აქსიომური მეთოდი არის უკვე დამკვიდრებული მეცნიერული თეორიების აგების გზა. ის ეფუძნება არგუმენტებს, ფაქტებს, განცხადებებს, რომლებიც არ საჭიროებს მტკიცებულებას ან უარყოფას. ფაქტობრივად, ცოდნის ეს ვერსია წარმოდგენილია დედუქციური სტრუქტურის სახით, რომელიც თავდაპირველად მოიცავს შინაარსის ლოგიკურ დასაბუთებას საფუძვლებიდან - აქსიომებიდან..
ეს მეთოდი არ შეიძლება იყოს აღმოჩენა, არამედ მხოლოდ კლასიფიკაციის კონცეფციაა. ის უფრო შესაფერისია სწავლებისთვის. საფუძველი შეიცავს თავდაპირველ დებულებებს, დანარჩენი ინფორმაცია კი ლოგიკური შედეგია. სად არის თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდი? ის დგას ყველაზე თანამედროვე და დამკვიდრებული მეცნიერებების ბირთვში.
აქსიომური მეთოდის ცნების ჩამოყალიბება და განვითარება, სიტყვის განმარტება
პირველ რიგში, ეს კონცეფცია წარმოიშვა ძველ საბერძნეთში ევკლიდეს წყალობით. ის გახდა გეომეტრიაში აქსიომური მეთოდის ფუძემდებელი. დღეს ის გავრცელებულია ყველა მეცნიერებაში, მაგრამ ყველაზე მეტად მათემატიკაში. ეს მეთოდი ჩამოყალიბებულია დადგენილი განცხადებების საფუძველზე და შემდგომი თეორიები მიღებულია ლოგიკური კონსტრუქციით.
ეს აიხსნება შემდეგნაირად: არის სიტყვები და ცნებები, რომლებიცსხვა ტერმინებით განსაზღვრული. შედეგად, მკვლევარები მივიდნენ დასკვნამდე, რომ არსებობს ელემენტარული დასკვნები, რომლებიც გამართლებულია და მუდმივია - ძირითადი, ანუ აქსიომები. მაგალითად, თეორემის დამტკიცებისას, ისინი ჩვეულებრივ ეყრდნობიან უკვე კარგად დადგენილ ფაქტებს და არ საჭიროებს უარყოფას.
თუმცა მანამდე მათი დასაბუთება სჭირდებოდა. ამ პროცესში გამოდის, რომ დაუსაბუთებელი განცხადება აქსიომად არის აღებული. მუდმივი ცნებების ერთობლიობის საფუძველზე დამტკიცებულია სხვა თეორემები. ისინი ქმნიან პლანიმეტრიის საფუძველს და წარმოადგენენ გეომეტრიის ლოგიკურ სტრუქტურას. ამ მეცნიერებაში დამკვიდრებული აქსიომები განისაზღვრება, როგორც ნებისმიერი ბუნების ობიექტები. მათ, თავის მხრივ, აქვთ თვისებები, რომლებიც მითითებულია მუდმივ ცნებებში.
აქსიომების შემდგომი შესწავლა
მეთოდი იდეალურად ითვლებოდა მეცხრამეტე საუკუნემდე. ძირითადი ცნებების ძიების ლოგიკური საშუალებები იმ დღეებში არ იყო შესწავლილი, მაგრამ ევკლიდეს სისტემაში შეიძლება დავაკვირდეთ აქსიომური მეთოდით მნიშვნელოვანი შედეგების მიღების სტრუქტურას. მეცნიერის კვლევამ აჩვენა იდეა, თუ როგორ უნდა მივიღოთ გეომეტრიული ცოდნის სრული სისტემა წმინდა დედუქციურ გზაზე. მათ შესთავაზეს დამტკიცებული აქსიომების შედარებით მცირე რაოდენობა, რომლებიც აშკარად მართალია.
ძველი ბერძნული გონების დამსახურება
ევკლიდემ დაამტკიცა მრავალი ცნება და ზოგიერთი მათგანი გამართლდა. თუმცა უმრავლესობა ამ დამსახურებებს პითაგორას, დემოკრიტეს და ჰიპოკრატეს ანიჭებს. ამ უკანასკნელმა შეადგინა გეომეტრიის სრული კურსი. მართალია, მოგვიანებით ალექსანდრიაში გამოვიდაკრებული „დასაწყისი“, რომლის ავტორი იყო ევკლიდე. შემდეგ მას ეწოდა „დაწყებითი გეომეტრია“. გარკვეული პერიოდის შემდეგ მათ დაიწყეს მისი კრიტიკა გარკვეული მიზეზების გამო:
- ყველა მნიშვნელობა აშენდა მხოლოდ სახაზავი და კომპასი;
- გეომეტრია და არითმეტიკა გამოეყო და დადასტურდა სწორი რიცხვებითა და ცნებებით;
- აქსიომები, ზოგიერთი მათგანი, კერძოდ, მეხუთე პოსტულატი, შემოთავაზებული იყო წაშლას ზოგადი სიიდან.
შედეგად, მე-19 საუკუნეში ჩნდება არაევკლიდური გეომეტრია, რომელშიც არ არსებობს ობიექტურად ჭეშმარიტი პოსტულატი. ამ მოქმედებამ ბიძგი მისცა გეომეტრიული სისტემის შემდგომ განვითარებას. ამრიგად, მათემატიკური მკვლევარები მივიდნენ დედუქციური მშენებლობის მეთოდებამდე.
მათემატიკური ცოდნის განვითარება აქსიომებზე დაყრდნობით
როდესაც გეომეტრიის ახალი სისტემის განვითარება დაიწყო, აქსიომური მეთოდიც შეიცვალა. მათემატიკაში მათ უფრო ხშირად დაიწყეს წმინდა დედუქციური თეორიის კონსტრუქცია. შედეგად, თანამედროვე ციფრულ ლოგიკაში წარმოიშვა მტკიცებულებათა მთელი სისტემა, რომელიც არის მთელი მეცნიერების მთავარი განყოფილება. მათემატიკური სტრუქტურაში დაიწყო დასაბუთების საჭიროების გაგება.
ამგვარად, საუკუნის ბოლოს ჩამოყალიბდა მკაფიო ამოცანები და რთული ცნებების აგება, რომლებიც რთული თეორემიდან დაყვანილ იქნა უმარტივეს ლოგიკურ დებულებამდე. ამრიგად, არაევკლიდური გეომეტრია ასტიმულირებდა მყარ საფუძველს აქსიომური მეთოდის შემდგომი არსებობისთვის, ასევე ზოგადი ხასიათის პრობლემების გადასაჭრელად.მათემატიკური კონსტრუქციები:
- თანმიმდევრულობა;
- სისრულე;
- დამოუკიდებლობა.
ამ პროცესში გაჩნდა და წარმატებით განვითარდა ინტერპრეტაციის მეთოდი. ეს მეთოდი შემდეგნაირად არის აღწერილი: თეორიაში თითოეული გამომავალი კონცეფციისთვის დაყენებულია მათემატიკური ობიექტი, რომლის მთლიანობას ველი ეწოდება. განცხადება მითითებული ელემენტების შესახებ შეიძლება იყოს მცდარი ან ჭეშმარიტი. შედეგად, განცხადებები დასახელებულია დასკვნების მიხედვით.
ინტერპრეტაციის თეორიის თავისებურებები
როგორც წესი, მათემატიკური სისტემაში ველი და თვისებებიც განიხილება და ის, თავის მხრივ, შეიძლება გახდეს აქსიომური. ინტერპრეტაცია ადასტურებს განცხადებებს, რომლებშიც შედარებითი თანმიმდევრულობაა. დამატებითი ვარიანტია მთელი რიგი ფაქტები, რომლებშიც თეორია ხდება წინააღმდეგობრივი.
ფაქტობრივად, პირობა ზოგიერთ შემთხვევაში შესრულებულია. შედეგად, გამოდის, რომ თუ ერთ-ერთი განცხადების დებულებაში ორი მცდარი ან ჭეშმარიტი ცნებაა, მაშინ იგი უარყოფითად ან დადებითად ითვლება. ეს მეთოდი გამოიყენებოდა ევკლიდეს გეომეტრიის თანმიმდევრულობის დასამტკიცებლად. ინტერპრეტაციის მეთოდის გამოყენებით შეიძლება გადაწყვიტოს აქსიომების სისტემების დამოუკიდებლობის საკითხი. თუ რაიმე თეორიის უარყოფა გჭირდებათ, მაშინ საკმარისია იმის დამტკიცება, რომ ერთ-ერთი ცნება არ არის მიღებული მეორისგან და მცდარია.
თუმცა, წარმატებულ განცხადებებთან ერთად, მეთოდს აქვს სისუსტეებიც. აქსიომების სისტემების თანმიმდევრულობა და დამოუკიდებლობა წყდება, როგორც კითხვები, რომლებიც იღებენ შეფარდებით შედეგებს. ინტერპრეტაციის ერთადერთი მნიშვნელოვანი მიღწევააარითმეტიკის, როგორც სტრუქტურის როლის აღმოჩენა, რომელშიც თანმიმდევრულობის საკითხი დაყვანილია სხვა მეცნიერებამდე.
აქსიომატური მათემატიკის თანამედროვე განვითარება
აქსიომატური მეთოდი დაიწყო განვითარება გილბერტის შემოქმედებაში. მის სკოლაში დაზუსტდა თეორიისა და ფორმალური სისტემის კონცეფცია. შედეგად, წარმოიშვა ზოგადი სისტემა და მათემატიკური ობიექტები გახდა ზუსტი. გარდა ამისა, შესაძლებელი გახდა გამართლების საკითხების გადაწყვეტა. ამრიგად, ფორმალური სისტემა აგებულია ზუსტი კლასით, რომელიც შეიცავს ფორმულებისა და თეორემების ქვესისტემებს.
ამ სტრუქტურის ასაშენებლად, მხოლოდ ტექნიკური მოხერხებულობით უნდა იხელმძღვანელოთ, რადგან მათ არ აქვთ სემანტიკური დატვირთვა. ისინი შეიძლება ჩაიწეროს ნიშნებით, სიმბოლოებით. ანუ, ფაქტობრივად, თავად სისტემა ისეა აგებული, რომ ფორმალური თეორიის ადეკვატურად და სრულად გამოყენება შესაძლებელია.
შედეგად, კონკრეტული მათემატიკური მიზანი ან დავალება ჩაედინება თეორიაში, რომელიც დაფუძნებულია ფაქტობრივ შინაარსზე ან დედუქციურ მსჯელობაზე. რიცხვითი მეცნიერების ენა გადადის ფორმალურ სისტემაში, ამ პროცესში ნებისმიერი კონკრეტული და აზრიანი გამოთქმა განისაზღვრება ფორმულით.
ფორმალიზაციის მეთოდი
საგნების ბუნებრივ მდგომარეობაში, ასეთი მეთოდი შეძლებს გადაჭრას ისეთი გლობალური საკითხები, როგორიცაა თანმიმდევრულობა, ასევე გამოყვანილი ფორმულების მიხედვით შექმნას მათემატიკური თეორიების დადებითი არსი. და ძირითადად ეს ყველაფერი გადაიჭრება ფორმალური სისტემით, რომელიც დაფუძნებულია დადასტურებულ განცხადებებზე. მათემატიკური თეორიები გამუდმებით რთულდებოდა დასაბუთებებით დაგილბერტმა შესთავაზა ამ სტრუქტურის გამოკვლევა სასრული მეთოდების გამოყენებით. მაგრამ ეს პროგრამა ჩაიშალა. გოდელის შედეგებმა უკვე მეოცე საუკუნეში მიგვიყვანა შემდეგ დასკვნამდე:
- ბუნებრივი თანმიმდევრულობა შეუძლებელია იმის გამო, რომ ფორმალიზებული არითმეტიკა ან სხვა მსგავსი მეცნიერება ამ სისტემისგან არასრული იქნება;
- გამოჩნდა გაუხსნელი ფორმულები;
- პრეტენზიები დაუმტკიცებელია.
ჭეშმარიტი განსჯა და გონივრული სასრული დასრულება ითვლება ფორმალიზებად. ამის გათვალისწინებით, აქსიომატიურ მეთოდს აქვს გარკვეული და მკაფიო საზღვრები და შესაძლებლობები ამ თეორიის ფარგლებში.
აქსიომების განვითარების შედეგები მათემატიკოსთა ნაშრომებში
მიუხედავად იმისა, რომ ზოგიერთი მსჯელობა უარყოფილია და სათანადოდ არ არის განვითარებული, მუდმივი ცნებების მეთოდი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მათემატიკის საფუძვლების ჩამოყალიბებაში. გარდა ამისა, ინტერპრეტაციამ და მეცნიერებაში აქსიომატიურმა მეთოდმა გამოავლინა თანმიმდევრულობის, არჩევანის დამოუკიდებლობის განცხადებების და ჰიპოთეზების ფუნდამენტური შედეგები მრავალ თეორიაში.
თანმიმდევრულობის საკითხის განხილვისას მთავარია არა მხოლოდ ჩამოყალიბებული კონცეფციების გამოყენება. მათ ასევე უნდა დაემატოს იდეები, ცნებები და სასრული დასრულების საშუალებები. ამ შემთხვევაში განიხილება სხვადასხვა შეხედულებები, მეთოდები, თეორიები, რომლებშიც მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ლოგიკური მნიშვნელობა და დასაბუთება.
ფორმალური სისტემის თანმიმდევრულობა მიუთითებს არითმეტიკის მსგავს დასრულებაზე, რომელიც ეფუძნება ინდუქციას, დათვლას, ტრანსფინიტურ რიცხვს. სამეცნიერო სფეროში აქსიომატიზაცია ყველაზე მნიშვნელოვანიაინსტრუმენტი, რომელსაც აქვს უტყუარი ცნებები და განცხადებები, რომლებიც საფუძვლად არის აღებული.
საწყისი განცხადებების არსი და მათი როლი თეორიებში
აქსიომური მეთოდის შეფასება მიუთითებს, რომ გარკვეული სტრუქტურა მდგომარეობს მის არსში. ეს სისტემა აგებულია ძირითადი კონცეფციისა და ფუნდამენტური განცხადებების იდენტიფიკაციის საფუძველზე, რომლებიც განუსაზღვრელია. იგივე ხდება თეორემებთან, რომლებიც ითვლება ორიგინალურად და მიიღება მტკიცებულების გარეშე. საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში ასეთ განცხადებებს ადასტურებენ წესები, ვარაუდები, კანონები.
შემდეგ ხდება დადგენილი მსჯელობის საფუძვლების დაფიქსირების პროცესი. როგორც წესი, მაშინვე მითითებულია, რომ ერთი პოზიციიდან მეორე გამოდის და ამ პროცესში გამოდის დანარჩენები, რომლებიც, არსებითად, დედუქციურ მეთოდს ემთხვევა..
სისტემის მახასიათებლები თანამედროვე დროში
აქსიომატური სისტემა მოიცავს:
- ლოგიკური დასკვნები;
- ტერმინები და განმარტებები;
- ნაწილობრივ არასწორი განცხადებები და ცნებები.
თანამედროვე მეცნიერებაში ამ მეთოდმა დაკარგა აბსტრაქტულობა. ევკლიდეს გეომეტრიული აქსიომატიზაცია ეფუძნებოდა ინტუიციურ და ჭეშმარიტ წინადადებებს. და თეორია იქნა განმარტებული უნიკალური, ბუნებრივი გზით. დღეს აქსიომა არის დებულება, რომელიც თავისთავად აშკარაა და შეთანხმება და ნებისმიერი შეთანხმება შეიძლება იყოს საწყისი კონცეფცია, რომელიც არ საჭიროებს დასაბუთებას. შედეგად, ორიგინალური მნიშვნელობები შეიძლება შორს იყოს აღწერისგან. ეს მეთოდი მოითხოვს კრეატიულობას, ურთიერთობების ცოდნას და საფუძვლიან თეორიას.
დასკვნის გამოტანის ძირითადი პრინციპები
დედუქციური აქსიომატური მეთოდი არის მეცნიერული ცოდნა, აგებული გარკვეული სქემის მიხედვით, რომელიც ეფუძნება სწორად რეალიზებულ ჰიპოთეზებს, ემპირიული ფაქტების შესახებ დებულებებს. ასეთი დასკვნა აგებულია ლოგიკური სტრუქტურების საფუძველზე, მყარი დერივაციით. აქსიომები თავდაპირველად უდაო განცხადებებია, რომლებიც არ საჭიროებს მტკიცებულებას.
დედუქციისას, გარკვეული მოთხოვნები გამოიყენება საწყის ცნებებზე: თანმიმდევრულობა, სისრულე, დამოუკიდებლობა. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, პირველი პირობა ეფუძნება ფორმალურ ლოგიკურ ცოდნას. ანუ თეორიას არ უნდა ჰქონდეს ჭეშმარიტების და სიცრუის მნიშვნელობა, რადგან მას აღარ ექნება მნიშვნელობა და ღირებულება.
თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილებულია, მაშინ იგი ითვლება შეუთავსებლად და მასში იკარგება რაიმე მნიშვნელობა, რადგან იკარგება სემანტიკური დატვირთვა სიმართლესა და სიცრუეს შორის. დედუქციურად, აქსიომური მეთოდი მეცნიერული ცოდნის აგებისა და დასაბუთების გზაა.
მეთოდის პრაქტიკული გამოყენება
მეცნიერული ცოდნის აგების აქსიომატიურ მეთოდს აქვს პრაქტიკული გამოყენება. ფაქტობრივად, ეს გზა გავლენას ახდენს და აქვს გლობალური მნიშვნელობა მათემატიკისთვის, თუმცა ამ ცოდნამ უკვე პიკს მიაღწია. აქსიომური მეთოდის მაგალითებია:
- აფინურ სიბრტყეებს აქვთ სამი განცხადება და განმარტება;
- ეკვივალენტობის თეორიას აქვს სამი მტკიცებულება;
- ორობითი ურთიერთობები იყოფა განმარტებების, ცნებების და დამატებითი სავარჯიშოების სისტემად.
თუ გსურთ ჩამოაყალიბოთ ორიგინალური მნიშვნელობა, თქვენ უნდა იცოდეთ კომპლექტებისა და ელემენტების ბუნება. არსებითად, აქსიომური მეთოდი საფუძვლად დაედო მეცნიერების სხვადასხვა დარგს.
