მექანიკურ სისტემას, რომელიც შედგება მატერიალური წერტილისგან (სხეულისგან), რომელიც ჩამოკიდებულია გაუწელვებელ უწონო ძაფზე (მისი მასა უმნიშვნელოა სხეულის წონასთან შედარებით) ერთგვაროვან სიმძიმის ველში, ეწოდება მათემატიკური ქანქარა (სხვა სახელია ოსცილატორი). ამ მოწყობილობის სხვა ტიპები არსებობს. ძაფის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ უწონო ჯოხი. მათემატიკურ ქანქარას შეუძლია ნათლად გამოავლინოს ბევრი საინტერესო ფენომენის არსი. რხევის მცირე ამპლიტუდით მის მოძრაობას ჰარმონიული ეწოდება.
მექანიკური სისტემის მიმოხილვა
ამ ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულა მიღებული იქნა ჰოლანდიელი მეცნიერის ჰიუგენსის (1629-1695) მიერ. ი. ნიუტონის ამ თანამედროვეს ძალიან უყვარდა ეს მექანიკური სისტემა. 1656 წელს მან შექმნა პირველი ქანქარიანი საათი. მათ დრო გამონაკლისებით გაზომესიმ დროის სიზუსტისთვის. ეს გამოგონება გახდა მთავარი ეტაპი ფიზიკური ექსპერიმენტებისა და პრაქტიკული აქტივობების განვითარებაში.
თუ ქანქარა წონასწორობაშია (დაკიდებულია ვერტიკალურად), მაშინ სიმძიმის ძალა დაბალანსდება ძაფის დაჭიმვის ძალით. ბრტყელი ქანქარა გაუწელვებელ ძაფზე არის სისტემა, რომელსაც აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი შეერთებით. როდესაც თქვენ ცვლით მხოლოდ ერთ კომპონენტს, იცვლება მისი ყველა ნაწილის მახასიათებლები. ასე რომ, თუ ძაფი ჩანაცვლდება ღეროთი, მაშინ ამ მექანიკურ სისტემას ექნება თავისუფლების მხოლოდ 1 ხარისხი. რა თვისებები აქვს მათემატიკური ქანქარას? ამ უმარტივეს სისტემაში ქაოსი წარმოიქმნება პერიოდული აშლილობის გავლენის ქვეშ. იმ შემთხვევაში, როდესაც დაკიდების წერტილი არ მოძრაობს, მაგრამ რხევა, ქანქარას აქვს ახალი წონასწორული პოზიცია. სწრაფი ზევით და ქვევით რხევებით, ეს მექანიკური სისტემა იძენს სტაბილურ თავდაყირა პოზიციას. მას ასევე აქვს საკუთარი სახელი. მას კაპიცას ქანქარას უწოდებენ.
ქანქარას თვისებები
მათემატიკურ ქანქარას აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები. ყველა მათგანი დადასტურებულია ცნობილი ფიზიკური კანონებით. ნებისმიერი სხვა ქანქარის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია სხვადასხვა გარემოებებზე, როგორიცაა სხეულის ზომა და ფორმა, დაკიდების წერტილსა და სიმძიმის ცენტრს შორის მანძილი, მასის განაწილება ამ წერტილთან შედარებით. ამიტომ ჩამოკიდებული სხეულის პერიოდის განსაზღვრა საკმაოდ რთული ამოცანაა. გაცილებით ადვილია მათემატიკური ქანქარის პერიოდის გამოთვლა, რომლის ფორმულა ქვემოთ იქნება მოცემული. მსგავსი დაკვირვების შედეგადმექანიკურ სისტემებს შეუძლიათ შექმნან შემდეგი შაბლონები:
• თუ ქანქარის ერთი და იგივე სიგრძის შენარჩუნებისას სხვადასხვა წონას დავკიდებთ, მაშინ მათი რხევების პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა მათი მასები ძლიერ ცვალებადი იქნება. ამიტომ, ასეთი ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.
• სისტემის გაშვებისას, თუ ქანქარა გადახრილია არა ძალიან დიდი, მაგრამ განსხვავებული კუთხით, ის დაიწყებს რხევას იმავე პერიოდით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებით. სანამ გადახრები წონასწორობის ცენტრიდან არ არის ძალიან დიდი, მათი სახით რხევები საკმაოდ ახლოს იქნება ჰარმონიულთან. ასეთი ქანქარის პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული რხევის ამპლიტუდაზე. ამ მექანიკური სისტემის ამ თვისებას იზოქრონიზმს უწოდებენ (ბერძნულიდან თარგმნილია „ქრონოსი“- დრო, „ისოს“- ტოლი).
მათემატიკური ქანქარის პერიოდი
ეს მაჩვენებელი წარმოადგენს ბუნებრივი რხევების პერიოდს. მიუხედავად რთული ფორმულირებისა, პროცესი თავისთავად ძალიან მარტივია. თუ მათემატიკური ქანქარის ძაფის სიგრძეა L, ხოლო თავისუფალი ვარდნის აჩქარება არის g, მაშინ ეს მნიშვნელობა არის:
T=2π√L/გ
მცირე ბუნებრივი რხევების პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული ქანქარის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე. ამ შემთხვევაში ქანქარა მოძრაობს შემცირებული სიგრძის მათემატიკური ქანქარის მსგავსად.
მათემატიკური ქანქარის საქანელები
მათემატიკური გულსაკიდი რხევა, რომელიც შეიძლება აღწეროს მარტივი დიფერენციალური განტოლებით:
x + ω2 sin x=0, სადაც x (t) უცნობი ფუნქციაა (ეს არის გადახრის კუთხე ქვედადანწონასწორობის პოზიცია t დროს, გამოხატული რადიანებით); ω არის დადებითი მუდმივა, რომელიც განისაზღვრება ქანქარის პარამეტრებიდან (ω=√g/L, სადაც g არის თავისუფალი ვარდნის აჩქარება და L არის მათემატიკური ქანქარის სიგრძე (შეჩერება).
ბალანსის პოზიციის მახლობლად მცირე რყევების განტოლება (ჰარმონიული განტოლება) ასე გამოიყურება:
x + ω2 sin x=0
ქანქარის რხევითი მოძრაობები
მათემატიკური გულსაკიდი, რომელიც აკეთებს მცირე რხევებს, მოძრაობს სინუსოიდის გასწვრივ. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება აკმაყოფილებს ასეთი მოძრაობის ყველა მოთხოვნას და პარამეტრს. ტრაექტორიის დასადგენად, თქვენ უნდა მიუთითოთ სიჩქარე და კოორდინატი, საიდანაც შემდეგ განისაზღვრება დამოუკიდებელი მუდმივები:
x=ცოდვა (θ0 + ωt), სადაც θ0 არის საწყისი ფაზა, A არის რხევის ამპლიტუდა, ω არის ციკლური სიხშირე, რომელიც განისაზღვრება მოძრაობის განტოლებიდან.
მათემატიკური გულსაკიდი (ფორმულები დიდი ამპლიტუდებისთვის)
ეს მექანიკური სისტემა, რომელიც ახდენს თავის რხევებს მნიშვნელოვანი ამპლიტუდით, ემორჩილება მოძრაობის უფრო რთულ კანონებს. ასეთი ქანქარისთვის, ისინი გამოითვლება ფორმულით:
sin x/2=usn(ωt/u), სადაც sn არის იაკობის სინუსი, რომელიც u-სთვის < 1 პერიოდული ფუნქციაა, ხოლო პატარა u-სთვის იგი ემთხვევა მარტივ ტრიგონომეტრიულ სინუსს. u-ს მნიშვნელობა განისაზღვრება შემდეგი გამოსახულებით:
u=(ε + ω2)/2ω2, სადაც ε=E/mL2 (mL2 არის ქანქარის ენერგია).
არაწრფივი ქანქარის რხევის პერიოდის განსაზღვრახორციელდება ფორმულის მიხედვით:
T=2π/Ω, სადაც Ω=π/2ω/2K(u), K არის ელიფსური ინტეგრალი, π - 3, 14.
ქანქარის მოძრაობა სეპარატრიქსის გასწვრივ
სეპარატრიქსი არის დინამიური სისტემის ტრაექტორია ორგანზომილებიანი ფაზის სივრცით. მათემატიკური ქანქარა მის გასწვრივ არაპერიოდულად მოძრაობს. დროის უსასრულოდ შორეულ მომენტში ის უკიდურესი ზედა პოზიციიდან გვერდზე ეცემა ნულოვანი სიჩქარით, შემდეგ თანდათან აიღებს მას. ის საბოლოოდ ჩერდება და უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.
თუ ქანქარის რხევების ამპლიტუდა უახლოვდება π რიცხვს, ეს მიუთითებს, რომ მოძრაობა ფაზის სიბრტყეზე უახლოვდება სეპარატრიქსს. ამ შემთხვევაში, მცირე პერიოდული მამოძრავებელი ძალის მოქმედებით, მექანიკური სისტემა ავლენს ქაოტურ ქცევას.
როდესაც მათემატიკური ქანქარა გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან გარკვეული φ კუთხით, წარმოიქმნება სიმძიმის ტანგენციალური ძალა Fτ=–mg sin φ. მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ ეს ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია ქანქარის გადახრის საპირისპირო მიმართულებით. როდესაც ქანქარის გადაადგილება L რადიუსის მქონე წრის რკალის გასწვრივ აღინიშნება x-ით, მისი კუთხური გადაადგილება უდრის φ=x/L. ისააკ ნიუტონის მეორე კანონი, რომელიც შექმნილია აჩქარების ვექტორისა და ძალის პროგნოზირებისთვის, მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:
მგ τ=Fτ=–მგ sin x/L
ამ თანაფარდობიდან გამომდინარე, ცხადია, რომ ეს ქანქარა არის არაწრფივი სისტემა, რადგან ძალა, რომელიც ცდილობს დაბრუნებასის წონასწორობის პოზიციის, ყოველთვის პროპორციულია არა x გადაადგილების, არამედ sin x/L.
მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი აკეთებს მცირე რხევებს, ის ჰარმონიული ოსცილატორია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ხდება მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს ჰარმონიული ვიბრაციები. ეს მიახლოება პრაქტიკულად მოქმედებს 15–20° კუთხისთვის. ქანქარის რხევები დიდი ამპლიტუდებით არ არის ჰარმონიული.
ნიუტონის კანონი ქანქარის მცირე რხევებისთვის
თუ ეს მექანიკური სისტემა ასრულებს მცირე ვიბრაციას, ნიუტონის მე-2 კანონი ასე გამოიყურება:
მგ τ=Fτ=–m g/L x.
აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური ქანქარის ტანგენციალური აჩქარება პროპორციულია მისი გადაადგილების მინუს ნიშნით. ეს არის მდგომარეობა, რის გამოც სისტემა ხდება ჰარმონიული ოსცილატორი. გადაადგილებასა და აჩქარებას შორის პროპორციული მომატების მოდული უდრის წრიული სიხშირის კვადრატს:
ω02=გ/ლ; ω0=√ გ/ლ.
ეს ფორმულა ასახავს ამ ტიპის ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივ სიხშირეს. ამის საფუძველზე, T=2π/ ω0=2π√ გ/ლ.
გამოთვლები ენერგიის შენარჩუნების კანონის საფუძველზე
ქანქარის რხევის მოძრაობების თვისებები ასევე შეიძლება აღწერილი იყოს ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში გასათვალისწინებელია, რომ გრავიტაციულ ველში ქანქარის პოტენციური ენერგიაა:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
სულ მექანიკური ენერგიაუდრის კინეტიკურ ან მაქსიმალურ პოტენციალს: Epmax=Ekmsx=E
ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის შემდეგ აიღეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარის წარმოებული:
Ep + Ek=const
რადგან მუდმივი მნიშვნელობების წარმოებული არის 0, მაშინ (Ep + Ek)'=0. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=მგ/2L2xx'=მგ/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, აქედან გამომდინარე:
Mg/Lxv + mva=v (მგ/Lx + m α)=0.
ბოლო ფორმულის საფუძველზე ვხვდებით: α=- g/Lx.
მათემატიკური ქანქარის პრაქტიკული გამოყენება
თავისუფალი ვარდნის აჩქარება იცვლება გეოგრაფიული განედიდან გამომდინარე, ვინაიდან დედამიწის ქერქის სიმკვრივე მთელ პლანეტაზე არ არის ერთნაირი. სადაც უფრო მაღალი სიმკვრივის ქანები ჩნდება, ის გარკვეულწილად უფრო მაღალი იქნება. მათემატიკური ქანქარის აჩქარება ხშირად გამოიყენება გეოლოგიური კვლევისთვის. იგი გამოიყენება სხვადასხვა მინერალების მოსაძებნად. უბრალოდ, ქანქარის რხევების რაოდენობის დათვლით, დედამიწის წიაღში ნახშირის ან მადნის პოვნა შეგიძლიათ. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ ნამარხებს აქვთ სიმკვრივე და მასა უფრო დიდი ვიდრე ფხვიერი ქანები მათ ქვეშ.
მათემატიკური გულსაკიდი გამოიყენეს ისეთი გამოჩენილი მეცნიერების მიერ, როგორიცაა სოკრატე, არისტოტელე, პლატონი, პლუტარქე, არქიმედეს. ბევრ მათგანს სჯეროდა, რომ ამ მექანიკურ სისტემას შეეძლო გავლენა მოახდინოს ადამიანის ბედსა და ცხოვრებაზე. არქიმედესმა გამოთვლებში გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა. დღესდღეობით ბევრი ოკულტისტი და ექსტრასენსიაგამოიყენეთ ეს მექანიკური სისტემა მათი წინასწარმეტყველებების შესასრულებლად ან დაკარგული ადამიანების მოსაძებნად.
ცნობილმა ფრანგმა ასტრონომმა და ბუნებისმეტყველმა კ. ფლამარიონმა ასევე გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა თავისი კვლევისთვის. ის ამტკიცებდა, რომ მისი დახმარებით შეძლო ახალი პლანეტის აღმოჩენის, ტუნგუსკის მეტეორიტის გამოჩენა და სხვა მნიშვნელოვანი მოვლენების წინასწარმეტყველება. მეორე მსოფლიო ომის დროს გერმანიაში (ბერლინში) მუშაობდა სპეციალიზებული Pendulum Institute. დღეს მსგავსი კვლევებით არის დაკავებული მიუნხენის პარაფსიქოლოგიის ინსტიტუტი. ამ დაწესებულების თანამშრომლები ქანქარით მუშაობას უწოდებენ "რადიესთეზიას".
