რა არის ირაციონალური რიცხვები? რატომ ეძახიან ასე? სად გამოიყენება და რა არის ისინი? ცოტას შეუძლია უყოყმანოდ უპასუხოს ამ კითხვებს. მაგრამ სინამდვილეში, მათზე პასუხები საკმაოდ მარტივია, თუმცა ყველას არ სჭირდება ისინი და ძალიან იშვიათ სიტუაციებში
არსი და აღნიშვნა
ირაციონალური რიცხვები არის უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები. ამ კონცეფციის დანერგვის აუცილებლობა განპირობებულია იმით, რომ ადრე არსებული ცნებები რეალური ან რეალური, მთელი, ბუნებრივი და რაციონალური რიცხვების შესახებ საკმარისი აღარ იყო ახალი წარმოშობილი პრობლემების გადასაჭრელად. მაგალითად, იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ რა არის 2-ის კვადრატი, თქვენ უნდა გამოიყენოთ არაგანმეორებადი უსასრულო ათწილადები. გარდა ამისა, ბევრ უმარტივეს განტოლებას ასევე არ აქვს ამონახსნი ირაციონალური რიცხვის კონცეფციის დანერგვის გარეშე.
ეს სიმრავლე აღინიშნება როგორც I. და, როგორც უკვე ცხადია, ეს მნიშვნელობები არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი წილადის სახით, რომლის მრიცხველში იქნება მთელი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელში - ნატურალური რიცხვი..
პირველადწინააღმდეგ შემთხვევაში, ინდოელი მათემატიკოსები შეხვდნენ ამ ფენომენს ძვ. და ასეთი რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება მიეკუთვნება პითაგორას ჰიპასუსს, რომელმაც ეს გააკეთა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის შესწავლის პროცესში. ამ ნაკრების შესწავლაში სერიოზული წვლილი შეიტანა ზოგიერთმა სხვა მეცნიერმა, რომლებიც ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ცხოვრობდნენ. ირაციონალური რიცხვების ცნების დანერგვამ გამოიწვია არსებული მათემატიკური სისტემის გადახედვა, რის გამოც ისინი ასე მნიშვნელოვანია.
სახელის წარმოშობა
თუ თანაფარდობა ლათინურად ნიშნავს "წილადს", "ფარდობას", მაშინ პრეფიქსი "ir"
ამ სიტყვას საპირისპირო მნიშვნელობას ანიჭებს. ამრიგად, ამ რიცხვების სიმრავლის სახელი მიუთითებს იმაზე, რომ მათი კორელაცია შეუძლებელია მთელ რიცხვთან ან წილადთან, მათ აქვთ ცალკე ადგილი. ეს გამომდინარეობს მათი არსიდან.
ადგილი საერთო კლასიფიკაციაში
ირაციონალური რიცხვები, რაციონალურ რიცხვებთან ერთად, მიეკუთვნება ნამდვილ ან ნამდვილ რიცხვთა ჯგუფს, რომლებიც თავის მხრივ მიეკუთვნებიან კომპლექსურ რიცხვებს. არ არსებობს ქვესიმრავლეები, თუმცა არის ალგებრული და ტრანსცენდენტული ჯიშები, რომლებიც ქვემოთ იქნება განხილული.
თვისებები
რადგან ირაციონალური რიცხვები რეალური რიცხვების სიმრავლის ნაწილია, მათი ყველა თვისება, რომელიც არითმეტიკაში არის შესწავლილი (მათ ასევე უწოდებენ ძირითად ალგებრულ კანონებს) ვრცელდება მათზე.
a + b=b + a (კომუტატიურობა);
(a + b) + c=a + (b + c)(ასოციაციურობა);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (საპირისპირო რიცხვის არსებობა);
ab=ba (გადაადგილების კანონი);
(ab)c=a(bc) (განაწილება);
a(b+c)=ab + ac (გამანაწილებელი კანონი);
a x 1=a
a x 1/a=1 (შებრუნებული რიცხვის არსებობა);
შედარება ასევე ტარდება ზოგადი კანონებისა და პრინციპების შესაბამისად:
თუ a > b და b > c, მაშინ a > c (ფარდობის ტრანზიტულობა) და. და ა.შ.
რა თქმა უნდა, ყველა ირაციონალური რიცხვის გარდაქმნა შესაძლებელია ძირითადი არითმეტიკის გამოყენებით. ამისთვის სპეციალური წესები არ არსებობს.
გარდა ამისა, არქიმედეს აქსიომა ეხება ირაციონალურ რიცხვებს. ის ამბობს, რომ ნებისმიერი ორი a და b სიდიდეისთვის, ჭეშმარიტია განცხადება, რომ a-ს ტერმინად საკმარისად ჯერ აღებით, შეგიძლიათ გადააჭარბოთ b.
გამოიყენე
მიუხედავად იმისა, რომ ჩვეულებრივ ცხოვრებაში ხშირად არ გიწევთ მათთან ურთიერთობა, ირაციონალური რიცხვების დათვლა შეუძლებელია. ბევრი მათგანია, მაგრამ ისინი თითქმის უხილავია. ჩვენ ყველგან ირაციონალური რიცხვებით ვართ გარშემორტყმული. ყველასთვის ნაცნობი მაგალითებია რიცხვი pi, უდრის 3-ს, 1415926 …, ან e, რომელიც არსებითად არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი, 2, 718281828… ალგებრაში, ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში ისინი მუდმივად უნდა იქნას გამოყენებული.. სხვათა შორის, "ოქროს მონაკვეთის" ცნობილი მნიშვნელობა, ანუ როგორც დიდი ნაწილის თანაფარდობა პატარასთან და პირიქით, ასევე არის
ეკუთვნის ამ კომპლექტს. ნაკლებად ცნობილი "ვერცხლი" - ასევე.
ისინი განლაგებულია რიცხვით წრფეზე ძალიან მჭიდროდ, ამიტომ რაციონალურ სიმრავლესთან დაკავშირებულ ნებისმიერ ორ მნიშვნელობას შორის აუცილებლად მოხდება ირაციონალური.
ამ კომპლექტთან დაკავშირებული ჯერ კიდევ ბევრი გადაუჭრელი პრობლემაა. არსებობს ისეთი კრიტერიუმები, როგორიცაა ირაციონალურობის საზომი და რიცხვის ნორმალურობა. მათემატიკოსები აგრძელებენ ყველაზე მნიშვნელოვანი მაგალითების გამოკვლევას მათი ამა თუ იმ ჯგუფის კუთვნილების შესახებ. მაგალითად, ითვლება, რომ e არის ნორმალური რიცხვი, ანუ მის ჩანაწერში სხვადასხვა ციფრის გამოჩენის ალბათობა იგივეა. რაც შეეხება პის, მასზე კვლევა ჯერ კიდევ მიმდინარეობს. ირაციონალურობის საზომს ასევე უწოდებენ მნიშვნელობას, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენად კარგად შეიძლება ამა თუ იმ რიცხვის მიახლოება რაციონალური რიცხვებით.
ალგებრული და ტრანსცენდენტული
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ირაციონალური რიცხვები პირობითად იყოფა ალგებრულ და ტრანსცენდენტურად. პირობითად, ვინაიდან, მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს კლასიფიკაცია გამოიყენება C სიმრავლის გასაყოფად.
ეს აღნიშვნა მალავს კომპლექსურ რიცხვებს, რომლებიც მოიცავს რეალურ ან რეალურ რიცხვებს.
ასე რომ, ალგებრული მნიშვნელობა არის მნიშვნელობა, რომელიც არის მრავალწევრის ფესვი, რომელიც იდენტურად არ არის ნულის ტოლი. მაგალითად, 2-ის კვადრატული ფესვი იქნება ამ კატეგორიაში, რადგან ეს არის განტოლების ამონახსნი x2 - 2=0.
ყველა სხვა ნამდვილ რიცხვს, რომელიც არ აკმაყოფილებს ამ პირობას, ეწოდება ტრანსცენდენტული. ამ ჯიშისმოიცავს ყველაზე ცნობილ და უკვე ნახსენებ მაგალითებს - რიცხვი pi და ბუნებრივი ლოგარითმის e.
საინტერესოა, რომ არც ერთი და არც მეორე მათემატიკოსებმა თავდაპირველად არ დაასკვნა ამ უნარით, მათი ირაციონალურობა და ტრანსცენდენტურობა დადასტურდა მათი აღმოჩენიდან მრავალი წლის შემდეგ. პისთვის, მტკიცებულება მოყვანილი იქნა 1882 წელს და გამარტივდა 1894 წელს, რამაც ბოლო მოუღო 2500 წლიან კამათს წრის კვადრატის პრობლემის შესახებ. ეს ჯერ კიდევ არ არის ბოლომდე გაგებული, ამიტომ თანამედროვე მათემატიკოსებს აქვთ რაიმე სამუშაო. სხვათა შორის, ამ მნიშვნელობის პირველი საკმარისად ზუსტი გამოთვლა ჩაატარა არქიმედესმა. მანამდე ყველა გამოთვლა ზედმეტად მიახლოებითი იყო.
e-სთვის (ეილერის ან ნაპიერის რიცხვები) მისი ტრანსცენდენტურობის დამადასტურებელი მტკიცებულება იქნა ნაპოვნი 1873 წელს. იგი გამოიყენება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.
სხვა მაგალითები მოიცავს სინუსს, კოსინუსს და ტანგენტს ნებისმიერი ალგებრული არანულოვანი სიდიდეებისთვის.
