მათემატიკა თავსატეხს ჰგავს. ეს განსაკუთრებით ეხება სვეტში გაყოფასა და გამრავლებას. სკოლაში ამ მოქმედებებს სწავლობენ მარტივიდან რთულამდე. ამიტომ, რა თქმა უნდა, აუცილებელია ზემოაღნიშნული ოპერაციების შესრულების ალგორითმის დაუფლება მარტივი მაგალითების გამოყენებით. ასე რომ, მოგვიანებით არ იქნება სირთულეები ათობითი წილადების სვეტად დაყოფით. ბოლოს და ბოლოს, ეს არის ასეთი ამოცანების ყველაზე რთული ვერსია.
რჩევა მათთვის, ვისაც სურს იყოს კარგი მათემატიკაში
ეს საგანი მოითხოვს თანმიმდევრულ შესწავლას. აქ ცოდნის ხარვეზები მიუღებელია. ეს პრინციპი უკვე პირველ კლასში ყველა მოსწავლემ უნდა ისწავლოს. ამიტომ, თუ ზედიზედ რამდენიმე გაკვეთილს გამოტოვებთ, თავად მოგიწევთ მასალის ათვისება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოგვიანებით არამარტო მათემატიკაში, არამედ მასთან დაკავშირებულ სხვა საგნებთანაც იქნება პრობლემები.
მათემატიკის წარმატებული შესწავლის მეორე წინაპირობაა გრძელ გაყოფის მაგალითებზე გადასვლა მხოლოდ შეკრების, გამოკლების და გამრავლების დაუფლების შემდეგ.
ბავშვიგაყოფა გაუჭირდება, თუ გამრავლების ცხრილი არ ისწავლა. სხვათა შორის, უმჯობესია ვისწავლოთ პითაგორას ცხრილიდან. ზედმეტი არაფერია და გამრავლება ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია.
როგორ მრავლდება ნატურალური რიცხვები სვეტში?
თუ გაყოფისა და გამრავლების სვეტში მაგალითების ამოხსნა უჭირს, მაშინ აუცილებელია ამოცანის ამოხსნა გამრავლებით დაიწყოს. რადგან გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული:
- სანამ ორ რიცხვს გაამრავლებდეთ, მათ ყურადღებით უნდა შეხედოთ. აირჩიეთ მეტი ციფრი (გრძელი), ჯერ ჩამოწერეთ. მოათავსეთ მეორე მის ქვეშ. უფრო მეტიც, შესაბამისი კატეგორიის ნომრები უნდა იყოს იმავე კატეგორიაში. ანუ, პირველი რიცხვის ყველაზე მარჯვენა ციფრი უნდა იყოს მეორეს ყველაზე მარჯვენა ციფრზე.
- გამრავლეთ ქვედა რიცხვის ყველაზე მარჯვენა ციფრი ზედა რიცხვის თითოეულ ციფრზე, დაწყებული მარჯვნიდან. დაწერე პასუხი სტრიქონის ქვეშ ისე, რომ მისი ბოლო ციფრი იყოს შენს გამრავლების ქვეშ.
- იგივე გაიმეორეთ ქვედა ნომრის სხვა ციფრთან ერთად. მაგრამ გამრავლების შედეგი უნდა გადაიტანოს ერთი ციფრი მარცხნივ. ამ შემთხვევაში, მისი ბოლო ციფრი იქნება იმ რიცხვის ქვეშ, რომელზეც გამრავლდა.
გააგრძელეთ ეს გამრავლება სვეტში, სანამ მეორე მულტიპლიკატორის რიცხვები ამოიწურება. ახლა ისინი უნდა დაიკეცონ. ეს იქნება სასურველი პასუხი.
ათწილადი წილადების სვეტში გამრავლების ალგორითმი
პირველ რიგში, უნდა წარმოვიდგინოთ, რომ მოცემულია არა ათობითი წილადები, არამედ ბუნებრივი. ანუ, ამოიღეთ მძიმეები მათგან და შემდეგ გააგრძელეთ ისე, როგორც წინაში იყო აღწერილისაქმე.
სხვაობა იწყება პასუხის ჩაწერისთანავე. ამ დროს აუცილებელია ყველა რიცხვის დათვლა, რომელიც ორივე წილადის ათწილადის შემდეგაა. ეს არის რამდენი მათგანი უნდა დათვალოთ პასუხის ბოლოდან და დადოთ მძიმით.
მოხერხებულია ამ ალგორითმის ილუსტრირება მაგალითით: 0.25 x 0.33:
- ჩაწერეთ ეს წილადები ისე, რომ რიცხვი 33 იყოს 25-ზე ნაკლები.
- ახლა მარჯვენა სამმაგი უნდა გავამრავლოთ 25-ზე. გამოდის 75. უნდა დაიწეროს ისე, რომ ხუთი იყოს იმ სამეულის ქვეშ, რომლითაც შესრულდა გამრავლება.
- მაშინ გაამრავლეთ 25 პირველ 3-ზე. ისევ იქნება 75, მაგრამ დაიწერება ისე, რომ 5 იყოს წინა რიცხვის 7-ზე.
- ამ ორი რიცხვის დამატების შემდეგ მივიღებთ 825. ათობითი წილადებში 4 ციფრი გამოყოფილია მძიმეებით. ამიტომ პასუხში ასევე უნდა გამოყოთ 4 ციფრი მძიმით. მაგრამ მათგან მხოლოდ სამია. ამისათვის თქვენ უნდა დაწეროთ 0 8-მდე, დადოთ მძიმე, მის წინ კიდევ 0.
- მაგალითში პასუხი იქნება რიცხვი 0, 0825.
როგორ დავიწყოთ გაყოფის სწავლა?
გრძელი გაყოფის მაგალითების ამოხსნამდე, უნდა გახსოვდეთ გაყოფის მაგალითში გამოყენებული რიცხვების სახელები. პირველი მათგანი (ის, რომელიც იყოფა) არის გასაყოფი. მეორე (მასში დაყოფილი) არის გამყოფი. პასუხი არის კოეფიციენტი.
ამის შემდეგ, მარტივი ყოველდღიური მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ ავხსნით ამ მათემატიკური ოპერაციის არსს. მაგალითად, თუ აიღებთ 10 ტკბილეულს, მაშინ ადვილია მათი თანაბრად გაყოფა დედასა და მამას შორის. მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ გჭირდებათ მათი დარიგება თქვენს მშობლებსა და ძმას?
შეგიძლიათ გაეცნოთ წესებსგანყოფილებები და დაეუფლონ მათ კონკრეტული მაგალითებით. ჯერ მარტივი, შემდეგ კი გადადით უფრო და უფრო რთულზე.
რიცხვების სვეტად დაყოფის ალგორითმი
პირველ რიგში, წარმოგიდგენთ პროცედურას ნატურალური რიცხვებისთვის, რომლებიც იყოფა ერთ ციფრზე. ისინი ასევე იქნება მრავალნიშნა გამყოფების ან ათობითი წილადების საფუძველი. მხოლოდ ამის შემდეგ უნდა მოხდეს მცირე ცვლილებები, მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით:
- გრძელი გაყოფის გაკეთებამდე, თქვენ უნდა გაარკვიოთ სად არის დივიდენდი და გამყოფი.
- დაწერეთ დივიდენდი. მის მარჯვნივ არის გამყოფი.
- დახაზეთ მარცხნივ და ქვედა ბოლო კუთხესთან.
- დასაზღვრეთ არასრული დივიდენდი, ანუ რიცხვი, რომელიც იქნება მინიმალური გაყოფისთვის. ჩვეულებრივ, ის შედგება ერთი ციფრისგან, მაქსიმუმ ორისგან.
- აირჩიეთ რიცხვი, რომელიც პირველი ჩაიწერება პასუხში. ეს უნდა იყოს გამყოფის ჯდება დივიდენდში.
- ჩაწერეთ ამ რიცხვის გამყოფზე გამრავლების შედეგი.
- ჩაწერეთ არასრული გამყოფის ქვეშ. გამოკლება.
- ამოშალეთ პირველი ციფრი უკვე გაყოფილი ნაწილის შემდეგ.
- აიღე პასუხი ხელახლა.
- გაიმეორეთ გამრავლება და გამოკლება. თუ ნაშთი არის ნული და დივიდენდი დასრულდა, მაშინ მაგალითი შესრულებულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გაიმეორეთ ნაბიჯები: გაანადგურეთ რიცხვი, აიღეთ რიცხვი, გაამრავლეთ, გამოკლეთ.
როგორ ამოხსნათ გრძელი გაყოფა, თუ გამყოფს აქვს ერთზე მეტი ციფრი?
თავად ალგორითმი მთლიანად ემთხვევა იმას, რაც ზემოთ იყო აღწერილი. განსხვავება იქნება არასრული დივიდენდის ციფრების რაოდენობა. მათახლა მინიმუმ ორი უნდა იყოს, მაგრამ თუ ისინი გამყოფზე ნაკლები აღმოჩნდებიან, მაშინ ის უნდა მუშაობდეს პირველი სამი ციფრით.
ამ დაყოფაში კიდევ ერთი ნიუანსია. ფაქტია, რომ ნაშთი და მასზე გადატანილი ფიგურა ზოგჯერ არ იყოფა გამყოფით. შემდეგ უნდა მიეწეროს კიდევ ერთი ფიგურა რიგითობით. მაგრამ ამავე დროს, პასუხი უნდა იყოს ნული. თუ სამნიშნა რიცხვები იყოფა სვეტად, მაშინ შეიძლება დაგჭირდეთ ორზე მეტი ციფრის დანგრევა. შემდეგ შემოღებულია წესი: პასუხში უნდა იყოს ერთი ნაკლები ნულის რიცხვი, ვიდრე ამოღებული ციფრი.
შეგიძლიათ განიხილოთ ასეთი დაყოფა მაგალითის გამოყენებით - 12082: 863.
- მასში არასრული იყოფა რიცხვი 1208. რიცხვი 863 მასში მხოლოდ ერთხელ არის მოთავსებული. ამიტომ, საპასუხოდ, უნდა დააყენოს 1 და 1208-ში ჩაწეროს 863.
- გამოკლების შემდეგ დარჩენილია 345.
- თქვენ უნდა გაანადგუროთ ნომერი 2.
- რიცხვი 3452 ჯდება ოთხჯერ 863.
- ოთხი უნდა დაიწეროს პასუხად. მეტიც, 4-ზე გამრავლებისას ეს რიცხვი მიიღება.
- ნარჩენი გამოკლების შემდეგ არის ნული. ანუ დაყოფა დასრულდა.
მაგალითში პასუხი იქნება რიცხვი 14.
რა მოხდება, თუ დივიდენდი მთავრდება ნულით?
თუ რამდენიმე ნული? ამ შემთხვევაში, ნულოვანი ნაშთი მიიღება და დივიდენდში ჯერ კიდევ არის ნულები. არ დაიდარდოთ, ყველაფერი უფრო ადვილია, ვიდრე ერთი შეხედვით ჩანს. საკმარისია პასუხს დაუმატო ყველა ის ნული, რომელიც გაუყოფელია.
მაგალითად, თქვენ უნდა გაყოთ 400 5-ზე. არასრული დივიდენდი არის 40. ხუთი მოთავსებულია მასში 8-ჯერ. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი უნდა დაიწეროს 8. როდისარ არის დარჩენილი გამოკლება. ანუ გაყოფა დასრულდა, მაგრამ დივიდენდში ნული რჩება. პასუხს უნდა დაემატოს. ანუ 400 გაყოფილი ხუთზე არის 80.
რა მოხდება, თუ ათწილადის გაყოფა გჭირდებათ?
ისევ, ეს რიცხვი ჰგავს ნატურალურ რიცხვს, გარდა მძიმისა, რომელიც გამოყოფს მთელ ნაწილს წილადი ნაწილისგან. ეს გვაფიქრებინებს, რომ ათწილადების გრძელი დაყოფა მსგავსია ზემოთ აღწერილის.
ერთადერთი განსხვავება იქნება მძიმით. მას უნდა უპასუხოთ დაუყოვნებლივ, როგორც კი წილადი ნაწილის პირველი ციფრი ჩამოიშლება. სხვანაირად შეიძლება ასე ვთქვათ: მთელი რიცხვის ნაწილის გაყოფა დასრულებულია - ჩასვით მძიმით და გააგრძელეთ ამოხსნა.
სვეტად გაყოფის მაგალითების ათწილადი წილადების ამოხსნისას, უნდა გახსოვდეთ, რომ ათწილადის შემდეგ ნაწილს შეიძლება მიენიჭოს ნულების ნებისმიერი რაოდენობა. ზოგჯერ ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ ნომრები ბოლომდე შეავსოთ.
ორი ათწილადის გაყოფა
შეიძლება რთულად მოგეჩვენოთ. მაგრამ მხოლოდ დასაწყისში. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორ განვახორციელოთ წილადების სვეტის გაყოფა ნატურალური რიცხვით, უკვე გასაგებია. ასე რომ, ჩვენ უნდა დავიყვანოთ ეს მაგალითი უკვე ნაცნობ ფორმამდე.
ამის გაკეთება ადვილია. თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორივე წილადი 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე ან 10000-ზე, ან შესაძლოა მილიონზე, თუ ამოცანა ამას მოითხოვს. მულტიპლიკატორი უნდა შეირჩეს იმის მიხედვით, თუ რამდენი ნული არის გამყოფის ათობითი ნაწილში. ანუ შედეგად გამოდის, რომ წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე მოგიწევთ.
და ესუარეს შემთხვევაში იქნება. ყოველივე ამის შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ დივიდენდი ამ ოპერაციიდან ხდება მთელი რიცხვი. შემდეგ წილადების სვეტად დაყოფის მაგალითის ამოხსნა დაიყვანება უმარტივეს ვარიანტზე: მოქმედებები ნატურალური რიცხვებით.
მაგალითად: 28, 4 გაყოფილი 3-ზე, 2:
- პირველ რიგში, ისინი უნდა გამრავლდეს 10-ზე, რადგან მეორე რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი ციფრი ათობითი წერტილის შემდეგ. გამრავლებით მივიღებთ 284 და 32.
- ისინი უნდა დაშორდნენ. და ერთდროულად მთელი რიცხვი 284 32-ზე.
- პასუხისთვის პირველი შესატყვისი რიცხვია 8. მისი გამრავლებით მივიღებთ 256. დარჩენილი არის 28.
- მთლიანი ნაწილის გაყოფა დასრულდა და პასუხში მძიმით უნდა იყოს ჩასმული.
- ტირე დასაბალანსებლად 0.
- აიღეთ 8 ისევ.
- ნარჩენი: 24. დაამატეთ მას კიდევ 0.
- ახლა თქვენ უნდა აიღოთ 7.
- გამრავლების შედეგია 224, ნაშთი არის 16.
- დაანგრიეთ კიდევ 0. აიღეთ თითო 5 და მიიღეთ ზუსტად 160. დარჩენილი არის 0.
დაყოფა დასრულდა. მაგალითი 28, 4:3, 2 შედეგი არის 8, 875.
რა მოხდება, თუ გამყოფი არის 10, 100, 0, 1 ან 0,01?
როგორც გამრავლებისას, აქაც გრძელი გაყოფა არ არის საჭირო. საკმარისია მხოლოდ მძიმის გადატანა სწორი მიმართულებით ციფრების გარკვეული რაოდენობისთვის. უფრო მეტიც, ამ პრინციპის მიხედვით, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მაგალითები როგორც მთელი რიცხვებით, ასევე ათობითი წილადებით.
ასე რომ, თუ თქვენ გჭირდებათ გაყოფა 10-ზე, 100-ზე ან 1000-ზე, მაშინ მძიმით გადაადგილდება მარცხნივ იმდენი ციფრით, რამდენიც არის ნულები გამყოფში. ანუ როცა რიცხვი იყოფა 100-ზე, მძიმითუნდა გადავიდეს ორი ციფრი მარცხნივ. თუ დივიდენდი ნატურალური რიცხვია, მაშინ ვარაუდობენ, რომ მძიმით არის მის ბოლოს.
ეს ქმედება იძლევა იგივე შედეგს, თითქოს რიცხვი გამრავლდეს 0-ზე, 1-ზე, 0-ზე, 01-ზე ან 0.001-ზე. ამ მაგალითებში მძიმით ასევე გადაადგილებულია მარცხნივ რიცხვების ტოლი რიცხვით. წილადი ნაწილის სიგრძე.
0-ზე გაყოფისას, 1-ზე (და ა.შ.) ან 10-ზე გამრავლებისას (და ა. წილადი ნაწილები).
აღსანიშნავია, რომ დივიდენდში მოცემული ციფრები შეიძლება არ იყოს საკმარისი. შემდეგ გამოტოვებული ნულები შეიძლება დაემატოს მარცხნივ (მთლიანი ნაწილში) ან მარჯვნივ (ათწილადის წერტილის შემდეგ).
განმეორებადი წილადის გაყოფა
ამ შემთხვევაში სვეტად დაყოფისას ზუსტ პასუხს ვერ მიიღებთ. როგორ ამოვიცნოთ მაგალითი, თუ შეხვედრია წერტილის მქონე წილადი? აქ აუცილებელია ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა. შემდეგ კი შეასრულეთ მათი დაყოფა ადრე შესწავლილი წესების მიხედვით.
მაგალითად, თქვენ უნდა გაყოთ 0, (3) 0-ზე, 6-ზე. პირველი წილადი პერიოდულია. იგი გარდაიქმნება წილადად 3/9, რომელიც შემცირების შემდეგ მისცემს 1/3-ს. მეორე წილადი არის საბოლოო ათწილადი. კიდევ უფრო ადვილია ჩვეულებრივის ჩაწერა: 6/10, რაც უდრის 3/5-ს. ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესი ითვალისწინებს გაყოფის შეცვლას გამრავლებით და გამყოფის სანაცვლოდ. ანუ, მაგალითი მთავრდება 1/3-ის 5/3-ზე გამრავლებით. პასუხი იქნება 5/9.
თუ მაგალითს აქვს სხვადასხვა წილადი…
მაშინ არსებობს რამდენიმე შესაძლო გამოსავალი. პირველი, ჩვეულებრივი წილადი შეიძლება იყოსშეეცადეთ გადაიყვანოთ ათწილადში. შემდეგ გაყავით უკვე ორი ათწილადი ზემოთ მოყვანილი ალგორითმის მიხედვით.
მეორე, ყოველი ბოლო ათობითი წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც საერთო წილადი. უბრალოდ ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი. ყველაზე ხშირად, ასეთი ფრაქციები უზარმაზარია. დიახ, და პასუხები რთულია. ამიტომ, პირველი მიდგომა უფრო სასურველია.
