ალბათობის თეორია მათემატიკის განსაკუთრებული დარგია, რომელსაც მხოლოდ უმაღლესი სასწავლებლების სტუდენტები სწავლობენ. გიყვართ გამოთვლები და ფორმულები? არ გეშინიათ ნორმალური განაწილების, ანსამბლის ენტროპიის, მათემატიკური მოლოდინისა და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის გაცნობის პერსპექტივის? მაშინ ეს თემა ძალიან საინტერესო იქნება თქვენთვის. მოდით გავეცნოთ მეცნიერების ამ მონაკვეთის რამდენიმე ყველაზე მნიშვნელოვან ძირითად კონცეფციას.
გაიხსენეთ საფუძვლები
მაშინაც კი, თუ გახსოვთ ალბათობის თეორიის უმარტივესი ცნებები, არ უგულებელყოთ სტატიის პირველი აბზაცები. ფაქტია, რომ საფუძვლების მკაფიო გაგების გარეშე, თქვენ ვერ შეძლებთ იმუშაოთ ქვემოთ განხილულ ფორმულებთან.
ასე რომ, არის რაღაც შემთხვევითი მოვლენა, გარკვეული ექსპერიმენტი. განხორციელებული ქმედებების შედეგად შეიძლება მივიღოთ რამდენიმე შედეგი - ზოგიერთი მათგანი უფრო ხშირია, ზოგი ნაკლებად გავრცელებული. მოვლენის ალბათობა არის ერთი ტიპის რეალურად მიღებული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან. მხოლოდ ამ კონცეფციის კლასიკური განმარტების ცოდნით, შეგიძლიათ დაიწყოთ მათემატიკური მოლოდინისა და უწყვეტის დისპერსიის შესწავლა.შემთხვევითი ცვლადები.
საშუალო არითმეტიკული
თუნდაც სკოლაში, მათემატიკის გაკვეთილებზე დაიწყეთ საშუალო არითმეტიკით მუშაობა. ეს კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ალბათობის თეორიაში და ამიტომ მისი იგნორირება არ შეიძლება. ჩვენთვის ამ მომენტში მთავარი ის არის, რომ მას შევხვდებით შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის ფორმულებში.
გვაქვს რიცხვების თანმიმდევრობა და გვინდა ვიპოვოთ საშუალო არითმეტიკული. ყველაფერი რაც ჩვენგან გვჭირდება არის შევაჯამოთ ყველაფერი ხელმისაწვდომი და გავყოთ თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე. გვქონდეს რიცხვები 1-დან 9-მდე. ელემენტების ჯამი იქნება 45 და ამ მნიშვნელობას გავყოფთ 9-ზე. პასუხი: - 5.
დისპერსია
მეცნიერულად რომ ვთქვათ, ვარიაცია არის მიღებული მახასიათებლის მნიშვნელობების არითმეტიკული საშუალოდან გადახრების საშუალო კვადრატი. ერთი აღინიშნება დიდი ლათინური ასო D. რა არის საჭირო მის გამოსათვლელად? მიმდევრობის თითოეული ელემენტისთვის ჩვენ ვიანგარიშებთ განსხვავებას ხელმისაწვდომ რიცხვსა და საშუალო არითმეტიკას შორის და კვადრატში. იქნება ზუსტად იმდენი მნიშვნელობა, რამდენიც შეიძლება იყოს შედეგი იმ მოვლენისთვის, რომელსაც განვიხილავთ. შემდეგი, ჩვენ ვაჯამებთ ყველაფერს, რაც მიიღება და ვყოფთ თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე. თუ გვაქვს ხუთი შესაძლო შედეგი, მაშინ გავყოთ ხუთზე.
დისპერსიას ასევე აქვს თვისებები, რომლებიც უნდა გახსოვდეთ იმისათვის, რომ გამოიყენოთ იგი პრობლემების გადაჭრისას. მაგალითად, თუ შემთხვევითი ცვლადი გაიზარდა X-ჯერ, დისპერსია იზრდება X-ჯერ კვადრატზე (ე.ი. XX). ის არასოდეს არის ნულზე ნაკლები და არ არის დამოკიდებულიმნიშვნელობების გადატანა თანაბარი მნიშვნელობით ზემოთ ან ქვემოთ. ასევე, დამოუკიდებელი ცდებისთვის, ჯამის დისპერსია უდრის დისპერსიების ჯამს.
ახლა აუცილებლად უნდა განვიხილოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისკრეციის მაგალითები და მათემატიკური მოლოდინი.
დავუშვათ, რომ ჩავატარეთ 21 ექსპერიმენტი და მივიღეთ 7 განსხვავებული შედეგი. თითოეულ მათგანს დავაკვირდით, შესაბამისად, 1, 2, 2, 3, 4, 4 და 5-ჯერ. რა იქნება განსხვავება?
პირველ რიგში, მოდით გამოვთვალოთ საშუალო არითმეტიკული: ელემენტების ჯამი, რა თქმა უნდა, არის 21. გავყოთ 7-ზე და მივიღოთ 3. ახლა გამოვაკლოთ 3 თავდაპირველი მიმდევრობის თითოეულ რიცხვს, კვადრატში ვამატოთ შედეგები ერთად. გამოდის 12. ახლა ჩვენთვის რჩება რიცხვი გავყოთ ელემენტების რაოდენობაზე და, როგორც ჩანს, სულ ესაა. მაგრამ არის დაჭერა! მოდით ვისაუბროთ.
დამოკიდებულება ექსპერიმენტების რაოდენობაზე
გამოდის, რომ დისპერსიის გამოთვლისას მნიშვნელი შეიძლება იყოს ორი რიცხვიდან ერთი: ან N ან N-1. აქ N არის შესრულებული ექსპერიმენტების რაოდენობა ან ელემენტების რაოდენობა მიმდევრობაში (რაც, ფაქტობრივად, იგივეა). რაზეა ეს დამოკიდებული?
თუ ტესტების რაოდენობა ასობით არის გაზომილი, მაშინ მნიშვნელში N უნდა ჩავდოთ, თუ ერთეულებში, მაშინ N-1. მეცნიერებმა გადაწყვიტეს საზღვრის დახაზვა საკმაოდ სიმბოლურად: დღეს ის გადის 30 რიცხვზე. თუ 30-ზე ნაკლები ექსპერიმენტი ჩავატარეთ, მაშინ რაოდენობას გავყოფთ N-1-ზე, ხოლო თუ მეტია, მაშინ N-ზე.
-ზე.
ამოცანა
მოდით დავუბრუნდეთ დისპერსიისა და მოლოდინის პრობლემის გადაჭრის ჩვენს მაგალითს. ჩვენმიიღო შუალედური რიცხვი 12, რომელიც უნდა გაიყო N-ზე ან N-1-ზე. ვინაიდან ჩავატარეთ 21 ექსპერიმენტი, რაც 30-ზე ნაკლებია, მეორე ვარიანტს ავირჩევთ. ასე რომ, პასუხი არის: ვარიაცია არის 12/2=2.
მოლოდინი
გადავიდეთ მეორე კონცეფციაზე, რომელიც ამ სტატიაში უნდა განვიხილოთ. მათემატიკური მოლოდინი არის ყველა შესაძლო შედეგის დამატების შედეგი, გამრავლებული შესაბამის ალბათობებზე. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ მიღებული მნიშვნელობა, ისევე როგორც დისპერსიის გამოთვლის შედეგი, მიიღება მხოლოდ ერთხელ მთელი ამოცანისთვის, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენ შედეგს ითვალისწინებს იგი.
მოლოდინის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: ვიღებთ შედეგს, ვამრავლებთ მის ალბათობაზე, იმავეს ვამატებთ მეორე, მესამე შედეგს და ა.შ. ყველაფერი, რაც ამ კონცეფციასთან არის დაკავშირებული, ადვილი გამოსათვლელია. მაგალითად, მათემატიკური მოლოდინების ჯამი უდრის ჯამის მათემატიკურ მოლოდინს. იგივე ეხება სამუშაოს. ალბათობის თეორიაში ყველა სიდიდე არ იძლევა ასეთი მარტივი ოპერაციების შესრულების საშუალებას. ავიღოთ დავალება და გამოვთვალოთ ერთდროულად შესწავლილი ორი ცნების მნიშვნელობა. გარდა ამისა, თეორიამ გაგვაფანტა - პრაქტიკის დროა.
კიდევ ერთი მაგალითი
ჩვენ ჩავატარეთ 50 საცდელი და მივიღეთ 10 სახის შედეგი - რიცხვები 0-დან 9-მდე - სხვადასხვა პროცენტულად გამოჩენილი. ესენია, შესაბამისად: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. შეგახსენებთ, რომ ალბათობების მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ პროცენტული მნიშვნელობები 100-ზე. ამრიგად, მივიღებთ 0.02; 0, 1 და ა.შ. მოდით წარმოვადგენთ შემთხვევითობის დისპერსიასმნიშვნელობა და მათემატიკური მოლოდინის მაგალითი ამოცანის ამოხსნის.
გამოთვალეთ საშუალო არითმეტიკული ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გვახსოვს დაწყებითი სკოლიდან: 50/10=5.
ახლა გადავთარგმნოთ ალბათობები შედეგების რაოდენობად "ნაწილებად", რათა გაადვილდეს დათვლა. ვიღებთ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 და 9. თითოეულ მიღებულ მნიშვნელობას გამოვაკლებთ საშუალო არითმეტიკულს, რის შემდეგაც თითოეულ მიღებულ შედეგს კვადრატში ვაქცევთ. ნახეთ, როგორ გააკეთოთ ეს პირველი ელემენტის მაგალითის გამოყენებით: 1 - 5=(-4). შემდგომი: (-4)(-4)=16. სხვა მნიშვნელობებისთვის ეს ოპერაციები თავად გააკეთეთ. თუ ყველაფერი სწორად გააკეთეთ, მაშინ ყველა შუალედური შედეგის დამატების შემდეგ მიიღებთ 90-ს.
გააგრძელეთ დისპერსიისა და საშუალოს გამოთვლა 90-ის N-ზე გაყოფით. რატომ ავირჩიოთ N და არა N-1? ასეა, რადგან ჩატარებული ექსპერიმენტების რაოდენობა აღემატება 30-ს. ასე რომ: 90/10=9. მივიღეთ დისპერსია. თუ სხვა ნომერს მიიღებთ, არ დაიდარდოთ. სავარაუდოდ, თქვენ დაუშვით ბანალური შეცდომა გამოთვლებში. გადაამოწმე რაც დაწერე და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება.
და ბოლოს, გავიხსენოთ მოლოდინის ფორმულა. ჩვენ არ მივცემთ ყველა გამოთვლას, ჩვენ მხოლოდ დავწერთ პასუხს, რომლითაც შეგიძლიათ შეამოწმოთ ყველა საჭირო პროცედურის დასრულების შემდეგ. მოლოდინი იქნება 5-ის ტოლი, 48. ჩვენ მხოლოდ ვიხსენებთ, თუ როგორ უნდა განვახორციელოთ ოპერაციები პირველი ელემენტების მაგალითზე: 00, 02 + 10, 1… და ა.შ. როგორც ხედავთ, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებთ შედეგის მნიშვნელობას მის ალბათობაზე.
გადახრა
სხვა კონცეფცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული დისპერსიასთან და მოსალოდნელ მნიშვნელობასთანსტანდარტული გადახრა. იგი აღინიშნება ან ლათინური ასოებით sd, ან ბერძნული მცირე ასოებით "სიგმა". ეს კონცეფცია გვიჩვენებს, თუ როგორ გადახრის საშუალოდ მნიშვნელობები ცენტრალური მახასიათებლიდან. მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისპერსიის კვადრატული ფესვი.
თუ თქვენ შექმნით ნორმალური განაწილების გრაფიკს და გსურთ ნახოთ სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა პირდაპირ მასზე, ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე ეტაპად. აიღეთ გამოსახულების ნახევარი რეჟიმის მარცხნივ ან მარჯვნივ (ცენტრალური მნიშვნელობა), დახაზეთ ჰორიზონტალური ღერძის პერპენდიკულარული ისე, რომ მიღებული ფიგურების არეები თანაბარი იყოს. სეგმენტის მნიშვნელობა განაწილების შუასა და ჰორიზონტალურ ღერძზე მიღებულ პროექციას შორის იქნება სტანდარტული გადახრა.
პროგრამული
როგორც ფორმულების აღწერილობიდან და წარმოდგენილი მაგალითებიდან ხედავთ, დისპერსიის და მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლა არითმეტიკული თვალსაზრისით უმარტივესი პროცედურა არ არის. იმისთვის, რომ დრო არ დავკარგოთ, აზრი აქვს უმაღლეს სასწავლებლებში გამოყენებული პროგრამის გამოყენებას – მას „რ“ჰქვია. მას აქვს ფუნქციები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მნიშვნელობები მრავალი კონცეფციისთვის სტატისტიკიდან და ალბათობის თეორიიდან.
მაგალითად, თქვენ განსაზღვრავთ მნიშვნელობების ვექტორს. ეს კეთდება შემდეგნაირად: ვექტორი <-c(1, 5, 2…). ახლა, როდესაც ამ ვექტორისთვის გარკვეული მნიშვნელობების გამოთვლა გჭირდებათ, წერთ ფუნქციას და აძლევთ მას არგუმენტად. დისპერსიის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ var. მისი მაგალითიგამოყენება: var(ვექტორი). შემდეგ უბრალოდ დააჭირეთ "enter"-ს და მიიღებთ შედეგს.
დასკვნაში
ვარიანტობა და მათემატიკური მოლოდინი ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებებია, რომელთა გარეშეც ძნელია რაიმეს გამოთვლა მომავალში. უნივერსიტეტებში ლექციების ძირითად კურსში ისინი განიხილება საგნის შესწავლის უკვე პირველ თვეებში. სწორედ ამ მარტივი ცნებების გაუგებრობისა და მათი გამოთვლის შეუძლებლობის გამო, ბევრი სტუდენტი დაუყოვნებლივ იწყებს პროგრამის ჩამორჩენას და მოგვიანებით სესიის ბოლოს იღებს ცუდ შეფასებებს, რაც მათ ართმევს სტიპენდიას.
ივარჯიშეთ მინიმუმ ერთი კვირა დღეში ნახევარი საათის განმავლობაში, ამ სტატიაში წარმოდგენილი პრობლემების გადაჭრით. შემდეგ ალბათობის თეორიის ნებისმიერ ტესტზე თქვენ გაუმკლავდებით მაგალითებს ზედმეტი რჩევებისა და თაღლითობის ფურცლების გარეშე.
