კაცობრიობის პროგრესი დიდწილად განპირობებულია გენიოსების მიერ გაკეთებული აღმოჩენებით. ერთ-ერთი მათგანია ბლეზ პასკალი. მისი შემოქმედებითი ბიოგრაფია კიდევ ერთხელ ადასტურებს ლიონ ფეიხტვანგერის გამოთქმის „ნიჭიერი ადამიანი, ყველაფერში ნიჭიერი“სიმართლეს. ამ დიდი მეცნიერის ყველა სამეცნიერო მიღწევა ძნელი დასათვლელია. მათ შორისაა მათემატიკის სამყაროში ერთ-ერთი ყველაზე ელეგანტური გამოგონება - პასკალის სამკუთხედი.
რამდენიმე სიტყვა გენიოსის შესახებ
ბლეზ პასკალი თანამედროვე სტანდარტებით ადრე გარდაიცვალა, 39 წლის ასაკში. თუმცა, თავის ხანმოკლე სიცოცხლეში იგი გამოირჩეოდა როგორც გამოჩენილი ფიზიკოსი, მათემატიკოსი, ფილოსოფოსი და მწერალი. მადლიერმა შთამომავლებმა მის პატივსაცემად დაასახელეს წნევის ერთეული და პოპულარული პროგრამირების ენა პასკალი. იგი თითქმის 60 წელია გამოიყენება სხვადასხვა კოდების დაწერის სასწავლებლად. მაგალითად, მისი დახმარებით, თითოეულ სტუდენტს შეუძლია დაწეროს პროგრამა პასკალში სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, ასევე მიკროსქემის თვისებების შესასწავლად.რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული.
ამ არაჩვეულებრივი აზროვნების მქონე მეცნიერის საქმიანობა მეცნიერების მრავალფეროვან დარგს მოიცავს. კერძოდ, ბლეზ პასკალი არის ჰიდროსტატიკის, მათემატიკური ანალიზის, გეომეტრიის ზოგიერთი სფეროსა და ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ფუძემდებელი. ასევე, ის:
- შექმნა მექანიკური კალკულატორი, რომელიც ცნობილია როგორც პასკალის ბორბალი;
- მოაწოდა ექსპერიმენტული მტკიცებულება, რომ ჰაერს აქვს ელასტიურობა და წონა;
- დადგინდა, რომ ბარომეტრი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამინდის პროგნოზირებისთვის;
- გამოიგონა ბორბალი;
- გამოიგონა ომნიბუსი - ცხენებით აზიდული ვაგონები ფიქსირებული მარშრუტებით, რომელიც მოგვიანებით გახდა ჩვეულებრივი საზოგადოებრივი ტრანსპორტის პირველი ტიპი და ა.შ.
პასკალის არითმეტიკული სამკუთხედი
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ამ დიდმა ფრანგმა მეცნიერმა უდიდესი წვლილი შეიტანა მათემატიკურ მეცნიერებაში. მისი ერთ-ერთი აბსოლუტური სამეცნიერო შედევრია არის „ტრაქტატი არითმეტიკული სამკუთხედის შესახებ“, რომელიც შედგება გარკვეული თანმიმდევრობით დალაგებული ორობითი კოეფიციენტებისგან. ამ სქემის თვისებები გასაოცარია მათი მრავალფეროვნებით და ის თავად ადასტურებს ანდაზას "ყველაფერი გენიალური მარტივია!".
ცოტა ისტორია
სამართლიანი რომ ვიყოთ, უნდა ითქვას, რომ სინამდვილეში პასკალის სამკუთხედი ევროპაში ცნობილი იყო ჯერ კიდევ მე-16 საუკუნის დასაწყისში. კერძოდ, მისი გამოსახულება ჩანს ინგოლშტადტის უნივერსიტეტის ცნობილი ასტრონომის პიტერ აპიანის არითმეტიკული სახელმძღვანელოს გარეკანზე. მსგავსი სამკუთხედი ასევე ნაჩვენებია ილუსტრაციის სახით.ჩინელი მათემატიკოსის იან ჰუის წიგნში, რომელიც გამოქვეყნდა 1303 წელს. მისი თვისებების შესახებ XII საუკუნის დასაწყისში იცოდა გამოჩენილმა სპარსელმა პოეტმა და ფილოსოფოსმა ომარ ხაიამმაც. უფრო მეტიც, ითვლება, რომ იგი გაიცნო ადრე დაწერილი არაბი და ინდოელი მეცნიერების ტრაქტატებიდან.
აღწერა
სანამ შეისწავლით პასკალის სამკუთხედის ყველაზე საინტერესო თვისებებს, ლამაზი თავისი სრულყოფილებითა და სიმარტივით, ღირს იცოდეთ რა არის ის.
მეცნიერულად რომ ვთქვათ, ეს რიცხვითი სქემა არის გაუთავებელი სამკუთხა ცხრილი, რომელიც ჩამოყალიბებულია გარკვეული თანმიმდევრობით დალაგებული ორობითი კოეფიციენტებისგან. მის ზევით და გვერდებზე არის რიცხვები 1. დარჩენილ პოზიციებს იკავებს რიცხვები, რომლებიც ტოლია მათ ზემოთ ერთმანეთის გვერდით მდებარე ორი რიცხვის ჯამისა. გარდა ამისა, პასკალის სამკუთხედის ყველა წრფე სიმეტრიულია მისი ვერტიკალური ღერძის მიმართ.
ძირითადი ფუნქციები
პასკალის სამკუთხედი ხვდება თავისი სრულყოფილებით. ნებისმიერი სტრიქონისთვის დანომრილი n (n=0, 1, 2…) true:
- პირველი და ბოლო რიცხვებია 1;
- მეორე და წინაბოლო - n;
- მესამე რიცხვი უდრის სამკუთხა რიცხვს (წრეების რაოდენობა, რომლებიც შეიძლება განლაგდეს ტოლგვერდა სამკუთხედში, ანუ 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- მეოთხე რიცხვი არის ოთხკუთხედი, ანუ ის არის პირამიდა ფუძეზე სამკუთხედით.
გარდა ამისა, შედარებით ცოტა ხნის წინ, 1972 წელს, დადგინდა პასკალის სამკუთხედის კიდევ ერთი თვისება. რათა მისთვისამის გასარკვევად, თქვენ უნდა დაწეროთ ამ სქემის ელემენტები ცხრილის სახით მწკრივის ცვლა 2 პოზიციით. შემდეგ გაითვალისწინეთ რიცხვები, რომლებიც იყოფა წრფის რიცხვზე. გამოდის, რომ იმ სვეტის რიცხვი, რომელშიც ყველა რიცხვი მონიშნულია, არის მარტივი რიცხვი.
იგივე ხრიკის გაკეთება შეიძლება სხვა გზით. ამისათვის პასკალის სამკუთხედში რიცხვები იცვლება ცხრილის რიგის რიცხვით მათი გაყოფის ნარჩენებით. შემდეგ ხაზები დალაგებულია მიღებულ სამკუთხედში ისე, რომ შემდეგი იწყება 2 სვეტით მარჯვნივ წინა ელემენტის პირველი ელემენტიდან. მაშინ სვეტები რიცხვებით, რომლებიც არის მარტივი რიცხვები, შედგებიან მხოლოდ ნულებისაგან, ხოლო შედგენილი რიცხვების მქონე სვეტები შეიცავენ მინიმუმ ერთ ნულს.
კავშირი ნიუტონის ბინომთან
როგორც მოგეხსენებათ, ეს არის ორი ცვლადის ჯამის არაუარყოფითი მთელი რიცხვის ხარისხში გაფართოების ფორმულის სახელი, რომელიც ასე გამოიყურება:
მათში არსებული კოეფიციენტები უდრის C მ =n! / (m! (n - m)!), სადაც m არის პასკალის სამკუთხედის n მწკრივის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ ცხრილის ხელთ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აიყვანოთ ნებისმიერი რიცხვი ხარისხზე, ადრე რომ დაშალეთ ისინი ორ ტერმინად.
ამგვარად, პასკალის სამკუთხედი და ნიუტონის ბინომი მჭიდრო კავშირშია.
მათემატიკის საოცრება
პასკალის სამკუთხედის ახლო გამოკვლევა ცხადყოფს, რომ:
- ყველა რიცხვის ჯამი ხაზშისერიული ნომერი n (0-დან დათვლა) არის 2;
- თუ ხაზები მარცხნივ გასწორებულია, მაშინ რიცხვების ჯამები, რომლებიც განლაგებულია პასკალის სამკუთხედის დიაგონალების გასწვრივ, ქვემოდან ზემოდან და მარცხნიდან მარჯვნივ, უდრის ფიბონაჩის რიცხვებს;
- პირველი "დიაგონალი" შედგება თანმიმდევრობით ნატურალური რიცხვებისგან;
- ნებისმიერი ელემენტი პასკალის სამკუთხედიდან, ერთით შემცირებული, უდრის პარალელოგრამის შიგნით მდებარე ყველა რიცხვის ჯამს, რომელიც შემოიფარგლება ამ რიცხვზე გადაკვეთილი მარცხენა და მარჯვენა დიაგონალებით;
- დიაგრამის თითოეულ სტრიქონში ლუწ ადგილებში რიცხვების ჯამი უდრის კენტ ადგილებში ელემენტების ჯამს.
სიერპინსკის სამკუთხედი
ასეთი საინტერესო მათემატიკური სქემა, საკმაოდ პერსპექტიული რთული ამოცანების ამოხსნის თვალსაზრისით, მიიღება პასკალის გამოსახულების ლუწი რიცხვების ერთ ფერში, ხოლო კენტი რიცხვების მეორეში შეღებვით.
სიერპინსკის სამკუთხედი შეიძლება აშენდეს სხვა გზით:
- დაჩრდილულ პასკალის სქემაში შუა სამკუთხედი შეღებილია სხვა ფერში, რომელიც წარმოიქმნება ორიგინალის გვერდების შუა წერტილების შეერთებით;
- გააკეთეთ ზუსტად იგივე კუთხეებში განლაგებულ სამ შეუღებავთან;
- თუ პროცედურა გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით, მაშინ შედეგი უნდა იყოს ორფერიანი ფიგურა.
სიერპინსკის სამკუთხედის ყველაზე საინტერესო თვისება მისი თვითმსგავსებაა, რადგან ის შედგება მისი 3 ეგზემპლარისგან, რომლებიც მცირდება 2-ჯერ. ეს საშუალებას გვაძლევს მივაწეროთ ეს სქემა ფრაქტალის მრუდები და ისინი, როგორც ეს უკანასკნელი აჩვენებსკვლევა საუკეთესოდ შეეფერება ღრუბლების, მცენარეების, მდინარის დელტას და თავად სამყაროს მათემატიკური მოდელირებისთვის.
რამდენიმე საინტერესო დავალება
სად გამოიყენება პასკალის სამკუთხედი? ამოცანების მაგალითები, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია მისი დახმარებით, საკმაოდ მრავალფეროვანია და ეკუთვნის მეცნიერების სხვადასხვა დარგს. მოდით გადავხედოთ რამდენიმე უფრო საინტერესოს.
პრობლემა 1. ციხის კედლით გარშემორტყმულ ზოგიერთ დიდ ქალაქს აქვს მხოლოდ ერთი შესასვლელი კარიბჭე. პირველ კვეთაზე მთავარი გზა ორად იყოფა. იგივე ხდება ნებისმიერ სხვაზე. ქალაქში 210 ადამიანი შემოდის. თითოეულ გზაჯვარედინზე ისინი ხვდებიან, ისინი იყოფა შუაზე. რამდენი ადამიანი მოიძებნება თითოეულ გზაჯვარედინზე, როცა გაზიარება აღარ იქნება შესაძლებელი. მისი პასუხია პასკალის სამკუთხედის 10 სტრიქონი (კოეფიციენტის ფორმულა წარმოდგენილია ზემოთ), სადაც რიცხვები 210 მდებარეობს ვერტიკალური ღერძის ორივე მხარეს.
ამოცანა 2. არსებობს ფერის 7 დასახელება. თქვენ უნდა გააკეთოთ თაიგული 3 ყვავილისგან. საჭიროა იმის გარკვევა, თუ რამდენი სხვადასხვა გზით შეიძლება ამის გაკეთება. ეს პრობლემა კომბინატორიკის სფეროდან მოდის. მის ამოსახსნელად კვლავ ვიყენებთ პასკალის სამკუთხედს და მე-7 ხაზზე ვიღებთ მესამე პოზიციას (ორივე შემთხვევაში 0-დან ნუმერაცია) რიცხვს 35.
ახლა თქვენ იცით, რა გამოიგონა დიდმა ფრანგმა ფილოსოფოსმა და მეცნიერმა ბლეზ პასკალმა. მისი ცნობილი სამკუთხედი, თუ სწორად გამოიყენება, შეიძლება გახდეს ნამდვილი მაშველი მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად, განსაკუთრებით საველედან.კომბინატორიკა. გარდა ამისა, მისი გამოყენება შესაძლებელია ფრაქტალებთან დაკავშირებული მრავალი საიდუმლოს ამოსახსნელად.
