტს ისრის გაცნობას მესამე და მეოთხე სამიზნეებზე. თუმცა მეხუთე მაინც მის კონტროლს მიღმა იყო. ასე რომ, დამოკიდებულება: 1 - (ა), 2 - (ბ), 3 - (გ), 3 - (დ), (ე) - სამიზნეების ნაკრების დაუწყვილებელი ელემენტი. დასკვნა: კომპლექტების ასეთი შედარება არ არის სპირექტირება, ინექცია და ბიექცია.
ახლა ბიექციის, ინექციის ან სპირექციის აგება არ იქნება პრობლემა, ისევე როგორც მათ შორის განსხვავებების პოვნა.
