გოლდბახის პრობლემა ერთ-ერთი უძველესი და ყველაზე აჟიოტაჟური პრობლემაა ყველა მათემატიკის ისტორიაში.
ეს ვარაუდი დადასტურდა, რომ მართალი იყო 4 × 1018-ზე ნაკლები მთელი რიცხვებისთვის, მაგრამ მათემატიკოსების დიდი მცდელობის მიუხედავად, დაუმტკიცებელი რჩება.
ნომერი
გოლდბახის რიცხვი არის დადებითი ლუწი რიცხვი, რომელიც არის კენტი მარტივი რიცხვების წყვილის ჯამი. გოლდბახის ვარაუდის კიდევ ერთი ფორმა არის ის, რომ ოთხზე მეტი ლუწი რიცხვი არის გოლდბახის რიცხვი.
ასეთი რიცხვების გამოყოფას გოლდბახის დანაყოფი (ან დანაყოფი) ეწოდება. ქვემოთ მოცემულია მსგავსი განყოფილებების მაგალითები ზოგიერთი ლუწი რიცხვისთვის:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
ჰიპოთეზის აღმოჩენა
გოლდბახს ჰყავდა კოლეგა, სახელად ეილერი, რომელსაც უყვარდა დათვლა, რთული ფორმულების წერა და გადაუჭრელი თეორიების წამოწევა. ამით ისინი გოლდბახის მსგავსი იყვნენ. ეილერმა მსგავსი მათემატიკური გამოცანა გააკეთა გოლდბახამდეც, რომელთანაც ისმუდმივი მიმოწერა. შემდეგ მან შესთავაზა მეორე წინადადება თავისი ხელნაწერის მიდამოში, რომლის მიხედვითაც 2-ზე მეტი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს სამი მარტივი რიცხვის ჯამი. ის 1 მარტივ რიცხვად თვლიდა.
ახლა ცნობილია, რომ ორი ჰიპოთეზა მსგავსია, მაგრამ ეს არ ჩანდა პრობლემა იმ დროისთვის. გოლდბახის ამოცანის თანამედროვე ვერსიაში ნათქვამია, რომ 5-ზე დიდი ყოველი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს სამი მარტივის ჯამი. ეილერმა უპასუხა 1742 წლის 30 ივნისით დათარიღებულ წერილს და შეახსენა გოლდბახს ადრე ჩატარებული საუბარი ("… ასე რომ, ჩვენ ვსაუბრობთ თავდაპირველ (და არა მარგინალურ) ჰიპოთეზაზე, რომელიც წარმოიქმნება შემდეგი განცხადებიდან").
ეილერ-გოლდბახის პრობლემა
2 და მისი ლუწი რიცხვები შეიძლება დაიწეროს ორი მარტივის ჯამის სახით, რაც ასევე გოლდბახის ვარაუდია. 1742 წლის 30 ივნისით დათარიღებულ წერილში ეილერი აცხადებდა, რომ ყოველი ლუწი რიცხვი არის ორი მარტივი მარტივის შეკრების შედეგი, რომელსაც იგი კარგად განსაზღვრულ თეორემად თვლის, თუმცა ამის დამტკიცება არ შეუძლია.
მესამე ვერსია
გოლდბახის ამოცანის მესამე ვერსია (ექვივალენტურია დანარჩენი ორი ვერსიისა) არის ის ფორმა, რომელშიც ვარაუდი ჩვეულებრივ მოცემულია დღეს. იგი ასევე ცნობილია როგორც გოლდბახის "ძლიერი", "ლუწი" ან "ორობითი" ვარაუდი, რათა განასხვავოს იგი სუსტი ჰიპოთეზისგან, რომელიც დღეს ცნობილია როგორც "სუსტი", "კენტი" ან "სამადი" გოლდბახის ვარაუდი. სუსტი ვარაუდი ამბობს, რომ 7-ზე მეტი კენტი რიცხვი სამი უცნაური მარტივი რიცხვის ჯამია. სუსტი ვარაუდი 2013 წელს დადასტურდა. სუსტი ჰიპოთეზა არისძლიერი ჰიპოთეზის შედეგი. საპირისპირო დასკვნა და გოლდბახის ძლიერი ვარაუდი დღემდე დაუდასტურებელია.
შემოწმება
n-ის მცირე მნიშვნელობებისთვის, გოლდბახის პრობლემა (და შესაბამისად გოლდბახის ვარაუდი) შეიძლება გადამოწმდეს. მაგალითად, ნილს პიპინგმა 1938 წელს გულდასმით გამოსცადა ჰიპოთეზა n≦ 105-მდე. პირველი კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად, n-ის კიდევ ბევრი მნიშვნელობა გამოითვალა..
ოლივეირა სილვამ შეასრულა განაწილებული კომპიუტერის ძიება, რომელმაც დაადასტურა ჰიპოთეზა n ≦ 4 × 1018 (და ორმაგად შემოწმებული 4 × 1017-მდე) 2013 წლისთვის. ამ ძიებიდან ერთ-ერთი ჩანაწერი არის ის, რომ 3,325,581,707,333,960,528 არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელსაც არ აქვს გოლდბახის გაყოფა 9781-ზე ქვემოთ მარტივი რიცხვით.
ჰევრისტიკა
გოლდბახის ვარაუდის ძლიერი ფორმის ვერსია ასეთია: ვინაიდან რაოდენობა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ n-ს გაზრდისას, ჩვენ ველით, რომ ყოველ დიდ ლუწი რიცხვს აქვს ერთზე მეტი წარმოდგენა, როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი. მაგრამ სინამდვილეში, ასეთი წარმოდგენები ბევრია. ვინ გადაჭრა გოლდბახის პრობლემა? ვაი, მაინც არავინ.
ეს ევრისტიკული არგუმენტი რეალურად გარკვეულწილად არაზუსტია, რადგან ვარაუდობს, რომ m სტატისტიკურად დამოუკიდებელია n-ისგან. მაგალითად, თუ m არის კენტი, მაშინ n - m ასევე არის კენტი, ხოლო თუ m არის ლუწი, მაშინ n - m არის ლუწი და ეს არის არატრივიალური (კომპლექსური) მიმართება, რადგან 2 რიცხვის გარდა, მხოლოდ კენტი. რიცხვები შეიძლება იყოს მარტივი. ანალოგიურად, თუ n იყოფა 3-ზე და m უკვე იყო მარტივი 3-ის გარდა, მაშინ n - m ასევე ორმხრივიამარტივი 3-ით, ამიტომ უფრო სავარაუდოა, რომ იყოს მარტივი რიცხვი მთლიანი რიცხვისგან განსხვავებით. ამ ტიპის ანალიზის უფრო ფრთხილად ჩატარებისას, ჰარდიმ და ლიტლვუდმა 1923 წელს, როგორც მათი ცნობილი ჰარდი-ლიტლვუდის მარტივი ტუპლური ვარაუდის ნაწილი, გააკეთეს ზემოაღნიშნული დახვეწა მთელი თეორიის შესახებ. მაგრამ ამან ვერ უშველა პრობლემის გადაჭრას.
ძლიერი ჰიპოთეზა
ძლიერი გოლდბახის ვარაუდი ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე სუსტი გოლდბახის ვარაუდი. მოგვიანებით შნირელმანმა დაამტკიცა, რომ 1-ზე მეტი ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს მაქსიმუმ C მარტივი რიცხვების ჯამი, სადაც C არის ეფექტურად გამოთვლადი მუდმივა. ბევრი მათემატიკოსი ცდილობდა მის ამოხსნას, ითვლის და ამრავლებდა რიცხვებს, სთავაზობდა კომპლექსურ ფორმულებს და ა.შ. მაგრამ მათ არასოდეს მიაღწიეს წარმატებას, რადგან ჰიპოთეზა ძალიან რთულია. არცერთი ფორმულა არ უშველა.
მაგრამ ღირს ცოტათი თავი დავანებოთ გოლდბახის პრობლემის დამტკიცების საკითხს. შნირელმანის მუდმივა არის ყველაზე პატარა C რიცხვი ამ თვისებით. თავად შნირელმანმა მიიღო C <800 000. ეს შედეგი შემდგომში დაემატა ბევრმა ავტორმა, მაგალითად, ოლივიე რამრეტმა, რომელმაც 1995 წელს აჩვენა, რომ ყოველი ლუწი რიცხვი n ≧ 4 რეალურად არის მაქსიმუმ ექვსი მარტივი რიცხვის ჯამი. ყველაზე ცნობილი შედეგი ამჟამად ასოცირდება ჰარალდ ჰელფგოტის გოლდბახის თეორიასთან.
შემდეგი განვითარება
1924 წელს ჰარდიმ და ლიტლვუდმა ივარაუდეს G. R. H. აჩვენა, რომ X-მდე ლუწი რიცხვების რიცხვი, რომელიც არღვევს ბინარული გოლდბახის პრობლემას, გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე მცირე c.
1973 წელს ჩენ ჯინგიუნივცადე ამ პრობლემის მოგვარება, მაგრამ არ გამომივიდა. ის ასევე იყო მათემატიკოსი, ამიტომ ძალიან უყვარდა გამოცანების ამოხსნა და თეორემების მტკიცება.
1975 წელს ორმა ამერიკელმა მათემატიკოსმა აჩვენა, რომ არსებობს დადებითი მუდმივები c და C - ისეთები, რომლებისთვისაც N საკმარისად დიდია. კერძოდ, ლუწი მთელი რიცხვების სიმრავლეს აქვს ნულოვანი სიმკვრივე. ეს ყველაფერი სასარგებლო იყო სამმაგი გოლდბახის პრობლემის გადაწყვეტაზე მუშაობისთვის, რომელიც მოხდება მომავალში.
1951 წელს ლინნიკმა დაამტკიცა K მუდმივის არსებობა ისეთი, რომ ყოველი საკმარისად დიდი ლუწი რიცხვი არის ერთი მარტივი და მეორე მარტივი რიცხვის ერთმანეთთან დამატების შედეგი. როჯერ ჰიტ-ბრაუნმა და იან-კრისტოფ შლაგე-პუჩტამ 2002 წელს დაადგინეს, რომ K=13 მუშაობს. ეს ძალიან საინტერესოა ყველა ადამიანისთვის, ვისაც უყვარს ერთმანეთის დამატება, სხვადასხვა რიცხვების შეკრება და ნახოს რა ხდება.
გოლდბახის პრობლემის გადაწყვეტა
როგორც ბევრი ცნობილი ვარაუდი მათემატიკაში, არსებობს გოლდბახის ვარაუდის არაერთი სავარაუდო მტკიცებულება, რომელთაგან არცერთი არ არის მიღებული მათემატიკური საზოგადოების მიერ.
მიუხედავად იმისა, რომ გოლდბახის ვარაუდი გულისხმობს, რომ ერთზე მეტი დადებითი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს მაქსიმუმ სამი მარტივი რიცხვის ჯამი, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ასეთი ჯამის პოვნა ხარბი ალგორითმის გამოყენებით, რომელიც იყენებს ყველაზე დიდ შესაძლო მარტივ რიცხვს. ყოველ ნაბიჯზე. Pillai-ის თანმიმდევრობა ადევნებს თვალყურს იმ რიცხვებს, რომლებიც საჭიროებენ ყველაზე მეტ მარტივს მათ ხარბ გამოსახულებებში. მაშასადამე, გოლდბახის პრობლემის გადაწყვეტაჯერ კიდევ კითხვის ნიშნის ქვეშ. მიუხედავად ამისა, ადრე თუ გვიან, დიდი ალბათობით, ეს მოგვარდება.
არსებობს გოლდბახის პრობლემის მსგავსი თეორიები, როდესაც მარტივი რიცხვები იცვლება რიცხვების სხვა სპეციფიკური სიმრავლით, როგორიცაა კვადრატები.
კრისტიან გოლდბახი
კრისტიან გოლდბახი იყო გერმანელი მათემატიკოსი, რომელიც ასევე სწავლობდა სამართალს. მას დღეს ახსოვთ გოლდბახის ვარაუდით.
ის მთელი ცხოვრება მათემატიკოსად მუშაობდა - ძალიან უყვარდა რიცხვების შეკრება, ახალი ფორმულების გამოგონება. მან ასევე იცოდა რამდენიმე ენა, რომელთაგან თითოეულში ინახავდა პირად დღიურს. ეს ენები იყო გერმანული, ფრანგული, იტალიური და რუსული. ასევე, ზოგიერთი წყაროს მიხედვით, ის საუბრობდა ინგლისურ და ლათინურ ენაზე. იგი სიცოცხლის განმავლობაში ცნობილი იყო, როგორც საკმაოდ ცნობილი მათემატიკოსი. გოლდბახი ასევე საკმაოდ მჭიდროდ იყო დაკავშირებული რუსეთთან, რადგან მას ჰყავდა ბევრი რუსი კოლეგა და სამეფო ოჯახის პირადი კეთილგანწყობა.
მან განაგრძო მუშაობა ახლად გახსნილ სანქტ-პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიაში 1725 წელს, როგორც მათემატიკის პროფესორი და აკადემიის ისტორიკოსი. 1728 წელს, როდესაც პეტრე II გახდა რუსეთის მეფე, გოლდბახი გახდა მისი დამრიგებელი. 1742 წელს შევიდა რუსეთის საგარეო საქმეთა სამინისტროში. ანუ ის რეალურად მუშაობდა ჩვენს ქვეყანაში. იმ დროს რუსეთში ბევრი მეცნიერი, მწერალი, ფილოსოფოსი და სამხედრო ადამიანი ჩამოვიდა, რადგან რუსეთი იმ დროს ისეთი შესაძლებლობების ქვეყანა იყო, როგორიც ამერიკა იყო. ბევრმა აქ გააკეთა კარიერა. და ჩვენი გმირი არ არის გამონაკლისი.
კრისტიან გოლდბახი მრავალენოვანი იყო - მან დაწერა დღიური გერმანულ და ლათინურ ენებზე, მისი წერილებიიწერებოდა გერმანულ, ლათინურ, ფრანგულ და იტალიურ ენებზე, ხოლო ოფიციალური დოკუმენტებისთვის მან გამოიყენა რუსული, გერმანული და ლათინური.
გარდაიცვალა 1764 წლის 20 ნოემბერს 74 წლის ასაკში მოსკოვში. დღე, როდესაც გოლდბახის პრობლემა მოგვარდება, მისი ხსოვნისადმი მიძღვნილი პატივი იქნება.
დასკვნა
გოლდბახი იყო დიდი მათემატიკოსი, რომელმაც მოგვცა ამ მეცნიერების ერთ-ერთი უდიდესი საიდუმლო. არ არის ცნობილი, მოგვარდება თუ არა. ჩვენ მხოლოდ ვიცით, რომ მისი სავარაუდო გადაწყვეტა, როგორც ფერმას თეორემის შემთხვევაში, ახალ პერსპექტივებს გაუხსნის მათემატიკას. მათემატიკოსებს ძალიან უყვართ მისი ამოხსნა და ანალიზი. ძალიან საინტერესო და ცნობისმოყვარეა ევრისტიკული თვალსაზრისით. მათემატიკის სტუდენტებსაც კი მოსწონთ გოლდბახის ამოცანის ამოხსნა. სხვა როგორ? ახალგაზრდებს ხომ გამუდმებით იზიდავს ყველაფერი ნათელი, ამბიციური და მოუგვარებელი, რადგან სირთულეების დაძლევით შეიძლება საკუთარი თავის მტკიცება. იმედი ვიქონიოთ, რომ მალე ამ პრობლემას მოაგვარებენ ახალგაზრდა, ამბიციური, ცნობისმოყვარე გონება.
