ალბათ, წარმოებულის ცნება თითოეულ ჩვენგანს სკოლიდანვე იცნობს. როგორც წესი, მოსწავლეებს უჭირთ ამის გაგება, უეჭველია, ძალიან მნიშვნელოვანი. იგი აქტიურად გამოიყენება ადამიანების ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში და მრავალი საინჟინრო განვითარება ეფუძნებოდა სწორედ წარმოებულის გამოყენებით მიღებულ მათემატიკურ გამოთვლებს. მაგრამ სანამ გავაგრძელებთ ანალიზს, თუ რა არის რიცხვების წარმოებულები, როგორ გამოვთვალოთ ისინი და სად არის ისინი ჩვენთვის სასარგებლო, მოდით ჩავუღრმავდეთ ისტორიას.
ისტორია
წარმოებულის ცნება, რომელიც მათემატიკური ანალიზის საფუძველს წარმოადგენს, აღმოაჩინა (უკეთესია ვთქვათ "გამოგონილი", რადგან ის ბუნებაში, როგორც ასეთი არ არსებობდა) ისააკ ნიუტონმა, რომელსაც ყველამ ვიცნობთ. უნივერსალური მიზიდულობის კანონის აღმოჩენიდან. სწორედ მან გამოიყენა პირველად ეს კონცეფცია ფიზიკაში სხეულების სიჩქარისა და აჩქარების ბუნების დასაკავშირებლად. და ბევრი მეცნიერი ჯერ კიდევ ადიდებს ნიუტონს ამ შესანიშნავი გამოგონებისთვის, რადგან სინამდვილეში მან გამოიგონა დიფერენციალური და ინტეგრალური გაანგარიშების საფუძველი, ფაქტობრივად, მათემატიკის მთელი არეალის საფუძველი, რომელსაც ეწოდება "კალკულუსი". იმ დროს რომ ნობელის პრემია, ნიუტონი მას რამდენჯერმე მიიღებდა დიდი ალბათობით.
არა სხვა დიდი გონების გარეშე. ნიუტონის გარდაწარმოებულისა და ინტეგრალის შემუშავებაზე მუშაობდნენ ისეთი გამოჩენილი მათემატიკური გენიოსები, როგორებიც იყვნენ ლეონჰარდ ეილერი, ლუი ლაგრანჟი და გოტფრიდ ლაიბნიცი. სწორედ მათი წყალობით მივიღეთ დიფერენციალური გამოთვლის თეორია იმ სახით, როგორშიც ის დღემდე არსებობს. სხვათა შორის, სწორედ ლაიბნიცმა აღმოაჩინა წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა, რომელიც სხვა არაფერი აღმოჩნდა, თუ არა ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი..
რა არის რიცხვების წარმოებულები? ცოტა გავიმეოროთ რაც გავიარეთ სკოლაში.
რა არის წარმოებული?
ეს კონცეფცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე განსხვავებული გზით. უმარტივესი ახსნა ის არის, რომ წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. წარმოიდგინეთ x-ის y ფუნქციის გრაფიკი. თუ ის არ არის სწორი, მაშინ მას აქვს გარკვეული მრუდი გრაფიკში, ზრდის და კლების პერიოდები. თუ ავიღებთ ამ გრაფიკის უსასრულოდ მცირე ინტერვალს, ეს იქნება სწორი ხაზის სეგმენტი. ამრიგად, ამ უსასრულოდ მცირე სეგმენტის ზომის თანაფარდობა y კოორდინატის გასწვრივ ზომასთან x კოორდინატის გასწვრივ იქნება ამ ფუნქციის წარმოებული მოცემულ წერტილში. თუ ფუნქციას განვიხილავთ მთლიანობაში და არა კონკრეტულ წერტილში, მაშინ მივიღებთ წარმოებულ ფუნქციას, ანუ y-ის გარკვეულ დამოკიდებულებას x-ზე.
გარდა ამისა, წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის, როგორც ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის გარდა, არსებობს გეომეტრიული მნიშვნელობაც. ჩვენ ახლა ვისაუბრებთ მასზე.
გეომეტრიული გრძნობა
თვითონ რიცხვების წარმოებულები წარმოადგენს გარკვეულ რიცხვს, რომელიც სათანადო გაგების გარეშე არ ატარებსაზრი არ აქვს. გამოდის, რომ წარმოებული არა მხოლოდ აჩვენებს ფუნქციის ზრდის ან შემცირების ტემპს, არამედ მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს. არც ისე მკაფიო განმარტება. მოდით გავაანალიზოთ იგი უფრო დეტალურად. ვთქვათ, გვაქვს ფუნქციის გრაფიკი (ინტერესისთვის ავიღოთ მრუდი). მას აქვს ქულების უსასრულო რაოდენობა, მაგრამ არის ადგილები, სადაც მხოლოდ ერთ წერტილს აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური. ნებისმიერი ასეთი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია წრფის დახაზვა, რომელიც პერპენდიკულარული იქნება ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე. ასეთ ხაზს ტანგენსი ეწოდება. ვთქვათ, გავატარეთ ის OX ღერძთან კვეთაზე. ამრიგად, ტანგენტსა და OX ღერძს შორის მიღებული კუთხე განისაზღვრება წარმოებულით. უფრო ზუსტად, ამ კუთხის ტანგენსი მისი ტოლი იქნება.
მოდით ცოტა ვისაუბროთ განსაკუთრებულ შემთხვევებზე და გავაანალიზოთ რიცხვების წარმოებულები.
სპეციალური შემთხვევები
როგორც უკვე ვთქვით, რიცხვების წარმოებულები არის წარმოებულის მნიშვნელობები კონკრეტულ წერტილში. მაგალითად, ავიღოთ ფუნქცია y=x2. წარმოებული x არის რიცხვი და ზოგად შემთხვევაში ფუნქცია ტოლია 2x. თუ ჩვენ გვჭირდება წარმოებულის გამოთვლა, ვთქვათ, x0=1 წერტილში, მაშინ მივიღებთ y'(1)=21=2. ყველაფერი ძალიან მარტივია. საინტერესო შემთხვევაა რთული რიცხვის წარმოებული. ჩვენ არ განვიხილავთ დეტალურ ახსნას, თუ რა არის რთული რიცხვი. ვთქვათ, ეს არის რიცხვი, რომელიც შეიცავს ეგრეთ წოდებულ წარმოსახვით ერთეულს - რიცხვს, რომლის კვადრატი არის -1. ასეთი წარმოებულის გამოთვლა შესაძლებელია მხოლოდ შემდეგშიპირობები:
1) უნდა არსებობდეს რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები Y და X მიმართ.
2) პირველ აბზაცში აღწერილი ნაწილობრივი წარმოებულების ტოლობასთან დაკავშირებული კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.
კიდევ ერთი საინტერესო შემთხვევა, თუმცა არც ისე რთული, როგორც წინა, არის უარყოფითი რიცხვის წარმოებული. ფაქტობრივად, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი რიცხვი გამრავლებული -1-ზე. ისე, მუდმივისა და ფუნქციის წარმოებული ტოლია მუდმივის გამრავლებული ფუნქციის წარმოებულზე.
საინტერესო იქნება გავიგოთ წარმოებულის როლი ყოველდღიურ ცხოვრებაში და სწორედ ამაზე ვისაუბრებთ ახლა.
აპლიკაცია
ალბათ, თითოეული ჩვენგანი ცხოვრებაში ერთხელ მაინც იჭერს თავს იმის ფიქრში, რომ მათემატიკა ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მისთვის სასარგებლო იყოს. და ისეთ რთულ რამეს, როგორიცაა წარმოებული, ალბათ, საერთოდ არ აქვს განაცხადი. სინამდვილეში, მათემატიკა ფუნდამენტური მეცნიერებაა და მის ყველა ნაყოფს ძირითადად ფიზიკა, ქიმია, ასტრონომია და ეკონომიკაც კი ავითარებს. წარმოებული იყო მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი, რამაც მოგვცა შესაძლებლობა გამოგვეტანა დასკვნა ფუნქციების გრაფიკებიდან და ვისწავლეთ ბუნების კანონების ინტერპრეტაცია და მათი წყალობით ჩვენთვის გამოგვეყენებინა.
დასკვნა
რა თქმა უნდა, შეიძლება ყველას არ დასჭირდეს წარმოებული რეალურ ცხოვრებაში. მაგრამ მათემატიკა ავითარებს ლოგიკას, რაც აუცილებლად იქნება საჭირო. ტყუილად არ უწოდებენ მათემატიკას მეცნიერებათა დედოფალს: ის საფუძველს ქმნის ცოდნის სხვა სფეროების გასაგებად.
