მასშტაბურ ვერსიაში მოდელი არის გარკვეული ფენომენის ან პროცესის ერთგვარი სურათი, დიაგრამა, რუკა, აღწერა, გამოსახულება. თავად ფენომენს მათემატიკური ან ეკონომიკური მოდელის ორიგინალს უწოდებენ.
რა არის მოდელირება?
მოდელირება არის ზოგიერთი ობიექტის, სისტემის შესწავლა. მისი განსახორციელებლად აგებულია და გაანალიზებულია მოდელი.
მოდელირების ყველა ეტაპი მოიცავს სამეცნიერო ექსპერიმენტს, რომლის ობიექტია აბსტრაქტული ან სუბიექტური მოდელი. ექსპერიმენტის ჩატარებისას კონკრეტული ფენომენი იცვლება სქემით ან გამარტივებული მოდელით (ასლი). ზოგიერთ შემთხვევაში, სამუშაო მოდელი იკრიბება, რათა გაიგოს მუშაობის მექანიზმი მისი მაგალითის გამოყენებით, გაანალიზდეს გამოცდილების შედეგების საბაზრო ეკონომიკაში დანერგვის ეკონომიკური მიზანშეწონილობა. ერთი და იგივე ფენომენი შეიძლება განიხილებოდეს სხვადასხვა მოდელის მიერ.
მკვლევარმა უნდა აირჩიოს მოდელირების საჭირო ეტაპები, ოპტიმალურად გამოიყენოს ისინი. მოდელების გამოყენება აქტუალურია იმ შემთხვევებში, როდესაც რეალური ობიექტი არ არის ხელმისაწვდომი, ან მასთან ექსპერიმენტები დაკავშირებულია სერიოზულ გარემოსდაცვით პრობლემებთან. მიმდინარე მოდელი ასევე გამოიყენება სიტუაციებში, როდესაც რეალური ექსპერიმენტიამოიცავს მნიშვნელოვან მატერიალურ ხარჯებს.
მათემატიკური მოდელირების მახასიათებლები
მეცნიერებაში შეუცვლელია მათემატიკური მოდელები, ასევე მათთვის ინსტრუმენტები - მათემატიკური ცნებები. რამდენიმე ათასწლეულის განმავლობაში ისინი დაგროვდნენ და მოდერნიზდნენ. თანამედროვე მათემატიკაში არსებობს კვლევის უნივერსალური და ძლიერი გზები. „მეცნიერებათა დედოფლის“მიერ განხილული ნებისმიერი ობიექტი მათემატიკური მოდელია. შერჩეული ობიექტის დეტალური ანალიზისთვის შეირჩევა მათემატიკური მოდელირების ეტაპები. მათი დახმარებით ხდება დეტალების, თავისებურებების, დამახასიათებელი ნიშნების გამოყოფა, მიღებული ინფორმაციის სისტემატიზაცია და ობიექტის სრული აღწერა.
მათემატიკური ფორმალიზაცია გულისხმობს კვლევის დროს მუშაობას სპეციალური ცნებებით: მატრიცა, ფუნქცია, წარმოებული, ანტიწარმოებული, რიცხვები. ის მიმართებები და კავშირები, რომლებიც შესასწავლ ობიექტში გვხვდება შემადგენელ ელემენტებსა და დეტალებს შორის, აღირიცხება მათემატიკური მიმართებებით: განტოლებები, უტოლობა, ტოლობები. შედეგად მიიღება ფენომენის ან პროცესის მათემატიკური აღწერა და, შესაბამისად, მათი მათემატიკური მოდელი.
წესები მათემატიკური მოდელის შესწავლის
არსებობს მოდელირების ნაბიჯების გარკვეული თანმიმდევრობა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაამყაროთ კავშირი ეფექტებსა და მიზეზებს შორის. სისტემის შემუშავების ან შესწავლის ცენტრალური ეტაპი არის სრულფასოვანი მათემატიკური მოდელის აგება. ამ ობიექტის შემდგომი ანალიზი პირდაპირ დამოკიდებულია შესრულებული მოქმედებების ხარისხზე. Შენობამათემატიკური ან ეკონომიკური მოდელი არ არის ფორმალური პროცედურა. ის უნდა იყოს მარტივი გამოსაყენებელი, ზუსტი, რათა არ იყოს დამახინჯებული ანალიზის შედეგებში.
მათემატიკური მოდელების კლასიფიკაციის შესახებ
არსებობს ორი სახეობა: დეტერმინისტული და სტოქასტური მოდელები. დეტერმინისტული მოდელები გულისხმობს ერთი-ერთზე კორესპონდენციის დამყარებას ცვლადებს შორის, რომლებიც გამოიყენება ფენომენის ან ობიექტის აღსაწერად.
ეს მიდგომა ეფუძნება ინფორმაციას ობიექტის მოქმედების პრინციპის შესახებ. ხშირ შემთხვევაში მოდელირებულ ფენომენს რთული სტრუქტურა აქვს და მის გაშიფვრას დიდი დრო და ცოდნა სჭირდება. ასეთ სიტუაციებში შეირჩევა ისეთი მოდელირების ეტაპები, რომლებიც საშუალებას მისცემს ორიგინალზე ექსპერიმენტების ჩატარებას, მიღებული შედეგების დამუშავებას, ობიექტის თეორიულ მახასიათებლებში შესვლის გარეშე. ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტატისტიკა და ალბათობის თეორია. შედეგი არის სტოქასტური მოდელი. ცვლადებს შორის არის შემთხვევითი კავშირი. სხვადასხვა ფაქტორების დიდი რაოდენობა იწვევს ცვლადების შემთხვევით კრებულს, რომელიც ახასიათებს ფენომენს ან ობიექტს.
თანამედროვე მოდელირების ნაბიჯები ვრცელდება სტატიკურ და დინამიურ მოდელებზე. სტატიკურ ხედებში, შექმნილი ფენომენის ცვლადებს შორის ურთიერთობის აღწერა არ გულისხმობს ძირითადი პარამეტრების დროის ცვლილების გათვალისწინებას. დინამიური მოდელებისთვის, ცვლადებს შორის ურთიერთობის აღწერა ხორციელდება დროებითი ცვლილებების გათვალისწინებით.
მოდელების მრავალფეროვნება:
- უწყვეტი;
- დისკრეტული;
- შერეული
მათემატიკური მოდელირების სხვადასხვა ეტაპები შესაძლებელს ხდის ხაზოვან მოდელებში ურთიერთობებისა და ფუნქციების აღწერას ცვლადების პირდაპირი კავშირის გამოყენებით.
რა მოთხოვნები აქვს მოდელებს?
- მრავალფეროვნება. მოდელი უნდა იყოს რეალური ობიექტის თანდაყოლილი ყველა თვისების სრული წარმოდგენა.
- ადეკვატურობა. ობიექტის მნიშვნელოვანი მახასიათებლები არ უნდა აღემატებოდეს მითითებულ შეცდომას.
- სიზუსტე. იგი ახასიათებს რეალობაში არსებული ობიექტის მახასიათებლების დამთხვევის ხარისხს მოდელის შესწავლისას მიღებულ მსგავს პარამეტრებთან.
- ეკონომიკა. მოდელი უნდა იყოს მინიმალური მატერიალური ხარჯების თვალსაზრისით.
მოდელირების ნაბიჯები
მოდით განვიხილოთ მათემატიკური მოდელირების ძირითადი ეტაპები.
დავალების არჩევა. შეირჩევა კვლევის მიზანი, შეირჩევა მისი განხორციელების მეთოდები და შემუშავდა ექსპერიმენტის სტრატეგია. ეს ეტაპი სერიოზულ სამუშაოს მოიცავს. სიმულაციის საბოლოო შედეგი დამოკიდებულია დავალების სისწორეზე
- თეორიული საფუძვლების ანალიზი, ობიექტის შესახებ მიღებული ინფორმაციის შეჯამება. ეს ეტაპი მოიცავს თეორიის შერჩევას ან შექმნას. ობიექტის შესახებ თეორიული ცოდნის არარსებობის შემთხვევაში, მიზეზობრივი კავშირი მყარდება ფენომენის ან ობიექტის აღსაწერად არჩეულ ყველა ცვლადს შორის. ამ ეტაპზე დგინდება საწყისი და საბოლოო მონაცემები და დგება ჰიპოთეზა.
- ფორმალიზაცია. განხორციელდასპეციალური აღნიშვნის სისტემის არჩევა, რომელიც დაგეხმარებათ მათემატიკური გამონათქვამების სახით დაწეროთ მოცემული ობიექტის კომპონენტებს შორის ურთიერთობა.
დამატებები ალგორითმში
მოდელის პარამეტრების დაყენების შემდეგ არჩეულია ამოხსნის გარკვეული მეთოდი ან მეთოდი.
- შექმნილი მოდელის დანერგვა. სისტემის მოდელირების ეტაპების შერჩევის შემდეგ იქმნება პროგრამა, რომელიც ტესტირება და გამოყენება ხდება პრობლემის გადასაჭრელად.
- შეგროვებული ინფორმაციის ანალიზი. დავალებასა და მიღებულ ამოხსნას შორის კეთდება ანალოგია და დგინდება მოდელირების შეცდომა.
- შემოწმება შეესაბამება თუ არა მოდელი რეალურ ობიექტს. თუ მათ შორის მნიშვნელოვანი განსხვავებაა, შემუშავებულია ახალი მოდელი. მოდელის რეალურ კოლეგასთან იდეალური შესაბამისობის მიღწევამდე ტარდება დეტალების დახვეწა და შეცვლა.
სიმულაციის მახასიათებელი
გასული საუკუნის შუა წლებში თანამედროვე ადამიანის ცხოვრებაში გამოჩნდა კომპიუტერული ტექნოლოგია, გაიზარდა ობიექტებისა და ფენომენების შესწავლის მათემატიკური მეთოდების აქტუალობა. გამოჩნდა ისეთი სექციები, როგორიცაა "მათემატიკური ქიმია", "მათემატიკური ლინგვისტიკა", "მათემატიკური ეკონომიკა", რომელიც ეხებოდა ფენომენების და ობიექტების შესწავლას, შეიქმნა მოდელირების ძირითადი ეტაპები.
მათი მთავარი მიზანი იყო დაგეგმილი დაკვირვებების პროგნოზირება, გარკვეული ობიექტების შესწავლა. გარდა ამისა, მოდელირების დახმარებით შეგიძლიათ გაეცნოთ თქვენს გარშემო არსებულ სამყაროს, მოძებნოთ მისი კონტროლის გზები. კომპიუტერული ექსპერიმენტი უნდა ჩატარდეს იმ შემთხვევებში, როდესაცნამდვილი არ მუშაობს. შესწავლილი ფენომენის მათემატიკური მოდელის აგების შემდეგ, კომპიუტერული გრაფიკის გამოყენებით, შეიძლება შეისწავლოს ბირთვული აფეთქებები, ჭირის ეპიდემიები და ა.შ.
სპეციალისტები განასხვავებენ მათემატიკური მოდელირების სამ ეტაპს და თითოეულს აქვს საკუთარი მახასიათებლები:
- მოდელის აგება. ეს ეტაპი მოიცავს ეკონომიკური გეგმის, ბუნებრივი მოვლენების, მშენებლობის, წარმოების პროცესს. ძნელია ნათლად აღწერო სიტუაცია ამ შემთხვევაში. ჯერ უნდა დაადგინოთ ფენომენის სპეციფიკა, დაადგინოთ ურთიერთობა მასსა და სხვა ობიექტებს შორის. შემდეგ ყველა ხარისხობრივი მახასიათებელი ითარგმნება მათემატიკური ენაზე და იქმნება მათემატიკური მოდელი. ეს ეტაპი ყველაზე რთულია მთელი მოდელირების პროცესში.
- მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის ეტაპი, რომელიც დაკავშირებულია ალგორითმების შემუშავებასთან, კომპიუტერულ ტექნოლოგიაზე პრობლემის გადაჭრის მეთოდებთან, გაზომვის შეცდომების იდენტიფიცირებასთან.
- კვლევის დროს მიღებული ინფორმაციის თარგმნა იმ ტერიტორიის ენაზე, სადაც ექსპერიმენტი ჩატარდა.
მათემატიკური მოდელირების ეს სამი ეტაპი დამატებულია მიღებული მოდელის ადეკვატურობის შემოწმებით. შემოწმება ხდება ექსპერიმენტში მიღებულ შედეგებს შორის თეორიულ ცოდნასთან შესაბამისობის შესახებ. საჭიროების შემთხვევაში შეცვალეთ შექმნილი მოდელი. ის რთული ან გამარტივებულია მიღებული შედეგების მიხედვით.
ეკონომიკური მოდელირების მახასიათებლები
მათემატიკური მოდელირების
3 ეტაპი მოიცავს ალგებრული, დიფერენციალური სისტემების გამოყენებასგანტოლებები. რთული ობიექტები აგებულია გრაფიკის თეორიის გამოყენებით. იგი მოიცავს წერტილების ერთობლიობას სივრცეში ან სიბრტყეზე, ნაწილობრივ დაკავშირებული კიდეებით. ეკონომიკური მოდელირების ძირითადი ეტაპები მოიცავს რესურსების არჩევას, მათ განაწილებას, ტრანსპორტირების აღრიცხვას, ქსელის დაგეგმვას. რომელი ქმედება არ არის მოდელირების ნაბიჯი? ძნელია ამ კითხვაზე ცალსახად პასუხის გაცემა, ეს ყველაფერი დამოკიდებულია კონკრეტულ სიტუაციაზე. მოდელირების პროცესის ძირითადი ეტაპები მოიცავს კვლევის მიზნისა და საგნის ფორმულირებას, მიზნის მისაღწევად ძირითადი მახასიათებლების დადგენას და მოდელის ფრაგმენტებს შორის ურთიერთობის აღწერას. შემდეგ შეასრულეთ გამოთვლები მათემატიკური ფორმულების გამოყენებით.
მაგალითად, მომსახურების თეორია არის რიგის პრობლემა. მნიშვნელოვანია იპოვოთ ბალანსი მოწყობილობების შენარჩუნების ღირებულებასა და რიგში ყოფნის ღირებულებას შორის. მოდელის ფორმალური აღწერის აგების შემდეგ, გამოთვლები ხორციელდება გამოთვლითი და ანალიტიკური ტექნოლოგიების გამოყენებით. მოდელის ხარისხობრივი შედგენით, შეგიძლიათ იპოვოთ პასუხი ყველა კითხვაზე. თუ მოდელი ცუდია, შეუძლებელია იმის გაგება, თუ რომელი მოქმედება არ არის მოდელირების ნაბიჯი.
პრაქტიკულობა არის ჭეშმარიტი კრიტერიუმი ფენომენის ან მოდელის ადეკვატურობის შესაფასებლად. მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები, ოპტიმიზაციის ვარიანტების ჩათვლით, მოიცავს მიზნების დასახვას. მაგრამ ამ მიზნის მიღწევის გზა განსხვავებულია. პროცესში შესაძლო სირთულეებს შორის უნდა გამოვყოთ:
- კომპლექსურ სისტემაში რამდენიმეაჰალსტუხები;
- რთულია ყველა შემთხვევითი ფაქტორის გათვალისწინება რეალური სისტემის ანალიზისას;
- პრობლემურია მათემატიკური აპარატის შედარება იმ შედეგებთან, რისი მიღებაც გსურთ
ბევრი სირთულის გამო, რომელიც წარმოიქმნება მრავალმხრივი სისტემების შესწავლის პროცესში, შემუშავებულია სიმულაციური მოდელირება. იგი გაგებულია, როგორც კომპიუტერული ტექნოლოგიების სპეციალური პროგრამების ნაკრები, რომელიც აღწერს სისტემის ცალკეული ელემენტების მუშაობას და მათ შორის ურთიერთობას. შემთხვევითი ცვლადების გამოყენება გულისხმობს ექსპერიმენტების განმეორებით გამეორებას, შედეგების სტატისტიკურ დამუშავებას. სიმულაციური სისტემასთან მუშაობა არის ექსპერიმენტი, რომელიც ტარდება კომპიუტერული ტექნოლოგიების დახმარებით. რა უპირატესობა აქვს ამ სისტემას? ამ გზით შესაძლებელია უფრო დიდი სიახლოვის მიღწევა თავდაპირველ სისტემასთან, რაც შეუძლებელია მათემატიკური მოდელის შემთხვევაში. ბლოკის პრინციპის გამოყენებით, შეგიძლიათ გაანალიზოთ ცალკეული ბლოკები, სანამ ისინი ერთ სისტემაში შედიან. ეს პარამეტრი საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ რთული ურთიერთობები, რომელთა აღწერა შეუძლებელია ჩვეულებრივი მათემატიკური ურთიერთობების გამოყენებით.
სიმულაციური სისტემის აგების მინუსებს შორის გამოვყოფთ დროისა და რესურსების ღირებულებას, ასევე თანამედროვე კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენების აუცილებლობას.
მოდელირების განვითარების ეტაპები შედარებულია საზოგადოებაში მიმდინარე ცვლილებებთან. გამოყენების სფეროს მიხედვით, ყველა მოდელი იყოფა სასწავლო პროგრამებად, ტრენაჟორებად, სასწავლო და ვიზუალურ საშუალებებად. ექსპერიმენტულ მოდელებს შეუძლიათ შემცირდეს რეალური ობიექტების (მანქანების) ასლები. სამეცნიერო და ტექნიკური ვარიანტებიარის ელექტრო მოწყობილობების ანალიზისთვის შექმნილი სტენდები. სიმულაციური მოდელები არა მხოლოდ ასახავს რეალურ რეალობას, ისინი მოიცავს ტესტირებას ლაბორატორიულ თაგვებზე, ექსპერიმენტებს განათლების სისტემაში. იმიტაცია განიხილება, როგორც საცდელი და შეცდომის მეთოდი.
არსებობს ყველა მოდელის დაყოფა პრეზენტაციის ვარიანტის მიხედვით. მასალის მოდელებს საგანი ეწოდება. ასეთი ვარიანტები დაჯილდოებულია თავად ორიგინალის გეომეტრიული და ფიზიკური მახასიათებლებით, მათი თარგმნა შესაძლებელია რეალობაში. საინფორმაციო მოდელების ხელით შეხება შეუძლებელია. ისინი ახასიათებენ შესწავლილი ობიექტის, ფენომენის, პროცესის მდგომარეობას და თვისებებს და მათ კავშირს რეალურ სამყაროსთან. ვერბალური ვარიანტები მოიცავს საინფორმაციო მოდელებს, რომლებიც განხორციელებულია სასაუბრო ან გონებრივი ფორმით. ხელმოწერილი ტიპები გამოიხატება მრავალწახნაგოვანი მათემატიკური ენის გარკვეული ნიშნების გამოყენებით.
დასკვნა
მათემატიკური მოდელირება, როგორც მეცნიერული ცოდნის მეთოდი, გაჩნდა ერთდროულად უმაღლესი მათემატიკის საფუძვლებთან. ამ პროცესში მნიშვნელოვანი როლი ითამაშეს ი.ნიუტონმა, რ.დეკარტმა, გ.ლაიბნიცმა. მათემატიკური მოდელები პირველად ააგეს P. Fermat, B. Pascal. ვ.ვ.ლეონტიევმა, ვ.ვ.ნოვოჟილოვმა, ა.ლ.ლურიემ ყურადღება მიაქციეს მათემატიკურ მოდელირებას წარმოებასა და ეკონომიკაში. დღესდღეობით ობიექტის ან ფენომენის შესასწავლად მსგავსი ვარიანტი გამოიყენება საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. დაპროექტებული სისტემების დახმარებით ინჟინრები იკვლევენ ისეთ ფენომენებსა და პროცესებს, რომელთა ანალიზი რეალურ პირობებში შეუძლებელია.
სამეცნიერო კვლევამოდელირებით, მათ იყენებდნენ ძველად, დროთა განმავლობაში ითვისებდნენ სხვადასხვა სახის სამეცნიერო ცოდნას: არქიტექტურას, დიზაინს, ქიმიას, მშენებლობას, ფიზიკას, ბიოლოგიას, ეკოლოგიას, გეოგრაფიას, ასევე სოციალურ მეცნიერებებს. ნებისმიერი მოდელირების პროცესში გამოიყენება სამი კომპონენტი: საგანი, ობიექტი, მოდელი. რა თქმა უნდა, ობიექტის ან ფენომენის შესწავლა არ შემოიფარგლება მხოლოდ მოდელირებით, არის საჭირო ინფორმაციის მოპოვების სხვა გზებიც.
