მათემატიკასა და დამუშავებაში, ანალიტიკური სიგნალის კონცეფცია (მოკლედ - C, AC) არის რთული ფუნქცია, რომელსაც არ გააჩნია უარყოფითი სიხშირის კომპონენტები. ამ ფენომენის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები არის ჰილბერტის ტრანსფორმაციის მიერ ერთმანეთთან დაკავშირებული რეალური ფუნქციები. ანალიტიკური სიგნალი საკმაოდ გავრცელებული მოვლენაა ქიმიაში, რომლის არსი ამ ცნების მათემატიკური განმარტების მსგავსია.
სპექტაკლები
რეალური ფუნქციის ანალიტიკური წარმოდგენა არის ანალიტიკური სიგნალი, რომელიც შეიცავს თავდაპირველ ფუნქციას და მის ჰილბერტის ტრანსფორმაციას. ეს წარმოდგენა ხელს უწყობს ბევრ მათემატიკურ მანიპულაციას. მთავარი იდეა ისაა, რომ რეალური ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნის (ან სპექტრის) უარყოფითი სიხშირის კომპონენტები ზედმეტია ასეთი სპექტრის ჰერმიციული სიმეტრიის გამო. ამ უარყოფითი სიხშირის კომპონენტების გაუქმება შესაძლებელია მის გარეშეინფორმაციის დაკარგვა, იმ პირობით, რომ ამის ნაცვლად გსურთ გაუმკლავდეთ რთულ ფუნქციას. ეს ხდის გარკვეულ მახასიათებლებს უფრო ხელმისაწვდომს და აადვილებს მოდულაციის და დემოდულაციის ტექნიკის გამოყვანას, როგორიცაა SSB.
უარყოფითი კომპონენტები
სანამ ფუნქციას, რომლის მანიპულირება არ არის უარყოფითი სიხშირის კომპონენტები (ანუ ის ჯერ კიდევ ანალიტიკურია), რთულიდან რეალურად გადაქცევა უბრალოდ წარმოსახვითი ნაწილის გაუქმების საკითხია. ანალიტიკური წარმოდგენა არის ვექტორის ცნების განზოგადება: მაშინ, როცა ვექტორი შემოიფარგლება დროში უცვლელი ამპლიტუდით, ფაზათა და სიხშირით, ანალიტიკური სიგნალის ხარისხობრივი ანალიზი იძლევა დროის ცვალებად პარამეტრებს..
მყისიერი ამპლიტუდა, მყისიერი ფაზა და სიხშირე გამოიყენება ზოგიერთ აპლიკაციაში C-ის ლოკალური მახასიათებლების გასაზომად და გამოსავლენად. ანალიტიკური წარმოდგენის კიდევ ერთი გამოყენება ეხება მოდულირებული სიგნალების დემოდულაციას. პოლარული კოორდინატები მოხერხებულად განასხვავებენ AM და ფაზის (ან სიხშირის) მოდულაციის ეფექტებს და ეფექტურად ახდენენ გარკვეული სახის დემოდულაციას.
მაშინ უბრალო დაბალგამშვებ ფილტრს რეალური კოეფიციენტებით შეუძლია შეწყვიტოს ინტერესის ნაწილი. კიდევ ერთი მოტივი არის მაქსიმალური სიხშირის დაწევა, რაც ამცირებს მინიმალურ სიხშირეს არაფრის შერჩევისთვის. სიხშირის ცვლა არ ძირს უთხრის წარმოდგენის მათემატიკურ სარგებლიანობას. ამრიგად, ამ თვალსაზრისით, ქვევით კონვერტირება კვლავ ანალიტიკურია. თუმცა რეალური წარმომადგენლობის აღდგენააღარ არის რეალური კომპონენტის უბრალოდ ამოღება მარტივი საკითხი. შესაძლოა საჭირო გახდეს ზეკონვერტაცია, ხოლო თუ სიგნალის ნიმუშის აღება (დისკრეტული დრო), შეიძლება ასევე საჭირო გახდეს ინტერპოლაცია (upsampling), რათა თავიდან იქნას აცილებული ალიასი.
ცვლადები
ცნება კარგად არის განსაზღვრული ერთი ცვლადი ფენომენისთვის, რომელიც ჩვეულებრივ დროებითია. ეს დროებითი ბევრ დამწყებ მათემატიკოსს აბნევს. ორი ან მეტი ცვლადისთვის, ანალიტიკური C შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით და ორი მიდგომა წარმოდგენილია ქვემოთ.
ამ ფენომენის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები შეესაბამება ვექტორული მნიშვნელობის მონოგენური სიგნალის ორ ელემენტს, როგორც ეს განსაზღვრულია ერთი ცვლადის მქონე მსგავსი ფენომენებისთვის. თუმცა, მონოგენური შეიძლება გავრცელდეს ცვლადების თვითნებურ რაოდენობაზე მარტივი გზით, შექმნას (n + 1) განზომილებიანი ვექტორული ფუნქცია n-ცვლადი სიგნალების შემთხვევაში.
სიგნალის კონვერტაცია
შეგიძლიათ გადაიყვანოთ რეალური სიგნალი ანალიტიკურ სიგნალად წარმოსახვითი (Q) კომპონენტის დამატებით, რომელიც არის რეალური კომპონენტის ჰილბერტის ტრანსფორმაცია.
სხვათა შორის, ეს არ არის ახალი მისი ციფრული დამუშავებისთვის. ერთი გვერდითი ზოლის (SSB) AM-ის გენერირების ერთ-ერთი ტრადიციული გზა, ფაზირების მეთოდი, გულისხმობს სიგნალების შექმნას აუდიო სიგნალის ჰილბერტის ტრანსფორმაციის გენერირებით ანალოგური რეზისტორ-კონდენსატორის ქსელში. ვინაიდან მას აქვს მხოლოდ დადებითი სიხშირეები, ადვილია მისი გადაქცევა მოდულირებულ RF სიგნალად მხოლოდ ერთი გვერდითი ზოლით.
განმარტების ფორმულები
ანალიტიკური სიგნალის გამოხატულება არის ჰოლომორფული კომპლექსური ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება ზედა რთული ნახევარსიბრტყის საზღვარზე. ზედა ნახევრად სიბრტყის საზღვარი ემთხვევა შემთხვევითობას, ამიტომ C მოცემულია რუკებით fa: R → C. გასული საუკუნის შუა ხანებიდან, როდესაც დენის გაბორმა 1946 წელს შესთავაზა ამ ფენომენის გამოყენება მუდმივი ამპლიტუდისა და ფაზის შესასწავლად., სიგნალმა იპოვა მრავალი აპლიკაცია. ხაზგასმით აღინიშნა ამ ფენომენის თავისებურება [Vak96], სადაც ნაჩვენები იყო, რომ მხოლოდ ანალიტიკური სიგნალის ხარისხობრივი ანალიზი შეესაბამება ფიზიკურ პირობებს ამპლიტუდის, ფაზის და სიხშირის მიმართ.
უახლესი მიღწევები
ბოლო რამდენიმე ათწლეულის განმავლობაში გაჩნდა ინტერესი სიგნალის მრავალი განზომილების შესწავლით, რაც მოტივირებული იყო იმ სფეროებში, რომლებიც წარმოიქმნება გამოსახულების/ვიდეოს დამუშავებიდან ფიზიკაში მრავალგანზომილებიანი რხევითი პროცესებით, როგორიცაა სეისმური, ელექტრომაგნიტური და გრავიტაციული ტალღები. ზოგადად მიღებულია, რომ ანალიტიკური C (ხარისხობრივი ანალიზი) რამდენიმე განზომილების შემთხვევაში სწორად განზოგადებისთვის, უნდა დაეყრდნოთ ალგებრულ კონსტრუქციას, რომელიც აფართოებს ჩვეულებრივ კომპლექსურ რიცხვებს მოსახერხებელი გზით. ასეთ კონსტრუქციებს ჩვეულებრივ უწოდებენ ჰიპერკომპლექსურ რიცხვებს [SKE].
და ბოლოს, შესაძლებელი უნდა იყოს ჰიპერკომპლექსური ანალიტიკური სიგნალის აგება fh: Rd → S, სადაც წარმოდგენილია ზოგიერთი ზოგადი ჰიპერკომპლექსური ალგებრული სისტემა, რომელიც ბუნებრივად ავრცელებს ყველა საჭირო თვისებას მყისიერი ამპლიტუდის მისაღებად დაეტაპი.
სწავლა
რამდენიმე ნაშრომი ეძღვნება სხვადასხვა საკითხებს, რომლებიც დაკავშირებულია ჰიპერკომპლექსური რიცხვების სისტემის სწორ არჩევასთან, ჰიპერკომპლექსური ფურიეს ტრანსფორმაციისა და წილადური ჰილბერტის ტრანსფორმაციების განმარტებასთან მყისიერი ამპლიტუდისა და ფაზის შესასწავლად. ამ ნამუშევრის უმეტესი ნაწილი დაფუძნებული იყო სხვადასხვა სივრცის თვისებებზე, როგორიცაა Cd, კვატერნიონები, კლეარონის ალგებრები და კეილი-დიქსონის კონსტრუქციები.
შემდეგ, ჩვენ ჩამოვთვლით მხოლოდ რამდენიმე სამუშაოს, რომელიც მიეძღვნა სიგნალის მრავალ განზომილებაში შესწავლას. როგორც ვიცით, პირველი ნამუშევრები მულტივარიანტულ მეთოდზე 1990-იანი წლების დასაწყისში იქნა მიღებული. მათ შორისაა ელის ნაშრომი [Ell92] ჰიპერკომპლექსური გარდაქმნების შესახებ; ბულოუს ნაშრომი ანალიტიკური რეაქციის (ანალიტიკური სიგნალი) მეთოდის განზოგადებაზე მრავალ გაზომვაზე [BS01] და ფელსბერგისა და სომერის მუშაობა მონოგენურ სიგნალებზე.
შემდეგი პერსპექტივები
ჰიპერკომპლექსური სიგნალი სავარაუდოდ გააფართოვებს ყველა სასარგებლო თვისებას, რაც გვაქვს 1D შემთხვევაში. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა შეგვეძლოს მყისიერი ამპლიტუდისა და ფაზის ამოღება და განზოგადება გაზომვებამდე. მეორეც, რთული ანალიტიკური სიგნალის ფურიეს სპექტრი შენარჩუნებულია მხოლოდ დადებით სიხშირეებზე, ამიტომ ჩვენ ველით, რომ ჰიპერკომპლექსური ფურიეს ტრანსფორმაციას ექნება საკუთარი ჰიპერმნიშვნელოვანი სპექტრი, რომელიც შენარჩუნდება მხოლოდ ჰიპერკომპლექსური სივრცის ზოგიერთ დადებით კვადრატში. რადგან ეს ძალიან მნიშვნელოვანია.
მესამე, რთული კონცეფციის ნაწილების შერწყმაანალიტიკური სიგნალი დაკავშირებულია ჰილბერტის ტრანსფორმაციასთან და შეიძლება ველოდოთ, რომ ჰიპერკომპლექსურ სივრცეში კონიუგირებული კომპონენტები ასევე დაკავშირებული უნდა იყოს ჰილბერტის გარდაქმნების ზოგიერთ კომბინაციასთან. და ბოლოს, მართლაც, ჰიპერკომპლექსური სიგნალი უნდა განისაზღვროს, როგორც ჰიპერკომპლექსური ცვლადის ზოგიერთი ჰიპერკომპლექსური ჰოლომორფული ფუნქციის გაფართოება, რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ფორმის საზღვარზე ჰიპერკომპლექსურ სივრცეში.
ჩვენ განვიხილავთ ამ საკითხებს თანმიმდევრობით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვიწყებთ ფურიეს ინტეგრალური ფორმულის დათვალიერებით და ვაჩვენებთ, რომ ჰილბერტის ტრანსფორმაცია 1-D-ზე დაკავშირებულია შეცვლილ ფურიეს ინტეგრალურ ფორმულასთან. ეს ფაქტი საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მყისიერი ამპლიტუდა, ფაზა და სიხშირე ჰიპერკომპლექსური რიცხვების სისტემებზე და ჰოლომორფულ ფუნქციებზე მითითების გარეშე.
ინტეგრალების მოდიფიკაცია
ჩვენ ვაგრძელებთ შეცვლილი ფურიეს ინტეგრალური ფორმულის რამდენიმე განზომილებას და განვსაზღვრავთ ყველა აუცილებელ ფაზაში გადანაცვლებულ კომპონენტს, რომელიც შეგვიძლია შევაგროვოთ მყისიერ ამპლიტუდაში და ფაზაში. მეორე, ჩვენ მივმართავთ საკითხს რამდენიმე ჰიპერკომპლექსური ცვლადის ჰოლომორფული ფუნქციების არსებობის შესახებ. მას შემდეგ, რაც [Sch93] ირკვევა, რომ ელიფსური (e2i=−1) გენერატორების მიერ წარმოქმნილი კომუტაციური და ასოციაციური ჰიპერკომპლექსური ალგებრა არის შესაფერისი სივრცე ჰიპერკომპლექსური ანალიტიკური სიგნალისთვის, ჩვენ ასეთ ჰიპერკომპლექსურ ალგებრას ვუწოდებთ შაფერსის სივრცეს და აღვნიშნავთ. ისSd.
აქედან გამომდინარე, ანალიტიკური სიგნალების ჰიპერკომპლექსი განისაზღვრება, როგორც ჰოლომორფული ფუნქცია პოლიდისკის / სიბრტყის ზედა ნახევრის საზღვარზე ზოგიერთ ჰიპერკომპლექსურ სივრცეში, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ ზოგად Schaefers სივრცეს და აღვნიშნავთ Sd. შემდეგ ჩვენ ვაკვირდებით კოშის ინტეგრალური ფორმულის მართებულობას Sd → Sd ფუნქციებისთვის, რომლებიც გამოითვლება ჰიპერზედაპირზე პოლიდისკის შიგნით Sd-ში და ვიღებთ შესაბამის წილადობრივ ჰილბერტის გარდაქმნებს, რომლებიც აკავშირებენ ჰიპერკომპლექსურ კონიუგატ კომპონენტებს. საბოლოოდ, გამოდის, რომ ფურიეს ტრანსფორმაცია მნიშვნელობებით Schaefers სივრცეში მხარდაჭერილია მხოლოდ არაუარყოფით სიხშირეებზე. ამ სტატიის წყალობით თქვენ გაიგეთ რა არის ანალიტიკური სიგნალი.
