მათემატიკაში შებრუნებული ფუნქციები ურთიერთშესაბამისი გამონათქვამებია, რომლებიც ერთმანეთში იქცევიან. იმის გასაგებად, თუ რას ნიშნავს ეს, ღირს კონკრეტული მაგალითის გათვალისწინება. ვთქვათ, გვაქვს y=cos(x). თუ არგუმენტიდან ავიღებთ კოსინუსს, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ y-ის მნიშვნელობა. ცხადია, ამისათვის თქვენ უნდა გქონდეთ x. მაგრამ რა მოხდება, თუ მოთამაშეს თავდაპირველად მიეცემა? სწორედ აქ ხვდება საკითხის არსს. პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა შებრუნებული ფუნქციის გამოყენება. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის რკალის კოსინუსი.
ყველა გარდაქმნის შემდეგ მივიღებთ: x=arccos(y).
ანუ მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის საპოვნელად საკმარისია მხოლოდ მისგან არგუმენტის გამოხატვა. მაგრამ ეს მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შედეგს ექნება ერთი მნიშვნელობა (დაწვრილებით ამის შესახებ მოგვიანებით).
ზოგადად, ეს ფაქტი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: f(x)=y, g(y)=x.
განმარტება
მოვცეთ f ფუნქცია, რომლის დომენი არის X სიმრავლე დამნიშვნელობების დიაპაზონი არის Y ნაკრები. შემდეგ, თუ არსებობს g, რომლის დომენები ასრულებენ საპირისპირო ამოცანებს, მაშინ f არის შექცევადი.
თანაც, ამ შემთხვევაში g უნიკალურია, რაც ნიშნავს, რომ არის ზუსტად ერთი ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს ამ თვისებას (არც მეტი, არც ნაკლები). მაშინ მას უწოდებენ შებრუნებულ ფუნქციას და წერილობით აღინიშნება შემდეგნაირად: g(x)=f -1(x).
სხვა სიტყვებით, ისინი შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ორობითი მიმართება. შექცევადობა ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ნაკრების ერთი ელემენტი შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას მეორისგან.
ყოველთვის არ არის შებრუნებული ფუნქცია. ამისთვის ყოველი ელემენტი y є Y უნდა შეესაბამებოდეს მაქსიმუმ ერთ x є X-ს. შემდეგ f ეწოდება ერთი-ერთ-ერთს ან ინექცია. თუ f -1 ეკუთვნის Y-ს, მაშინ ამ სიმრავლის თითოეული ელემენტი უნდა შეესაბამებოდეს რაღაც x ∈ X-ს. ამ თვისების მქონე ფუნქციებს ეწოდება სჯული. ის განსაზღვრავს თუ Y არის f გამოსახულება, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის. შებრუნებული რომ იყოს, ფუნქცია უნდა იყოს ინექციაც და ზემოქმედებაც. ასეთ გამონათქვამებს ბიექციები ეწოდება.
მაგალითი: კვადრატული და ფესვის ფუნქციები
ფუნქცია განსაზღვრულია [0, ∞)-ზე და მოცემულია ფორმულით f (x)=x2.
მაშინ ეს არ არის ინექციური, რადგან ყველა შესაძლო შედეგი Y (0-ის გარდა) შეესაბამება ორ განსხვავებულ X-ს - ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი, ამიტომ ის არ არის შექცევადი. ამ შემთხვევაში შეუძლებელი იქნება მიღებულიდან საწყისი მონაცემების მიღება, რაც ეწინააღმდეგებათეორიები. ეს იქნება არაინექციური.
თუ განსაზღვრების დომენი პირობითად შემოიფარგლება არაუარყოფითი მნიშვნელობებით, მაშინ ყველაფერი იმუშავებს როგორც ადრე. მაშინ ის ბიექტურია და, შესაბამისად, შექცევადი. შებრუნებულ ფუნქციას აქ დადებითი ეწოდება.
შენიშვნა შესვლის შესახებ
დაე, აღნიშვნამ f -1 (x) შეიძლება დააბნიოს ადამიანი, მაგრამ არავითარ შემთხვევაში არ უნდა იქნას გამოყენებული ასე: (f (x)) - 1 . ეს ეხება სრულიად განსხვავებულ მათემატიკურ კონცეფციას და არავითარი კავშირი არ აქვს შებრუნებულ ფუნქციასთან.
ზოგადი წესით, ზოგიერთი ავტორი იყენებს გამონათქვამებს, როგორიცაა sin-1 (x).
თუმცა, სხვა მათემატიკოსები თვლიან, რომ ამან შეიძლება გამოიწვიოს დაბნეულობა. ასეთი სირთულეების თავიდან ასაცილებლად, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ხშირად აღინიშნება პრეფიქსით "რკალი" (ლათინური რკალი). ჩვენს შემთხვევაში საუბარია რკალზე. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დროდადრო ნახოთ პრეფიქსი "ar" ან "inv" ზოგიერთი სხვა ფუნქციისთვის.
