ერთი და რამდენიმე ცვლადის დიფერენციალური გამოთვლის ფუნქციები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

კალკულუსი არის გამოთვლის ფილიალი, რომელიც სწავლობს წარმოებულებს, დიფერენციალებს და მათ გამოყენებას ფუნქციის შესწავლაში.

გამოჩენის ისტორია

დიფერენციალური გაანგარიშება წარმოიშვა, როგორც დამოუკიდებელი დისციპლინა მე-17 საუკუნის მეორე ნახევარში, ნიუტონისა და ლაიბნიცის ნაშრომის წყალობით, რომლებმაც ჩამოაყალიბეს ძირითადი დებულებები დიფერენციალთა გამოთვლაში და შეამჩნიეს კავშირი ინტეგრაციასა და დიფერენციაციას შორის. იმ მომენტიდან მოყოლებული, დისციპლინა განვითარდა ინტეგრალების გაანგარიშებასთან ერთად, რითაც საფუძვლად დაედო მათემატიკური ანალიზის. ამ გამოთვლების გამოჩენამ მათემატიკური სამყაროს ახალი თანამედროვე პერიოდი გახსნა და მეცნიერებაში ახალი დისციპლინების გაჩენა გამოიწვია. მან ასევე გააფართოვა მათემატიკური მეცნიერების საბუნებისმეტყველო მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში გამოყენების შესაძლებლობა.

ძირითადი ცნებები

დიფერენციალური გამოთვლა ეფუძნება მათემატიკის ფუნდამენტურ ცნებებს. ესენია: რეალური რიცხვი, უწყვეტობა, ფუნქცია და ზღვარი. დროთა განმავლობაში მათ მიიღეს თანამედროვე სახე ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების წყალობით.

შექმნის პროცესი

დიფერენციალური გამოთვლების ფორმირება გამოყენებითი, შემდეგ კი მეცნიერული მეთოდით მოხდა ფილოსოფიური თეორიის გაჩენამდე, რომელიც შეიქმნა ნიკოლოზ კუზას მიერ. მისი ნამუშევრები განიხილება ევოლუციური განვითარება ანტიკური მეცნიერების განსჯებიდან. მიუხედავად იმისა, რომ თავად ფილოსოფოსი არ იყო მათემატიკოსი, მისი წვლილი მათემატიკური მეცნიერების განვითარებაში უდაოა. კუზანსკი ერთ-ერთი პირველი იყო, ვინც არითმეტიკას მეცნიერების ყველაზე ზუსტ დარგად განიხილა, რამაც ეჭვქვეშ დააყენა იმდროინდელი მათემატიკა.

ძველი მათემატიკოსები იყენებდნენ ერთეულს, როგორც უნივერსალურ კრიტერიუმს, ხოლო ფილოსოფოსმა შესთავაზა უსასრულობა, როგორც ახალი საზომი ზუსტი რიცხვის ნაცვლად. ამასთან დაკავშირებით, მათემატიკური მეცნიერებაში სიზუსტის წარმოდგენა ინვერსიულია. მეცნიერული ცოდნა, მისი თქმით, იყოფა რაციონალურ და ინტელექტუალურ. მეორე უფრო ზუსტია, მეცნიერის აზრით, რადგან პირველი იძლევა მხოლოდ სავარაუდო შედეგს.

იდეა

დიფერენციალური გამოთვლების მთავარი იდეა და კონცეფცია დაკავშირებულია გარკვეული წერტილების მცირე უბნების ფუნქციასთან. ამისათვის საჭიროა შეიქმნას მათემატიკური აპარატი ფუნქციის შესასწავლად, რომლის ქცევა დადგენილი წერტილების მცირე სამეზობლოში ახლოს არის მრავალწევრის ან წრფივი ფუნქციის ქცევასთან. ეს ეფუძნება წარმოებულისა და დიფერენციალის განმარტებას.

წარმოებულის ცნების გამოჩენა გამოწვეული იყო საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებისა და მათემატიკის პრობლემების დიდი რაოდენობით,რამაც გამოიწვია იმავე ტიპის ლიმიტების მნიშვნელობების პოვნა.

ერთ-ერთი მთავარი პრობლემა, რომელიც მაგალითისთვის არის მოყვანილი საშუალო სკოლიდან დაწყებული, არის სწორი ხაზის გასწვრივ მოძრავი წერტილის სიჩქარის დადგენა და ამ მრუდის ტანგენტის ხაზის აგება. დიფერენციალი დაკავშირებულია ამას, ვინაიდან შესაძლებელია ფუნქციის მიახლოება წრფივი ფუნქციის განხილული წერტილის მცირე სამეზობლოში.

რეალური ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის კონცეფციასთან შედარებით, დიფერენციალური განმარტება უბრალოდ გადადის ზოგადი ხასიათის ფუნქციაზე, კერძოდ, ერთი ევკლიდური სივრცის გამოსახულებაზე მეორეზე.

წარმოებული

მივეცი წერტილი მოძრაობდეს Oy ღერძის მიმართულებით, იმ დროისთვის, რომელსაც ვიღებთ x, რომელიც დათვლილია მომენტის გარკვეული დასაწყისიდან. ასეთი მოძრაობა შეიძლება აღიწეროს y=f(x) ფუნქციით, რომელიც ენიჭება გადაადგილებული წერტილის კოორდინატის x ყოველ მომენტს. მექანიკაში ამ ფუნქციას მოძრაობის კანონს უწოდებენ. მოძრაობის მთავარი მახასიათებელი, განსაკუთრებით არათანაბარი, არის მყისიერი სიჩქარე. როდესაც წერტილი მოძრაობს Oy ღერძის გასწვრივ მექანიკის კანონის მიხედვით, მაშინ შემთხვევითი დროის მომენტში x იძენს კოორდინატს f (x). დროის მომენტში x + Δx, სადაც Δx აღნიშნავს დროის ნამატს, მისი კოორდინატი იქნება f(x + Δx). ასე იქმნება ფორმულა Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), რომელსაც ფუნქციის ზრდა ეწოდება. ის წარმოადგენს გზას, რომელიც გავლილია დროის წერტილის მიერ x-დან x-მდე + Δx.

ამის გაჩენის გამოსიჩქარე დროს, წარმოებული შემოტანილია. თვითნებურ ფუნქციაში, წარმოებულს ფიქსირებულ წერტილში ეწოდება ლიმიტი (დაშვებით, რომ ის არსებობს). ის შეიძლება აღინიშნოს გარკვეული სიმბოლოებით:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

წარმოებულის გამოთვლის პროცესს ეწოდება დიფერენციაცია.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა

ეს გაანგარიშების მეთოდი გამოიყენება რამდენიმე ცვლადის მქონე ფუნქციის შემოწმებისას. ორი ცვლადის x და y თანდასწრებით, ნაწილობრივ წარმოებულს x-ის მიმართ A წერტილში ეწოდება ამ ფუნქციის წარმოებული x-სთან მიმართებაში ფიქსირებული y.

შეიძლება იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სიმბოლოებით:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x ან ∂f(x, y)'/∂x.

საჭირო უნარები

ინტეგრაციისა და დიფერენციაციის უნარებია საჭირო იმისათვის, რომ წარმატებით შეისწავლოთ და შეძლოთ დიფუზების ამოხსნა. დიფერენციალური განტოლებების გასაადვილებლად, კარგად უნდა გესმოდეთ წარმოებულისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალის თემა. ასევე არ არის მტკივნეული იმის სწავლა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ინტეგრალების შესწავლის პროცესში ხშირად საჭირო იქნება დიფერენციაციის გამოყენება.

დიფერენციალური განტოლების ტიპები

პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებასთან დაკავშირებული თითქმის ყველა ტესტის ნაშრომში არის 3 ტიპის განტოლება: ერთგვაროვანი, განცალკევებული ცვლადებით, წრფივი არაერთგვაროვანი.

ასევე არსებობს განტოლებების უფრო იშვიათი სახეობები: საერთო დიფერენციალებით, ბერნულის განტოლებები და სხვა.

გადაწყვეტილების საფუძვლები

პირველ რიგში, უნდა გახსოვდეთ ალგებრული განტოლებები სკოლის კურსიდან. ისინი შეიცავს ცვლადებს და რიცხვებს. ჩვეულებრივი განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების ნაკრები, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ პირობას. როგორც წესი, ასეთ განტოლებებს ერთი ფესვი ჰქონდა და სისწორის შესამოწმებლად მხოლოდ ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება იყო უცნობი.

დიფერენციალური განტოლება ამის მსგავსია. ზოგადად, ასეთი პირველი რიგის განტოლება მოიცავს:

• დამოუკიდებელი ცვლადი.
• პირველი ფუნქციის წარმოებული.
• ფუნქცია ან დამოკიდებული ცვლადი.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ერთ-ერთი უცნობი, x ან y, შეიძლება აკლდეს, მაგრამ ეს არც ისე მნიშვნელოვანია, რადგან პირველი წარმოებულის არსებობა, უმაღლესი რიგის წარმოებულების გარეშე, აუცილებელია ამოხსნისთვის და დიფერენციალისთვის. გაანგარიშება იყოს სწორი.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მოცემულ გამოსახულებას შესაბამისი ყველა ფუნქციის სიმრავლის პოვნას. ფუნქციების ასეთ სიმრავლეს ხშირად უწოდებენ DE-ს ზოგად ამოხსნას.

ინტეგრალური გამოთვლა

ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი განყოფილება, რომელიც სწავლობს ინტეგრალის კონცეფციას, თვისებებსა და მეთოდებს მისი გამოთვლის.

ხშირად, ინტეგრალის გამოთვლა ხდება მრუდი ფიგურის ფართობის გაანგარიშებისას. ეს ფართობი ნიშნავს ზღვარს, რომლისკენაც მიდის მოცემულ ფიგურაში ჩაწერილი მრავალკუთხედის ფართობი მისი გვერდის თანდათანობითი ზრდით, მაშინ როცა ეს გვერდები შეიძლება იყოს უფრო ნაკლები ვიდრე ადრე მითითებულ თვითნებურად.მცირე მნიშვნელობა.

თვითნებური გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოთვლის მთავარი იდეა არის მართკუთხედის ფართობის გამოთვლა, ანუ იმის დამტკიცება, რომ მისი ფართობი უდრის სიგრძისა და სიგანის ნამრავლს. რაც შეეხება გეომეტრიას, ყველა კონსტრუქცია მზადდება სახაზავისა და კომპასის გამოყენებით, შემდეგ კი სიგრძისა და სიგანის თანაფარდობა რაციონალური მნიშვნელობაა. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლისას შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ თუ მის გვერდით იმავე სამკუთხედს დააყენებთ, მაშინ იქმნება მართკუთხედი. პარალელოგრამში ფართობი გამოითვლება მსგავსი, მაგრამ ოდნავ უფრო რთული მეთოდით, მართკუთხედისა და სამკუთხედის მეშვეობით. მრავალკუთხედებში ფართობი გამოითვლება მასში შემავალი სამკუთხედების მეშვეობით.

ნებისმიერი მრუდის დაზოგვის განსაზღვრისას, ეს მეთოდი არ იმუშავებს. თუ მას ერთ კვადრატებად დაყოფთ, მაშინ იქნება შეუვსებელი ადგილები. ამ შემთხვევაში, ადამიანი ცდილობს გამოიყენოს ორი საფარი, ზემოდან და ქვედაზე მართკუთხედებით, შედეგად, ისინი მოიცავს ფუნქციის გრაფიკს და არა. ამ მართკუთხედებად დაყოფის მეთოდი აქ მნიშვნელოვანია. ასევე, თუ ავიღებთ სულ უფრო მცირე დანაყოფებს, მაშინ ზემოთ და ქვემოთ ფართობი უნდა გადაიზარდოს გარკვეულ მნიშვნელობაზე.

ეს უნდა დაუბრუნდეს მართკუთხედებად დაყოფის მეთოდს. არსებობს ორი პოპულარული მეთოდი.

რიმანმა დააფორმა ლაიბნიცისა და ნიუტონის მიერ შექმნილი ინტეგრალის განმარტება, როგორც ქვეგრაფის ფართობი. ამ შემთხვევაში განიხილებოდა ფიგურები, რომლებიც შედგებოდა გარკვეული რაოდენობის ვერტიკალური მართკუთხედებისგან და მიღებული იყო გაყოფით.სეგმენტი. როდესაც დანაყოფი მცირდება, არსებობს ზღვარი, რომელზეც მცირდება მსგავსი ფიგურის ფართობი, ამ ზღვარს ეწოდება ფუნქციის რიმანის ინტეგრალი მოცემულ ინტერვალზე.

მეორე მეთოდი არის ლებეგის ინტეგრალის აგება, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ განსაზღვრული ფართობის ინტეგრატის ნაწილებად დაყოფის ადგილისთვის და შემდეგ ამ ნაწილებში მიღებული მნიშვნელობებიდან ინტეგრალური ჯამის შედგენა მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი იყოფა ინტერვალებად და შემდეგ შეჯამებულია ამ ინტეგრალების პრეგამოსახულებების შესაბამისი ზომებით.

თანამედროვე სარგებელი

დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების შესწავლის ერთ-ერთი მთავარი სახელმძღვანელო დაწერა ფიხტენგოლცმა - „დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი“. მისი სახელმძღვანელო არის ფუნდამენტური გზამკვლევი მათემატიკური ანალიზის შესასწავლად, რომელმაც გაიარა მრავალი გამოცემა და თარგმანი სხვა ენებზე. შექმნილია უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის და დიდი ხანია გამოიყენება მრავალ საგანმანათლებლო დაწესებულებაში, როგორც ერთ-ერთი მთავარი სასწავლო დამხმარე საშუალება. იძლევა თეორიულ მონაცემებს და პრაქტიკულ უნარებს. პირველად გამოქვეყნდა 1948 წელს.

ფუნქციის კვლევის ალგორითმი

ფუნქციის გამოსაკვლევად დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდების გამოყენებით, თქვენ უნდა მიჰყვეთ უკვე მოცემულ ალგორითმს:

1. იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები.
2. იპოვეთ მოცემული განტოლების ფესვები.
3. გამოთვალეთ უკიდურესობები. ამისათვის გამოთვალეთ წარმოებული და წერტილები, სადაც ის უდრის ნულს.
4. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა განტოლებაში.

დიფერენციალური განტოლებების ჯიშები

პირველი რიგის კონტროლი (წინააღმდეგ შემთხვევაში, დიფერენციალურიერთი ცვლადის გამოთვლა) და მათი ტიპები:

• გამყოფი განტოლება: f(y)dy=g(x)dx.
• უმარტივესი განტოლებები ან ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა, რომელსაც აქვს ფორმულა: y'=f(x).
• წრფივი არაერთგვაროვანი პირველი რიგის DE: y'+P(x)y=Q(x).
• ბერნულის დიფერენციალური განტოლება: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• განტოლება ჯამური დიფერენციალებით: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები და მათი ტიპები:

• წრფივი მეორე რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტის მნიშვნელობებით: y +py'+qy=0 p, q ეკუთვნის R.
• წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით: y +py'+qy=f(x).
• წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება: y +p(x)y'+q(x)y=0 და არაერთგვაროვანი მეორე რიგის განტოლება: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

უფრო მაღალი რიგის დიფერენციალური განტოლებები და მათი ტიპები:

• დიფერენციალური განტოლება, რომელიც შეიძლება შემცირდეს თანმიმდევრობით: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• წრფივი უმაღლესი რიგის ჰომოგენური განტოლება: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, და არაერთგვაროვანი: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

ნაბიჯები დიფერენციალური განტოლებით ამოცანის ამოხსნისას

დისტანციური მართვის საშუალებით წყდება არა მხოლოდ მათემატიკური თუ ფიზიკური კითხვები, არამედ სხვადასხვა ამოცანები.ბიოლოგია, ეკონომიკა, სოციოლოგია და ა.შ. თემების მრავალფეროვნების მიუხედავად, ასეთი ამოცანების გადაჭრისას უნდა დავიცვათ ერთი ლოგიკური თანმიმდევრობა:

1. დისტანციური მართვის კომპილაცია. ერთ-ერთი ყველაზე რთული ნაბიჯი, რომელიც მოითხოვს მაქსიმალურ სიზუსტეს, ვინაიდან ნებისმიერი შეცდომა გამოიწვევს სრულიად არასწორ შედეგებს. მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ყველა ფაქტორი, რომელიც გავლენას ახდენს პროცესზე და განისაზღვროს საწყისი პირობები. ის ასევე უნდა ეფუძნებოდეს ფაქტებსა და ლოგიკურ დასკვნებს.
2. ფორმულირებული განტოლების ამოხსნა. ეს პროცესი უფრო მარტივია ვიდრე პირველი ნაბიჯი, რადგან ის მოითხოვს მხოლოდ მკაცრ მათემატიკურ გამოთვლებს.
3. შედეგების ანალიზი და შეფასება. მიღებული ამოხსნა უნდა შეფასდეს, რათა დადგინდეს შედეგის პრაქტიკული და თეორიული მნიშვნელობა.

დიფერენციალური განტოლებების გამოყენების მაგალითი მედიცინაში

დისტანციური მართვის გამოყენება მედიცინის სფეროში ხდება ეპიდემიოლოგიური მათემატიკური მოდელის აგებისას. ამასთან, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს განტოლებები გვხვდება მედიცინასთან ახლოს მყოფ ბიოლოგიასა და ქიმიაშიც, რადგან მასში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ადამიანის ორგანიზმში არსებული სხვადასხვა ბიოლოგიური პოპულაციისა და ქიმიური პროცესების შესწავლა..

ეპიდემიის ზემოთ მოყვანილ მაგალითში შეგვიძლია განვიხილოთ ინფექციის გავრცელება იზოლირებულ საზოგადოებაში. მოსახლეობა იყოფა სამ ტიპად:

• ინფიცირებული, ნომერი x(t), შედგება ინდივიდებისგან, ინფექციის მატარებლებისაგან, რომელთაგან თითოეული გადამდებია (ინკუბაციური პერიოდი ხანმოკლეა).
• მეორე ტიპი მოიცავსმგრძნობიარე ინდივიდები y(t), რომლებსაც შეუძლიათ დაინფიცირდნენ ინფიცირებულ პირებთან კონტაქტით.
• მესამე სახეობა მოიცავს იმუნურ ინდივიდებს z(t), რომლებიც იმუნური არიან ან გარდაიცვალნენ დაავადების გამო.

ადამიანთა რაოდენობა მუდმივია, შობადობის, ბუნებრივი სიკვდილის და მიგრაციის აღრიცხვა არ არის გათვალისწინებული. ბირთვში ორი ჰიპოთეზა იქნება.

დაავადების პროცენტი გარკვეულ დროში არის x(t)y(t) (თეორიაზე დაყრდნობით, რომ შემთხვევების რაოდენობა პროპორციულია ავადმყოფსა და მგრძნობიარე წარმომადგენლებს შორის კვეთების რაოდენობაზე, რაც პირველში დაახლოება იქნება x(t)y(t)-ის პროპორციული), ამასთან დაკავშირებით შემთხვევების რაოდენობა იზრდება და მგრძნობიარე კლებათა რაოდენობა იმ სიჩქარით, რომელიც გამოითვლება ფორმულით ax(t)y(t) (a > 0).

იმუნური ინდივიდების რიცხვი, რომლებიც გახდნენ იმუნური ან გარდაიცვალნენ, იზრდება შემთხვევების რაოდენობის პროპორციული სიჩქარით, bx(t) (b > 0).

შედეგად, სამივე ინდიკატორის გათვალისწინებით შეგიძლიათ შექმნათ განტოლებათა სისტემა და მასზე დაყრდნობით გამოიტანოთ დასკვნები.

ეკონომიკის მაგალითი

დიფერენციალური გაანგარიშება ხშირად გამოიყენება ეკონომიკურ ანალიზში. ეკონომიკურ ანალიზში მთავარი ამოცანაა ეკონომიკიდან მიღებული რაოდენობების შესწავლა, რომლებიც იწერება ფუნქციის სახით. ეს გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას, როგორიცაა შემოსავლის ცვლილება გადასახადების გაზრდისთანავე, გადასახადების შემოღება, კომპანიის შემოსავლის ცვლილება, როდესაც იცვლება წარმოების ღირებულება, რა პროპორციით შეიძლება პენსიაზე გასული მუშების შეცვლა ახალი აღჭურვილობით. ასეთი საკითხების გადასაჭრელად აუცილებელიაშექმენით კავშირის ფუნქცია შეყვანის ცვლადებიდან, რომლებიც შემდეგ შეისწავლება დიფერენციალური გამოთვლების გამოყენებით.

ეკონომიკურ სფეროში ხშირად საჭიროა ყველაზე ოპტიმალური მაჩვენებლების პოვნა: შრომის მაქსიმალური პროდუქტიულობა, უმაღლესი შემოსავალი, ყველაზე დაბალი ხარჯები და ა.შ. თითოეული ასეთი მაჩვენებელი არის ერთი ან რამდენიმე არგუმენტის ფუნქცია. მაგალითად, წარმოება შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც შრომისა და კაპიტალის შეტანის ფუნქცია. ამასთან დაკავშირებით, შესაფერისი მნიშვნელობის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ფუნქციის მაქსიმუმის ან მინიმუმის პოვნამდე ერთი ან მეტი ცვლადიდან.

ასეთი პრობლემები ქმნის ექსტრემალური პრობლემების კლასს ეკონომიკურ სფეროში, რომელთა გადაწყვეტა მოითხოვს დიფერენციალურ გაანგარიშებას. როდესაც ეკონომიკური ინდიკატორის მინიმიზაცია ან მაქსიმიზაცია სჭირდება სხვა ინდიკატორის ფუნქციით, მაშინ მაქსიმუმის წერტილში, ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტებთან ნულისკენ მიისწრაფვის, თუ არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც ასეთი თანაფარდობა მიდრეკილია რაიმე დადებით ან უარყოფით მნიშვნელობამდე, მითითებული წერტილი არ არის შესაფერისი, რადგან არგუმენტის გაზრდით ან შემცირებით შეგიძლიათ შეცვალოთ დამოკიდებული მნიშვნელობა საჭირო მიმართულებით. დიფერენციალური გამოთვლების ტერმინოლოგიაში ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მაქსიმუმის აუცილებელი პირობაა მისი წარმოებულის ნულოვანი მნიშვნელობა.

ეკონომიკაში ხშირად არის რამდენიმე ცვლადის მქონე ფუნქციის ექსტრემის პოვნის პრობლემები, რადგან ეკონომიკური ინდიკატორები მრავალი ფაქტორისგან შედგება. ასეთი კითხვები კარგია.შესწავლილია რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების თეორიაში, დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდების გამოყენებით. ასეთი პრობლემები მოიცავს არა მხოლოდ მაქსიმალურ და მინიმუმამდე დაყვანილ ფუნქციებს, არამედ შეზღუდვებსაც. ასეთი კითხვები მათემატიკურ პროგრამირებას უკავშირდება და ისინი წყდება სპეციალურად შემუშავებული მეთოდების დახმარებით, ასევე მეცნიერების ამ დარგზე დაყრდნობით.

ეკონომიკაში გამოყენებული დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდებს შორის მნიშვნელოვანი ნაწილია ზღვრული ანალიზი. ეკონომიკურ სფეროში ეს ტერმინი ეხება ცვლადი ინდიკატორებისა და შედეგების შესწავლის მეთოდების ერთობლიობას შექმნის, მოხმარების მოცულობის შეცვლისას, მათი ზღვრული ინდიკატორების ანალიზის საფუძველზე. შემზღუდველი მაჩვენებელი არის წარმოებული ან ნაწილობრივი წარმოებული რამდენიმე ცვლადით.

რამდენიმე ცვლადის დიფერენციალური გაანგარიშება მნიშვნელოვანი თემაა მათემატიკური ანალიზის სფეროში. დეტალური შესწავლისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ უმაღლესი განათლების სხვადასხვა სახელმძღვანელო. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი შექმნა ფიხტენგოლცმა - "დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი". როგორც სახელი გულისხმობს, ინტეგრალებთან მუშაობის უნარს დიდი მნიშვნელობა აქვს დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისთვის. როდესაც ხდება ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა, ამოხსნა უფრო მარტივი ხდება. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ იგი ექვემდებარება იმავე ძირითად წესებს. დიფერენციალური გამოთვლებით ფუნქციის პრაქტიკაში შესასწავლად საკმარისია მიჰყვეთ უკვე არსებულ ალგორითმს, რომელიც მოცემულია საშუალო სკოლაში და მხოლოდ ოდნავ გართულებულია ახლის დანერგვისას.ცვლადები.