ყველა სხეული, რომელიც ჩვენს გარშემოა, მუდმივ მოძრაობაშია. სივრცეში სხეულების მოძრაობა შეინიშნება ყველა მასშტაბის დონეზე, დაწყებული ელემენტარული ნაწილაკების მოძრაობით მატერიის ატომებში და დამთავრებული სამყაროს გალაქტიკების აჩქარებული მოძრაობით. ნებისმიერ შემთხვევაში, მოძრაობის პროცესი ხდება აჩქარებით. ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ტანგენციალური აჩქარების ცნებას და მივცემთ ფორმულას, რომლითაც ის შეიძლება გამოითვალოს.
კინემატიკური სიდიდეები
სანამ ტანგენციალურ აჩქარებაზე ვისაუბრებთ, მოდით განვიხილოთ, რა სიდიდეებით არის გავრცელებული სივრცეში სხეულების თვითნებური მექანიკური მოძრაობის დახასიათება.
პირველ რიგში, ეს არის გზა L. ის გვიჩვენებს მანძილს მეტრებში, სანტიმეტრებში, კილომეტრებში და ასე შემდეგ, სხეულმა გაიარა გარკვეული პერიოდი.
კინემატიკაში მეორე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია სხეულის სიჩქარე. ბილიკისგან განსხვავებით, ეს არის ვექტორული სიდიდე და მიმართულია ტრაექტორიის გასწვრივსხეულის მოძრაობები. სიჩქარე განსაზღვრავს დროში სივრცითი კოორდინატების ცვლილების სიჩქარეს. მისი გამოთვლის ფორმულა არის:
v¯=dL/dt
სიჩქარე არის გზის დროის წარმოებული.
და ბოლოს, სხეულების მოძრაობის მესამე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი არის აჩქარება. ფიზიკაში განმარტების მიხედვით, აჩქარება არის სიდიდე, რომელიც განსაზღვრავს სიჩქარის ცვლილებას დროთა განმავლობაში. მისი ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც:
a¯=dv¯/dt
აჩქარება, ისევე როგორც სიჩქარე, ასევე არის ვექტორული სიდიდე, მაგრამ მისგან განსხვავებით, ის მიმართულია სიჩქარის ცვლილების მიმართულებით. აჩქარების მიმართულება ასევე ემთხვევა სხეულზე მოქმედი ძალის ვექტორს.
ტრაექტორია და აჩქარება
ფიზიკაში ბევრი პრობლემა განიხილება სწორხაზოვანი მოძრაობის ფარგლებში. ამ შემთხვევაში, როგორც წესი, ისინი არ საუბრობენ წერტილის ტანგენციალურ აჩქარებაზე, არამედ მუშაობენ წრფივი აჩქარებით. თუმცა, თუ სხეულის მოძრაობა არ არის წრფივი, მაშინ მისი სრული აჩქარება შეიძლება დაიყოს ორ კომპონენტად:
- ტანგენსი;
- ნორმალური.
წრფივი მოძრაობის შემთხვევაში ნორმალური კომპონენტი არის ნული, ამიტომ ჩვენ არ ვსაუბრობთ აჩქარების ვექტორულ გაფართოებაზე.
ამგვარად, მოძრაობის ტრაექტორია დიდწილად განსაზღვრავს სრული აჩქარების ბუნებასა და კომპონენტებს. მოძრაობის ტრაექტორია გაგებულია, როგორც წარმოსახვითი ხაზი სივრცეში, რომლის გასწვრივაც სხეული მოძრაობს. ნებისმიერიმრუდი ტრაექტორია იწვევს ზემოთ აღნიშნულ არანულოვანი აჩქარების კომპონენტების გამოჩენას.
ტანგენციალური აჩქარების განსაზღვრა
ტანგენციალური ან, როგორც მას ასევე უწოდებენ, ტანგენციალური აჩქარება არის სრული აჩქარების კომპონენტი, რომელიც მიმართულია მოძრაობის ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად. ვინაიდან სიჩქარე ასევე მიმართულია ტრაექტორიის გასწვრივ, ტანგენციალური აჩქარების ვექტორი ემთხვევა სიჩქარის ვექტორს.
აჩქარების ცნება, როგორც სიჩქარის ცვლილების საზომი, ზემოთ იყო მოცემული. ვინაიდან სიჩქარე არის ვექტორი, ის შეიძლება შეიცვალოს მოდულურად ან მიმართულებით. ტანგენციალური აჩქარება განსაზღვრავს მხოლოდ სიჩქარის მოდულის ცვლილებას.
გაითვალისწინეთ, რომ მართკუთხა მოძრაობის შემთხვევაში, სიჩქარის ვექტორი არ იცვლის მიმართულებას, შესაბამისად, ზემოაღნიშნული განმარტების შესაბამისად, ტანგენციალური აჩქარება და წრფივი აჩქარება ერთი და იგივე მნიშვნელობაა.
მიიღეთ ტანგენციალური აჩქარების განტოლება
ვვარაუდობთ, რომ სხეული მოძრაობს რაღაც მოხრილი ტრაექტორიის გასწვრივ. შემდეგ მისი სიჩქარე v¯ არჩეულ წერტილში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
v¯=vut¯
აქ v არის v¯ ვექტორის მოდული, ut¯ არის ერთეული სიჩქარის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად.
აჩქარების მათემატიკური განმარტების გამოყენებით მივიღებთ:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
წარმოებულის პოვნისას აქ გამოყენებული იყო ორი ფუნქციის ნამრავლის თვისება. ჩვენ ვხედავთ, რომ a¯ ჯამური აჩქარება განხილულ წერტილში შეესაბამება ორი წევრის ჯამს. ისინი არიან წერტილის ტანგენსი და ნორმალური აჩქარება.
მოდი ვთქვათ ორიოდე სიტყვა ნორმალურ აჩქარებაზე. ის პასუხისმგებელია სიჩქარის ვექტორის შეცვლაზე, ანუ მრუდის გასწვრივ სხეულის მოძრაობის მიმართულების შეცვლაზე. თუ ცალსახად გამოვთვლით მეორე წევრის მნიშვნელობას, მივიღებთ ნორმალური აჩქარების ფორმულას:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
ნორმალური აჩქარება მიმართულია ნორმალური აღდგენილი მრუდის მოცემულ წერტილამდე. წრიული მოძრაობის შემთხვევაში, ნორმალური აჩქარება არის ცენტრიდანული.
ტანგენციალური აჩქარების განტოლება at¯ არის:
at¯=dv/dtut¯
ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ტანგენციალური აჩქარება შეესაბამება არა მიმართულების ცვლილებას, არამედ სიჩქარის მოდულის v¯ ცვლილებას დროის მომენტში. ვინაიდან ტანგენციალური აჩქარება მიმართულია ტანგენციალურად ტრაექტორიის განხილულ წერტილზე, ის ყოველთვის პერპენდიკულარულია ნორმალურ კომპონენტზე.
ტანგენციალური აჩქარება და მთლიანი აჩქარების მოდული
წარმოდგენილი იყო ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ინფორმაცია, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ჯამური აჩქარება ტანგენტისა და ნორმალურის მიხედვით. მართლაც, ვინაიდან ორივე კომპონენტი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, მათი ვექტორები ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებს,რომლის ჰიპოტენუზა არის მთლიანი აჩქარების ვექტორი. ეს ფაქტი საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ფორმულა ჯამური აჩქარების მოდულისთვის შემდეგი ფორმით:
a=√(a2 + at2)
კუთხი θ სრულ აჩქარებასა და ტანგენციალურ აჩქარებას შორის შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:
θ=arccos(at/a)
რაც მეტია ტანგენციალური აჩქარება, მით უფრო ახლოს არის ტანგენციალური და სრული აჩქარების მიმართულებები.
მიმართება ტანგენციალურ და კუთხურ აჩქარებას შორის
ტიპიური მრუდი ტრაექტორია, რომლის გასწვრივ სხეულები მოძრაობენ ტექნოლოგიასა და ბუნებაში, არის წრე. მართლაც, მექანიზმების, პირების და პლანეტების მოძრაობა საკუთარი ღერძის გარშემო ან მათი მნათობების გარშემო ხდება ზუსტად წრეში. ამ ტრაექტორიის შესაბამის მოძრაობას ბრუნვა ეწოდება.
ბრუნვის კინემატიკა ხასიათდება იგივე მნიშვნელობებით, როგორც მოძრაობის კინემატიკა სწორი ხაზის გასწვრივ, თუმცა მათ აქვთ კუთხოვანი ხასიათი. ამრიგად, ბრუნვის აღსაწერად გამოიყენება ბრუნვის ცენტრალური კუთხე θ, კუთხური სიჩქარე ω და აჩქარება. შემდეგი ფორმულები მოქმედებს ამ რაოდენობებისთვის:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
ვუშვათ, რომ სხეულმა მოახდინა ერთი შემობრუნება ბრუნვის ღერძის გარშემო t დროში, მაშინ კუთხური სიჩქარისთვის შეგვიძლია დავწეროთ:
ω=2pi/t
წრფივი სიჩქარე ამ შემთხვევაში იქნება ტოლი:
v=2pir/t
სად r არის ტრაექტორიის რადიუსი. ბოლო ორი გამოთქმა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთორი სიჩქარის შეერთების ფორმულა:
v=ωr
ახლა ვიანგარიშებთ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის დროის წარმოებულს, მივიღებთ:
dv/dt=rdω/dt
ტოლობის მარჯვენა მხარე არის კუთხური აჩქარებისა და წრის რადიუსის ნამრავლი. განტოლების მარცხენა მხარე არის სიჩქარის მოდულის ცვლილება, ანუ ტანგენციალური აჩქარება.
ამგვარად, ტანგენციალური აჩქარება და მსგავსი კუთხური მნიშვნელობა დაკავშირებულია ტოლობით:
at=αr
თუ ვივარაუდებთ, რომ დისკი ბრუნავს, მაშინ წერტილის ტანგენციალური აჩქარება მუდმივ მნიშვნელობაზე α-ზე გაიზრდება წრფივად, როდესაც იზრდება მანძილი ამ წერტილიდან ბრუნვის ღერძამდე r.
შემდეგ, ჩვენ მოვაგვარებთ ორ პრობლემას ზემოთ მოყვანილი ფორმულების გამოყენებით.
ტანგენციალური აჩქარების განსაზღვრა ცნობილი სიჩქარის ფუნქციიდან
ცნობილია, რომ სხეულის სიჩქარე, რომელიც მოძრაობს გარკვეული მრუდი ტრაექტორიის გასწვრივ, აღწერილია დროის შემდეგი ფუნქციით:
v=2t2+ 3t + 5
აუცილებელია განვსაზღვროთ ტანგენციალური აჩქარების ფორმულა და ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა t=5 წამში.
პირველ რიგში, დავწეროთ ფორმულა ტანგენციალური აჩქარების მოდულისთვის:
at=dv/dt
ანუ at(t) ფუნქციის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ სიჩქარის წარმოებული დროის მიმართ. ჩვენ გვაქვს:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
შეცვლის დრო t=5 წამი მიღებულ გამოსახულებაში, მივიღებთ პასუხს: at=23 მ/წმ2.
გაითვალისწინეთ, რომ სიჩქარის გრაფიკი დროის წინააღმდეგ ამ ამოცანაში არის პარაბოლა, ხოლო ტანგენციალური აჩქარების გრაფიკი არის სწორი ხაზი.
ტანგენციალური აჩქარების ამოცანა
ცნობილია, რომ მატერიალურმა წერტილმა დაიწყო თანაბრად აჩქარებული ბრუნვა დროის ნულოვანი მომენტიდან. ბრუნვის დაწყებიდან 10 წამის შემდეგ მისი ცენტრიდანული აჩქარება ტოლი გახდა 20 მ/წმ2. აუცილებელია წერტილის ტანგენციალური აჩქარების დადგენა 10 წამის შემდეგ, თუ ცნობილია, რომ ბრუნის რადიუსი 1 მეტრია.
პირველ რიგში, ჩაწერეთ ცენტრიდანული ან ნორმალური აჩქარების ფორმულა ac:
ac=v2/r
წრფივი და კუთხური სიჩქარის ურთიერთობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
ac=ω2r
ერთგვაროვნად აჩქარებულ მოძრაობაში სიჩქარე და კუთხური აჩქარება დაკავშირებულია ფორმულით:
ω=αt
შეცვლით ω განტოლებაში ac, მივიღებთ:
ac=α2t2r
წრფივი აჩქარება ტანგენციალური აჩქარებით გამოიხატება შემდეგნაირად:
α=at/r
შეცვალეთ ბოლო ტოლობა წინაბოლოში, მივიღებთ:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
ბოლო ფორმულა, პრობლემის მდგომარეობის მონაცემების გათვალისწინებით, მივყავართ პასუხამდე: at=0, 447მ/წმ2.
