შეუძლებელია იმის მტკიცება, რომ იცი მათემატიკა, თუ არ იცი გრაფიკების დახატვა, უტოლობების დახატვა კოორდინატთა წრფეზე და კოორდინატთა ღერძებით მუშაობა. მეცნიერებაში ვიზუალური კომპონენტი სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია, რადგან ფორმულებსა და გამოთვლებში ვიზუალური მაგალითების გარეშე, ზოგჯერ შეიძლება ძალიან დაბნეული იყოთ. ამ სტატიაში ჩვენ ვნახავთ, თუ როგორ ვიმუშაოთ კოორდინატთა ღერძებთან და ვისწავლოთ როგორ შევქმნათ მარტივი ფუნქციის გრაფიკები.
აპლიკაცია
კოორდინატთა ხაზი არის უმარტივესი ტიპის გრაფიკების საფუძველი, რომელსაც მოსწავლე ხვდება საგანმანათლებლო გზაზე. იგი გამოიყენება თითქმის ყველა მათემატიკურ თემაში: სიჩქარისა და დროის გაანგარიშებისას, ობიექტების ზომის და მათი ფართობის გამოთვლისას, ტრიგონომეტრიაში სინუსებთან და კოსინუსებთან მუშაობისას.
ასეთი პირდაპირი ხაზის მთავარი მნიშვნელობა არის ხილვადობა. იმის გამო, რომ მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც მოითხოვს აბსტრაქტული აზროვნების მაღალ დონეს, გრაფიკები ხელს უწყობს ობიექტის რეალურ სამყაროში წარმოჩენას. როგორ იქცევა? სივრცის რომელ წერტილში იქნებარამდენიმე წამი, წუთი, საათი? რა შეიძლება ითქვას მასზე სხვა ობიექტებთან შედარებით? რა არის მისი სიჩქარე შემთხვევით შერჩეულ დროს? როგორ დავახასიათოთ მისი მოძრაობა?
და ჩვენ ვსაუბრობთ სიჩქარეზე მიზეზის გამო - ის ხშირად ნაჩვენებია ფუნქციების გრაფიკებით. მათ ასევე შეუძლიათ აჩვენონ ტემპერატურის ან წნევის ცვლილებები ობიექტის შიგნით, მისი ზომა, ორიენტაცია ჰორიზონტთან შედარებით. ამრიგად, კოორდინატთა ხაზის აგება ხშირად საჭიროა ფიზიკაშიც.
ერთგანზომილებიანი გრაფიკი
არსებობს მრავალგანზომილებიანობის კონცეფცია. ერთგანზომილებიან სივრცეში მხოლოდ ერთი რიცხვი საკმარისია წერტილის მდებარეობის დასადგენად. ზუსტად ასეა კოორდინატთა ხაზის გამოყენება. თუ სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ საჭიროა ორი რიცხვი. ამ ტიპის დიაგრამები ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება და მათ აუცილებლად განვიხილავთ სტატიაში ცოტა მოგვიანებით.
რა ჩანს ღერძზე წერტილების დახმარებით, თუ ღერძი მხოლოდ ერთია? თქვენ შეგიძლიათ იხილოთ ობიექტის ზომა, მისი პოზიცია სივრცეში რაღაც "ნულთან", ანუ წერტილი არჩეული, როგორც საცნობარო წერტილი.
პარამეტრების ცვლილება დროთა განმავლობაში არ იქნება ხილული, რადგან ყველა კითხვა გამოჩნდება ერთი კონკრეტული მომენტისთვის. თუმცა, საიდანღაც უნდა დაიწყოთ! მოდით დავიწყოთ.
როგორ ავაშენოთ კოორდინატთა ღერძი
პირველ რიგში, თქვენ უნდა დახაზოთ ჰორიზონტალური ხაზი - ეს იქნება ჩვენი ღერძი. მარჯვენა მხარეს „გამკვეთეთ“ისე, რომ ისარივით გამოიყურებოდეს. ამრიგად, ჩვენ მივუთითებთ მიმართულებას, რომელშიც იქნება რიცხვებიმომატება. დაღმავალი მიმართულებით ისარი ჩვეულებრივ არ არის განთავსებული. ტრადიციულად, ღერძი მარჯვნივ არის მიმართული, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ დავიცავთ ამ წესს.
დავსვათ ნულოვანი ნიშანი, რომელიც აჩვენებს კოორდინატების წარმოშობას. ეს არის ზუსტად ის ადგილი, საიდანაც ხდება ათვლა, იქნება ეს ზომა, წონა, სიჩქარე თუ სხვა რამ. ნულის გარდა აუცილებლად უნდა დავასახელოთ ეგრეთ წოდებული გაყოფის ფასი, ანუ შემოვიტანოთ ერთეულის სტანდარტი, რომლის მიხედვითაც ღერძზე დავსახავთ გარკვეულ რაოდენობას. ეს უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ სეგმენტის სიგრძე კოორდინატთა ხაზზე.
ერთმანეთისგან თანაბარი მანძილით დაადეთ ხაზს წერტილები ან "ნაჭრები" და მათ ქვეშ ჩაწერეთ შესაბამისად 1, 2, 3 და ა.შ. ახლა კი ყველაფერი მზადაა. მაგრამ შედეგად მიღებული გრაფიკით, თქვენ მაინც უნდა ისწავლოთ მუშაობა.
წერტილების ტიპები კოორდინატთა ხაზზე
სახელმძღვანელოებში შემოთავაზებული ნახატების პირველივე შეხედვით ირკვევა: ღერძზე წერტილები შეიძლება შეივსოს ან არ შეივსოს. გგონიათ ეს დამთხვევაა? Არაფერს! "მყარი" წერტილი გამოიყენება არამკაცრ უტოლობაზე - ის, რომელიც იკითხება როგორც "უმეტეს ან ტოლი". თუ ჩვენ გვჭირდება მკაცრად შეზღუდოს ინტერვალი (მაგალითად, "x"-ს შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები ნულიდან ერთამდე, მაგრამ არ მოიცავს მას), ჩვენ გამოვიყენებთ "ღრმა" წერტილს, ანუ, ფაქტობრივად, მცირე წრეს. ღერძზე. უნდა აღინიშნოს, რომ სტუდენტებს ნამდვილად არ მოსწონთ მკაცრი უთანასწორობა, რადგან მათთან მუშაობა უფრო რთულია.
დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელ ქულებს მიიღებთჩარტზე გამოყენებისას ასევე გამოიძახება აშენებული ინტერვალები. თუ ორივე მხრიდან უთანასწორობა მკაცრი არ არის, მაშინ ვიღებთ სეგმენტს. თუ, ერთის მხრივ, ის "ღია" აღმოჩნდება, მაშინ მას ნახევარ ინტერვალს უწოდებენ. და ბოლოს, თუ წრფის ნაწილი შემოსაზღვრულია ორივე მხრიდან ღრუ წერტილებით, მას ინტერვალი ეწოდება.
თვითმფრინავი
კოორდინატულ სიბრტყეზე ორი სწორი წრფის აგებისას უკვე შეგვიძლია განვიხილოთ ფუნქციების გრაფიკები. ვთქვათ, ჰორიზონტალური ხაზი არის დროის ღერძი, ხოლო ვერტიკალური ხაზი არის მანძილი. ახლა კი ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ რა მანძილს გადალახავს ობიექტი მოგზაურობის წუთში ან საათში. ამრიგად, თვითმფრინავთან მუშაობა შესაძლებელს ხდის ობიექტის მდგომარეობის ცვლილების მონიტორინგს. ეს ბევრად უფრო საინტერესოა, ვიდრე სტატიკური მდგომარეობის შესწავლა.
ასეთ სიბრტყეზე უმარტივესი გრაფიკი არის სწორი ხაზი, ის ასახავს ფუნქციას Y(X)=aX + b. ხაზი იხრება? ეს ნიშნავს, რომ ობიექტი იცვლის თავის მახასიათებლებს კვლევის დროს.
წარმოიდგინეთ, რომ დგახართ შენობის სახურავზე და გამოწვდილ ხელში ქვა უჭირავთ. როდესაც გაათავისუფლებთ, ის ჩამოფრინდება და იწყებს მოძრაობას ნულოვანი სიჩქარიდან. მაგრამ წამში ის გადალახავს საათში 36 კილომეტრს. ქვა გააგრძელებს აჩქარებას და იმისთვის, რომ მისი მოძრაობა სქემაზე დახატოთ, თქვენ უნდა გაზომოთ მისი სიჩქარე დროის რამდენიმე მომენტში ღერძზე წერტილების დაყენებით შესაბამის ადგილებში.
ნიშნები ჰორიზონტალურ კოორდინატთა ხაზზე ნაგულისხმევად დასახელებულია X1, X2, X3, ხოლო ვერტიკალურზე - Y1, Y2, Y3, შესაბამისად. პროექტირებაისინი სიბრტყემდე და გზაჯვარედინების პოვნისას, ჩვენ ვპოულობთ მიღებული ნიმუშის ფრაგმენტებს. მათი დაკავშირება ერთი ხაზით, ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს. ქვის დაცემის შემთხვევაში კვადრატული ფუნქცია ასე გამოიყურება: Y(X)=aXX + bX + c.
მასშტაბი
რა თქმა უნდა, არ არის აუცილებელი სწორი ხაზით გაყოფის გვერდით მთელი მნიშვნელობები დავაყენოთ. თუ თქვენ განიხილავთ ლოკოკინას მოძრაობას, რომელიც დაცოცავს წუთში 0,03 მეტრი სიჩქარით, დააყენეთ მნიშვნელობები კოორდინატულ წილადზე. ამ შემთხვევაში დააყენეთ მასშტაბის ინტერვალი 0,01 მეტრზე.
განსაკუთრებით მოსახერხებელია ასეთი ნახატების შესრულება ბლოკნოტში გალიაში - აქ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ნახოთ, არის თუ არა საკმარისი ადგილი ფურცელზე თქვენი სქემისთვის, თუ სცილდებით მინდვრებს. თქვენი სიძლიერის გამოთვლა არ არის რთული, რადგან ასეთ ბლოკნოტში უჯრედის სიგანე 0,5 სანტიმეტრია. დასჭირდა - შეამცირა სურათი. დიაგრამის მასშტაბის ცვლილებები არ გამოიწვევს მის თვისებებს ან დაკარგავს მას.
წერტილის და სეგმენტის კოორდინატები
როდესაც გაკვეთილზე მოცემულია მათემატიკის ამოცანა, ის შეიძლება შეიცავდეს სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმის პარამეტრებს, როგორც გვერდის სიგრძის, პერიმეტრის, ფართობის და კოორდინატების სახით. ამ შემთხვევაში, შეიძლება დაგჭირდეთ როგორც ფორმის აშენება, ასევე მასთან დაკავშირებული გარკვეული მონაცემების მიღება. ჩნდება კითხვა: როგორ მოვძებნოთ საჭირო ინფორმაცია კოორდინატთა ხაზზე? და როგორ ავაშენოთ ფორმა?
მაგალითად, ჩვენ ვსაუბრობთ პუნქტზე. შემდეგ პრობლემის მდგომარეობაში გამოჩნდება დიდი ასო, ხოლო ფრჩხილებში გამოჩნდება რამდენიმე რიცხვი, ყველაზე ხშირად ორი (ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ დავთვალებთ ორგანზომილებიან სივრცეში).თუ ფრჩხილებში არის სამი რიცხვი, რომლებიც გამოყოფილია მძიმით ან მძიმით, მაშინ ეს არის სამგანზომილებიანი სივრცე. თითოეული მნიშვნელობა არის კოორდინატი შესაბამის ღერძზე: ჯერ ჰორიზონტალური (X), შემდეგ ვერტიკალური (Y) გასწვრივ.
გახსოვთ, როგორ დავხატოთ სეგმენტი? გეომეტრიაზე ჩააბარე. თუ ორი წერტილია, მაშინ მათ შორის შეიძლება გაივლოს ხაზი. მათი კოორდინატები მითითებულია ფრჩხილებში, თუ პრობლემაში სეგმენტი გამოჩნდება. მაგალითად: A(15, 13) - B(1, 4). ასეთი ხაზის ასაგებად, თქვენ უნდა იპოვოთ და მონიშნოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე და შემდეგ დააკავშიროთ ისინი. ესე იგი!
და, როგორც მოგეხსენებათ, ნებისმიერი მრავალკუთხედის დახატვა შესაძლებელია სეგმენტების გამოყენებით. პრობლემა მოგვარებულია.
გამოთვლები
ვთქვათ არის ობიექტი, რომლის მდებარეობა X ღერძის გასწვრივ ხასიათდება ორი რიცხვით: ის იწყება წერტილიდან (-3) კოორდინატით და მთავრდება (+2-ზე). თუ გვინდა ვიცოდეთ ამ ობიექტის სიგრძე, მაშინ უნდა გამოვაკლოთ უფრო მცირე რიცხვი დიდ რიცხვს. გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი რიცხვი შთანთქავს გამოკლების ნიშანს, რადგან „მინუს გამრავლებული მინუს უდრის პლუსს“. ამიტომ ვამატებთ (2+3) და ვიღებთ 5-ს. ეს არის საჭირო შედეგი.
კიდევ ერთი მაგალითი: ჩვენ მოცემულია ობიექტის ბოლო წერტილი და სიგრძე, მაგრამ არა საწყისი წერტილი (და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ იგი). მოდით, ცნობილი წერტილის პოზიცია იყოს (6), ხოლო შესასწავლი ობიექტის ზომა იყოს (4). საბოლოო კოორდინატს სიგრძის გამოკლებით მივიღებთ პასუხს. სულ: (6 - 4)=2.
უარყოფითი რიცხვები
პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა უარყოფითი მნიშვნელობებით მუშაობა. ამ შემთხვევაში ჩვენგადაადგილება მარცხნივ კოორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მაგალითად, 3 სანტიმეტრის სიმაღლის ობიექტი წყალში ცურავს. მისი ერთი მესამედი ჩაეფლო სითხეში, ორი მესამედი ჰაერშია. შემდეგ, წყლის ზედაპირის ღერძად არჩევისას, უმარტივესი არითმეტიკული გამოთვლებით ვიღებთ ორ რიცხვს: ობიექტის ზედა წერტილს აქვს კოორდინატი (+2), ხოლო ქვედა - (-1) სანტიმეტრი.
ადვილი მისახვედრია, რომ თვითმფრინავის შემთხვევაში გვაქვს კოორდინატთა ხაზის ოთხი მეოთხედი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ნომერი. პირველ (ზედა მარჯვენა) ნაწილში იქნება წერტილები, რომლებსაც აქვთ ორი დადებითი კოორდინატი, მეორეში - მარცხენა ზედა - X ღერძის მნიშვნელობები იქნება უარყოფითი, ხოლო Y ღერძის გასწვრივ - დადებითი. მესამე და მეოთხე ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
მნიშვნელოვანი ქონება
თქვენ იცით, რომ წრფე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო რაოდენობის წერტილად. ჩვენ შეგვიძლია შევხედოთ ღერძის თითოეული მიმართულებით ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობებს, რამდენადაც მოგვწონს, მაგრამ განმეორებითს ვერ შევხვდებით. როგორც ჩანს გულუბრყვილო და გასაგებია, მაგრამ ეს განცხადება მომდინარეობს მნიშვნელოვანი ფაქტიდან: თითოეული რიცხვი შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთ წერტილს კოორდინატთა წრფეზე.
დასკვნა
გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი ღერძი, ფიგურა და, თუ შესაძლებელია, გრაფიკა უნდა იყოს აგებული სახაზავზე. საზომი ერთეულები ადამიანმა შემთხვევით არ გამოიგონა - თუ ხატვისას შეცდომას დაუშვებთ, რისკავთ, დაინახოთ განსხვავებული სურათი, ვიდრე უნდა ყოფილიყო.
იყავით ფრთხილად და ზუსტი შედგენისა და გამოთვლებისას. სკოლაში შესწავლილი ნებისმიერი მეცნიერების მსგავსად, მათემატიკას უყვარს სიზუსტე. ცოტა ძალისხმევა და კარგიშეფასებები დიდხანს არ იქნება.
