წერტილიდან სიბრტყემდე ან სწორ ხაზამდე მანძილის ცოდნა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფიგურების მოცულობა და ზედაპირის ფართობი სივრცეში. გეომეტრიაში ამ მანძილის გამოთვლა ხორციელდება მითითებული გეომეტრიული ობიექტების შესაბამისი განტოლებების გამოყენებით. სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ რა ფორმულები შეიძლება გამოვიყენოთ მის დასადგენად.
წრფის და სიბრტყის განტოლებები
წერტილიდან სიბრტყემდე და წრფემდე მანძილის განსაზღვრის ფორმულების მიცემამდე ვაჩვენოთ რა განტოლებები აღწერს ამ ობიექტებს.
წერტილის დასადგენად გამოიყენება კოორდინატთა სიმრავლე მოცემული კოორდინატთა ღერძების სისტემაში. აქ განვიხილავთ მხოლოდ დეკარტის მართკუთხა სისტემას, რომელშიც ღერძებს აქვთ იგივე ერთეული ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულურია. სიბრტყეზე თვითნებური წერტილი აღწერილია ორი კოორდინატით, სივრცეში - სამი.
სწორი ხაზის დასადგენად გამოიყენება სხვადასხვა ტიპის განტოლებები. სტატიის თემის შესაბამისად წარმოგიდგენთმხოლოდ ორი მათგანი, რომლებიც გამოიყენება ორგანზომილებიან სივრცეში ხაზების დასადგენად.
ვექტორული განტოლება. მას აქვს შემდეგი აღნიშვნა:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
პირველი წევრი აქ წარმოადგენს წრფეზე მდებარე ცნობილი წერტილის კოორდინატებს. მეორე წევრი არის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები გამრავლებული თვითნებური რიცხვით λ.
ზოგადი განტოლება. მისი აღნიშვნა ასეთია:
Ax + By + C=0;
სადაც A, B, C არის ზოგიერთი კოეფიციენტი.
ზოგადი განტოლება უფრო ხშირად გამოიყენება სიბრტყეზე ხაზების დასადგენად, თუმცა სიბრტყეზე წერტილიდან ხაზამდე მანძილის საპოვნელად უფრო მოსახერხებელია ვექტორულ გამოსახულებასთან მუშაობა.
სიბრტყე სამგანზომილებიან სივრცეში ასევე შეიძლება დაიწეროს რამდენიმე მათემატიკური გზით. მიუხედავად ამისა, ყველაზე ხშირად ამოცანებში არის ზოგადი განტოლება, რომელიც იწერება შემდეგნაირად:
Ax + By + Cz + D=0.
ამ აღნიშვნის უპირატესობა სხვებთან მიმართებაში არის ის, რომ ის ცალსახად შეიცავს სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ვექტორის კოორდინატებს. ამ ვექტორს მისთვის სახელმძღვანელო ჰქვია, ის ემთხვევა ნორმალურის მიმართულებას და მისი კოორდინატები უდრის (A; B; C)..
გაითვალისწინეთ, რომ ზემოაღნიშნული გამონათქვამი ემთხვევა ორგანზომილებიან სივრცეში სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დაწერის ფორმას, ამიტომ ამოცანების ამოხსნისას ფრთხილად უნდა იყოთ, რომ ეს გეომეტრიული ობიექტები არ აირიოთ.
მანძილი წერტილსა და ხაზს შორის
მოდით ვაჩვენოთ როგორ გამოვთვალოთ მანძილი სწორ ხაზსა დაწერტილი ორგანზომილებიან სივრცეში.
მოდი იყოს რაღაც წერტილი Q(x1; y1) და წრფე, რომელიც მოცემულია:-ით
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
დაშორება წრფესა და წერტილს შორის გაგებულია, როგორც ამ წრფის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე, მასზე დაბლა Q წერტილიდან.
ამ მანძილის გამოთვლამდე თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ Q კოორდინატები ამ განტოლებაში. თუ ისინი დააკმაყოფილებენ, მაშინ Q ეკუთვნის მოცემულ წრფეს და შესაბამისი მანძილი ნულის ტოლია. თუ წერტილის კოორდინატები არ იწვევს თანასწორობას, მაშინ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილი არ არის ნულოვანი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულით:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
აქ P არის სწორი ხაზის თვითნებური წერტილი, რომელიც არის ვექტორის PQ¯ დასაწყისი. ვექტორი u¯ არის სახელმძღვანელო სეგმენტი სწორი ხაზისთვის, ანუ მისი კოორდინატებია (a; b).
ამ ფორმულის გამოყენება მოითხოვს მრიცხველში ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლას.
პრობლემა წერტილისა და ხაზის
ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი Q(-3; 1) და სწორ ხაზს შორის, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას:
y=5x -2.
Q-ის კოორდინატების ჩანაცვლებით გამოსახულებაში, შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ Q არ დევს ხაზზე. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემულ პუნქტში მოცემული d-ის ფორმულა, თუ ამ განტოლებას წარმოადგენთ ვექტორული სახით. მოდი ასე მოვიქცეთ:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
ახლა ავიღოთ ამ ხაზის ნებისმიერი წერტილი, მაგალითად (0; -2) და ავაშენოთ ვექტორი, რომელიც იწყება მისგან და მთავრდება Q:-ზე
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
ახლა გამოიყენეთ ფორმულა მანძილის დასადგენად, მივიღებთ:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე
როგორც სწორი ხაზის შემთხვევაში, სიბრტყესა და სივრცეში წერტილს შორის მანძილი გაგებულია, როგორც სეგმენტის სიგრძე, რომელიც მოცემული წერტილიდან პერპენდიკულურად არის დაშვებული სიბრტყეზე და კვეთს მას.
სივრცეში წერტილი მოცემულია სამი კოორდინატით. თუ ისინი უდრის (x1; y1; z1), მაშინ მანძილი სიბრტყე და ეს წერტილი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ მხოლოდ მანძილი თვითმფრინავიდან ხაზამდე. იმ წერტილის კოორდინატების საპოვნელად, რომელზედაც პერპენდიკულური სეგმენტი კვეთს სიბრტყეს, საჭიროა დავწეროთ განტოლება იმ წრფეზე, რომელსაც ეკუთვნის ეს სეგმენტი, შემდეგ კი ვიპოვოთ საერთო წერტილი ამ წრფისა და მოცემული სიბრტყისთვის.
პრობლემა თვითმფრინავთან და წერტილთან
იპოვეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, თუ ცნობილია, რომ წერტილს აქვს კოორდინატები (3; -1; 2) და სიბრტყე მოცემულია:-ით.
-y + 3z=0.
შესაბამისი ფორმულის გამოსაყენებლად, ჯერ ვწერთ კოეფიციენტებსმოცემული თვითმფრინავი. ვინაიდან x ცვლადი და თავისუფალი წევრი არ არის, კოეფიციენტები A და D ნულის ტოლია. ჩვენ გვაქვს:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს თვითმფრინავი გადის საწყისზე და x-ღერძი მას ეკუთვნის.
შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები და სიბრტყის კოეფიციენტები d მანძილის ფორმულაში, მივიღებთ:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ თქვენ შეცვლით წერტილის x-კოორდინატს, მაშინ მანძილი d არ შეიცვლება. ეს ფაქტი ნიშნავს, რომ წერტილების სიმრავლე (x; -1; 2) ქმნის სწორ ხაზს მოცემული სიბრტყის პარალელურად.
