პითაგორას თეორემა: ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

ყველა მოსწავლემ იცის, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი ყოველთვის უდრის ფეხებათა ჯამს, რომელთაგან თითოეული კვადრატულია. ამ განცხადებას პითაგორას თეორემა ეწოდება. ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი თეორემა ტრიგონომეტრიასა და ზოგადად მათემატიკაში. განიხილეთ ეს უფრო დეტალურად.

მართკუთხა სამკუთხედის ცნება

ვიდრე პითაგორას თეორემის განხილვის დაწყებამდე, რომელშიც ჰიპოტენუზას კვადრატი უდრის კვადრატულ კუთხთა ჯამს, უნდა განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედის ცნება და თვისებები, რომლის თეორემაც მოქმედებს.

სამკუთხედი არის ბრტყელი ფიგურა სამი კუთხით და სამი გვერდით. მართკუთხა სამკუთხედს, როგორც მისი სახელი გულისხმობს, აქვს ერთი მართი კუთხე, ანუ ეს კუთხე არის 90o..

ყველა სამკუთხედის ზოგადი თვისებებიდან ცნობილია, რომ ამ ფიგურის სამივე კუთხის ჯამი არის 180^o, რაც ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედისთვის ჯამი ორი კუთხე, რომელიც არ არის სწორი, არის 180^o -90^o=90^o. ბოლო ფაქტი ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ნებისმიერი კუთხე, რომელიც არ არის მართი, ყოველთვის იქნება 90^{o.-ზე ნაკლები.}

გვერდს, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ, ჰიპოტენუზა ეწოდება. დანარჩენი ორი გვერდი არის სამკუთხედის ფეხები, ისინი შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი, ან შეიძლება განსხვავდებოდეს. ტრიგონომეტრიიდან ცნობილია, რომ რაც უფრო დიდია კუთხე, რომლის მიმართაც გვერდი დევს სამკუთხედში, მით მეტია ამ გვერდის სიგრძე. ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა (იწოლა კუთხის საპირისპიროდ 90^o) ყოველთვის იქნება უფრო დიდი ვიდრე რომელიმე ფეხი (იწევა კუთხის საპირისპიროდ < 90^o.).

პითაგორას თეორემის მათემატიკური აღნიშვნა

ეს თეორემა ამბობს, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების ჯამს, რომელთაგან თითოეული წინა კვადრატია. ამ ფორმულირების მათემატიკურად დასაწერად განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც გვერდები a, b და c არის, შესაბამისად, ორი ფეხი და ჰიპოტენუზა. ამ შემთხვევაში, თეორემა, რომელიც მითითებულია, როგორც ჰიპოტენუზის კვადრატი, უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. აქედან შეგიძლიათ მიიღოთ პრაქტიკისთვის მნიშვნელოვანი სხვა ფორმულები: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) და c=√(a}2 ^{+ b}2^).

გაითვალისწინეთ, რომ მართკუთხა ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევაში, ანუ a=b, ფორმულირება: ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის წვივების ჯამს, რომელთაგან თითოეულიკვადრატში, მათემატიკურად იწერება როგორც: c²=a² + b²=2a ^{2, რაც გულისხმობს ტოლობას: c=a√2.}

ისტორიული ფონი

პითაგორას თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების ჯამს, რომელთაგან თითოეული კვადრატია, ცნობილი იყო დიდი ხნით ადრე, სანამ ცნობილი ბერძენი ფილოსოფოსი მას ყურადღებას მიაქცევდა. ძველი ეგვიპტის მრავალი პაპირუსი, ისევე როგორც ბაბილონელების თიხის ფირფიტები, ადასტურებს, რომ ეს ხალხები იყენებდნენ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების აღნიშვნას. მაგალითად, ერთ-ერთი პირველი ეგვიპტური პირამიდა, ხაფრეს პირამიდა, რომლის აგება თარიღდება ძვ.

მაშინ რატომ არის თეორემა ახლა ბერძნულის სახელით? პასუხი მარტივია: პითაგორა პირველია, ვინც მათემატიკურად დაამტკიცა ეს თეორემა. შემორჩენილი ბაბილონური და ეგვიპტური წერილები მხოლოდ მის გამოყენებას ასახელებენ, მაგრამ არავითარ მათემატიკურ მტკიცებულებას არ გვაწვდიან.

ითვლება, რომ პითაგორამ დაამტკიცა განხილული თეორემა მსგავსი სამკუთხედების თვისებების გამოყენებით, რომელიც მან მიიღო მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლის დახაზვით 90o კუთხიდან. ჰიპოტენუზა.

პითაგორას თეორემის გამოყენების მაგალითი

განვიხილოთ მარტივი პრობლემა: აუცილებელია განვსაზღვროთ დახრილი კიბის სიგრძე L, თუ ცნობილია, რომ მას აქვს სიმაღლე H=3.მეტრი და მანძილი კედლიდან, რომელზედაც კიბე ეყრდნობა მის ფეხებამდე არის P=2,5 მეტრი.

ამ შემთხვევაში, H და P არის ფეხები, ხოლო L არის ჰიპოტენუზა. ვინაიდან ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, მივიღებთ: L²=H² + P 2^{, საიდანაც L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 მეტრი ან 3 მეტრი და 90,5 სმ.}