მატერიის გაზის აგრეგატული მდგომარეობის თვისებების შესწავლა თანამედროვე ფიზიკის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი სფეროა. მიკროსკოპული მასშტაბის აირების გათვალისწინებით, შეიძლება მივიღოთ სისტემის ყველა მაკროსკოპული პარამეტრი. ეს სტატია გამოავლენს გაზების მოლეკულური კინეტიკური თეორიის მნიშვნელოვან საკითხს: როგორია მოლეკულების მაქსველის განაწილება სიჩქარის მიხედვით.
ისტორიული ფონი
იდეა გაზის, როგორც მიკროსკოპული მოძრავი ნაწილაკების სისტემის შესახებ, წარმოიშვა ძველ საბერძნეთში. მის განვითარებას მეცნიერებას 1700 წელზე მეტი დასჭირდა.
გაზის თანამედროვე მოლეკულურ-კინეტიკური თეორიის (MKT) ფუძემდებელი სამართლიანად განიხილავს დანიილ ბერნულს. 1738 წელს მან გამოაქვეყნა ნაშრომი სახელწოდებით "ჰიდროდინამიკა". მასში ბერნულმა გამოკვეთა MKT-ის იდეები, რომლებიც დღემდე გამოიყენება. ასე რომ, მეცნიერს სჯეროდა, რომ აირები შედგება ნაწილაკებისგან, რომლებიც შემთხვევით მოძრაობენ ყველა მიმართულებით. მრავალრიცხოვანი შეჯახებაგემის კედლების მქონე ნაწილაკები აღიქმება როგორც გაზებში წნევის არსებობა. ნაწილაკების სიჩქარე მჭიდრო კავშირშია სისტემის ტემპერატურასთან. სამეცნიერო საზოგადოებამ არ მიიღო ბერნულის გაბედული იდეები, რადგან ენერგიის შენარჩუნების კანონი ჯერ კიდევ არ იყო დადგენილი.
შემდეგ, ბევრი მეცნიერი იყო დაკავებული აირების კინეტიკური მოდელის შექმნით. მათ შორის უნდა აღინიშნოს რუდოლფ კლაუზიუსი, რომელმაც 1857 წელს შექმნა გაზის მარტივი მოდელი. მასში მეცნიერმა განსაკუთრებული ყურადღება დაუთმო მოლეკულებში მთარგმნელობითი, ბრუნვითი და ვიბრაციული თავისუფლების ხარისხების არსებობას.
1859 წელს, კლაუსიუსის მუშაობის შესწავლისას, ჯეიმს მაქსველმა ჩამოაყალიბა ეგრეთ წოდებული მაქსველის განაწილება მოლეკულურ სიჩქარეებზე. ფაქტობრივად, მაქსველმა დაადასტურა MKT-ის იდეები, მათემატიკური აპარატით დაუჭირა მხარი. შემდგომში ლუდვიგ ბოლცმანმა (1871) განაზოგადა მაქსველის განაწილების დასკვნები. მან დაადგინა მოლეკულების უფრო ზოგადი სტატისტიკური განაწილება სიჩქარეებსა და ენერგიებზე. ამჟამად ცნობილია, როგორც მაქსველ-ბოლცმანის განაწილება.
იდეალური გაზი. ILC-ის ძირითადი პოსტულატები
იმისათვის, რომ გაიგოთ რა არის მაქსველის განაწილების ფუნქცია, საჭიროა ნათლად გესმოდეთ სისტემები, რომლებისთვისაც ეს ფუნქცია გამოიყენება. იდეალურ გაზზეა საუბარი. ფიზიკაში ეს კონცეფცია გაგებულია, როგორც თხევადი ნივთიერება, რომელიც შედგება პრაქტიკულად განზომილებიანი ნაწილაკებისგან, რომლებსაც არ აქვთ პოტენციური ენერგია. ეს ნაწილაკები დიდი სიჩქარით მოძრაობენ, ამიტომ მათი ქცევა მთლიანად განისაზღვრება კინეტიკური ენერგიით. უფრო მეტიც, ნაწილაკებს შორის მანძილი ძალიან დიდიამათ ზომებთან შედარებით, ამიტომ ეს უკანასკნელი უგულებელყოფილია.
იდეალური აირები აღწერილია MKT-ში. მისი ძირითადი პოსტულატები შემდეგია:
- გაზის სისტემები შედგება დიდი რაოდენობით თავისუფალი ნაწილაკებისგან;
- ნაწილაკები შემთხვევით მოძრაობენ სხვადასხვა სიჩქარით სხვადასხვა მიმართულებით სწორი ტრაექტორიების გასწვრივ;
- ნაწილაკები ელასტიურად ეჯახება ჭურჭლის კედლებს (ნაწილაკების ერთმანეთთან შეჯახების ალბათობა დაბალია მათი მცირე ზომის გამო);
- სისტემის ტემპერატურა ცალსახად განისაზღვრება ნაწილაკების საშუალო კინეტიკური ენერგიით, რომელიც დროში შენარჩუნებულია, თუ სისტემაში თერმოდინამიკური წონასწორობა დამყარდება.
მაქსველის განაწილების კანონი
ადამიანს რომ ჰქონოდა ინსტრუმენტი, რომლითაც შესაძლებელი იყო ერთი გაზის მოლეკულის სიჩქარის გაზომვა, მაშინ, შესაბამისი ექსპერიმენტის ჩატარების შემდეგ, გაოცებული დარჩებოდა. ექსპერიმენტი აჩვენებს, რომ ნებისმიერი აირისებრი სისტემის ყველა მოლეკულა მოძრაობს სრულიად თვითნებური სიჩქარით. ამ შემთხვევაში, გარემოსთან თერმული წონასწორობის ერთი სისტემის ფარგლებში, აღმოჩენილი იქნება როგორც ძალიან ნელი, ასევე ძალიან სწრაფი მოლეკულები.
მაქსველის კანონი გაზის მოლეკულების სიჩქარის განაწილების შესახებ არის ინსტრუმენტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ შესწავლილ სისტემაში მოცემული სიჩქარით v ნაწილაკების აღმოჩენის ალბათობა. შესაბამისი ფუნქცია ასე გამოიყურება:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
ამ გამოთქმაში, m -ნაწილაკების (მოლეკულის) მასა, k - ბოლცმანის მუდმივი, T - აბსოლუტური ტემპერატურა. ამრიგად, თუ ცნობილია ნაწილაკების ქიმიური ბუნება (მ-ის მნიშვნელობა), მაშინ ფუნქცია f(v) ცალსახად განისაზღვრება აბსოლუტური ტემპერატურით. ფუნქცია f(v) ეწოდება ალბათობის სიმკვრივეს. თუ მისგან ავიღებთ ინტეგრალს გარკვეული სიჩქარის ლიმიტისთვის (v; v+dv), მაშინ მივიღებთ Ni ნაწილაკების რაოდენობას, რომლებსაც აქვთ სიჩქარე მითითებულ ინტერვალში. შესაბამისად, თუ ავიღებთ f(v) ალბათობის სიმკვრივის ინტეგრალს სიჩქარის ზღვრებისთვის 0-დან ∞-მდე, მაშინ მივიღებთ სისტემაში N მოლეკულების საერთო რაოდენობას.
ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკული გამოსახულება f(v)
ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას აქვს გარკვეულწილად რთული მათემატიკური ფორმა, ამიტომ მისი ქცევის წარმოდგენა მოცემულ ტემპერატურაზე ადვილი არ არის. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, თუ მას ორგანზომილებიან გრაფიკზე გამოსახავთ. მაქსველის განაწილების გრაფიკის სქემატური ხედი ნაჩვენებია ქვემოთ სურათზე.
ჩვენ ვხედავთ, რომ ის იწყება ნულიდან, რადგან მოლეკულების v სიჩქარეს არ შეიძლება ჰქონდეს უარყოფითი მნიშვნელობები. გრაფიკი მთავრდება სადღაც მაღალი სიჩქარის რეგიონში, შეუფერხებლად ეცემა ნულამდე (f(∞)->0). თვალშისაცემია შემდეგი მახასიათებელიც: გლუვი მრუდი ასიმეტრიულია, ის უფრო მკვეთრად იკლებს მცირე სიჩქარით.
ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის f(v) ქცევის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მასზე ერთი გამოხატული მაქსიმუმის არსებობა. ფუნქციის ფიზიკური მნიშვნელობის მიხედვით, ეს მაქსიმუმი შეესაბამება აირში მოლეკულების სიჩქარის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობას.სისტემა.
მნიშვნელოვანი სიჩქარე f(v) ფუნქციისთვის
ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია f(v) და მისი გრაფიკული წარმოდგენა საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ სიჩქარის სამი მნიშვნელოვანი ტიპი.
სიჩქარის პირველი ტიპი, რომელიც აშკარაა და რომელიც ზემოთ იყო ნახსენები, არის ყველაზე სავარაუდო სიჩქარე v1. გრაფიკზე მისი მნიშვნელობა შეესაბამება f(v) ფუნქციის მაქსიმუმს. სწორედ ეს სიჩქარე და მასთან მიახლოებული მნიშვნელობები ექნება სისტემის ნაწილაკების უმეტესობას. მისი გამოთვლა არ არის რთული, ამისთვის საკმარისია ავიღოთ პირველი წარმოებული f(v) ფუნქციის სიჩქარის მიმართ და გავუტოლოთ ნულს. ამ მათემატიკური მოქმედებების შედეგად მივიღებთ საბოლოო შედეგს:
v1=√(2RT/M).
აქ R არის უნივერსალური აირის მუდმივი, M არის მოლეკულების მოლური მასა.
სიჩქარის მეორე ტიპი არის მისი საშუალო მნიშვნელობა ყველა N ნაწილაკისთვის. ავღნიშნოთ v2. მისი გამოთვლა შესაძლებელია vf(v) ფუნქციის ყველა სიჩქარეზე ინტეგრირებით. აღნიშნული ინტეგრაციის შედეგი იქნება შემდეგი ფორმულა:
v2=√(8RT/(piM)).
რადგან თანაფარდობა არის 8/pi>2, საშუალო სიჩქარე ყოველთვის ოდნავ აღემატება ყველაზე სავარაუდოს.
ყველა ადამიანს, ვინც ცოტა იცის ფიზიკის შესახებ, ესმის, რომ საშუალო სიჩქარე v2 მოლეკულების უნდა იყოს დიდი მნიშვნელობა გაზის სისტემაში. თუმცა, ეს მცდარი ვარაუდია. ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია RMS სიჩქარე. აღვნიშნოთv3.
დეფინიციის მიხედვით, ფესვი-საშუალო-კვადრატული სიჩქარე არის ყველა ნაწილაკების ინდივიდუალური სიჩქარის კვადრატების ჯამი, გაყოფილი ამ ნაწილაკების რაოდენობაზე და აღებული როგორც კვადრატული ფესვი. ის შეიძლება გამოითვალოს მაქსველის განაწილებისთვის, თუ განვსაზღვრავთ ინტეგრალს v2f(v) ფუნქციის ყველა სიჩქარეზე. საშუალო კვადრატული სიჩქარის ფორმულა მიიღებს ფორმას:
v3=√(3RT/M).
ტოლობა აჩვენებს, რომ ეს სიჩქარე მეტია v2 და v1 ნებისმიერი გაზის სისტემისთვის.
ამგვარად, მაქსველის განაწილების გრაფიკზე ყველა განხილული სიჩქარის ტიპი მდებარეობს ან ბოლოზე ან მის მარჯვნივ.
3-ის მნიშვნელობა
ზემოთ აღინიშნა, რომ საშუალო კვადრატული სიჩქარე უფრო მნიშვნელოვანია გაზის სისტემის ფიზიკური პროცესებისა და თვისებების გასაგებად, ვიდრე მარტივი საშუალო სიჩქარე v2. ეს მართალია, რადგან იდეალური აირის კინეტიკური ენერგია დამოკიდებულია ზუსტად v3-ზე და არა v2-ზე.
-ზე.
თუ განვიხილავთ ერთატომურ იდეალურ გაზს, მაშინ მასზე მართებულია შემდეგი გამოთქმა:
მვ32/2=3/2kT.
აქ, განტოლების თითოეული ნაწილი წარმოადგენს m მასის ერთი ნაწილაკის კინეტიკურ ენერგიას. რატომ შეიცავს გამოთქმა ზუსტად v3 მნიშვნელობას და არა საშუალო სიჩქარეს v2? ძალიან მარტივია: თითოეული ნაწილაკების კინეტიკური ენერგიის განსაზღვრისას მისი ინდივიდუალური სიჩქარე v კვადრატულია, შემდეგ ყველა სიჩქარეემატება და იყოფა N ნაწილაკების რაოდენობაზე. ანუ, კინეტიკური ენერგიის განსაზღვრის პროცედურა თავისთავად იწვევს საშუალო კვადრატული სიჩქარის მნიშვნელობას.
f(v) ფუნქციის დამოკიდებულება ტემპერატურაზე
ზემოთ დავადგინეთ, რომ მოლეკულური სიჩქარის ალბათობის სიმკვრივე ცალსახად დამოკიდებულია ტემპერატურაზე. როგორ შეიცვლება ფუნქცია, თუ T გაიზარდა ან შემცირდა? ქვემოთ მოცემული დიაგრამა დაგეხმარებათ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემაში.
შეიჩნევა, რომ დახურული სისტემის გათბობა იწვევს მწვერვალის დაბინძურებას და მის გადასვლას უფრო მაღალი სიჩქარისკენ. ტემპერატურის მატება იწვევს ყველა ტიპის სიჩქარის ზრდას და თითოეული მათგანის ალბათობის სიმკვრივის შემცირებას. პიკური მნიშვნელობა მცირდება დახურულ სისტემაში N ნაწილაკების რაოდენობის შენარჩუნების გამო.
შემდეგ მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას მიღებული თეორიული მასალის გასამყარებლად.
პრობლემა ჰაერში აზოტის მოლეკულებთან
აუცილებელია სიჩქარის გამოთვლა v1, v2 და v3 ჰაერის აზოტისთვის 300 K ტემპერატურაზე (დაახლოებით 27 oC).
აზოტის მოლური მასა N2 არის 28 გ/მოლი. ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით ვიღებთ:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 მ/წმ;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 მ/წმ;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 მ/წმ.
ჟანგბადის ავზის პრობლემა
ცილინდრში ჟანგბადი იყო გარკვეულ ტემპერატურაზე T1. შემდეგ ბუშტი უფრო ცივ ოთახში მოათავსეს. როგორ შეიცვლება ჟანგბადის მოლეკულების მაქსველის სიჩქარის განაწილების დიაგრამა, როდესაც სისტემა მივა თერმოდინამიკურ წონასწორობამდე?
თეორიის გახსენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვუპასუხოთ პრობლემის კითხვას ასე: შემცირდება მოლეკულების ყველა ტიპის სიჩქარის მნიშვნელობები, f(v) ფუნქციის პიკი გადაინაცვლებს მარცხნივ, გახდი ვიწრო და უფრო მაღალი.
