მათემატიკის მასწავლებლები თავიანთ მოსწავლეებს აცნობენ "კომბინატორული პრობლემის" კონცეფციას ჯერ კიდევ მეხუთე კლასში. ეს აუცილებელია იმისთვის, რომ მათ შეძლონ მომავალში უფრო რთულ ამოცანებთან მუშაობა. პრობლემის კომბინატორული ბუნება შეიძლება გავიგოთ, როგორც მისი გადაჭრის შესაძლებლობა სასრულ სიმრავლის ელემენტების ჩამოთვლით.
ამ რიგის ამოცანების მთავარი ნიშანი არის მათთვის შეკითხვა, რომელიც ჟღერს "რამდენი ვარიანტი?" ან "რამდენი გზით?" კომბინატორული ამოცანების გადაწყვეტა პირდაპირ დამოკიდებულია იმაზე, მიხვდა თუ არა ამომხსნელს მნიშვნელობა, შეეძლო თუ არა სწორად წარმოედგინა მოქმედება ან პროცესი, რომელიც აღწერილი იყო ამოცანაში.
როგორ გადავჭრათ კომბინატორიული პრობლემა?
მნიშვნელოვანია სწორად განვსაზღვროთ ყველა კავშირის ტიპი განსახილველ პრობლემაში, მაგრამ აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა მასში ელემენტების გამეორება, იცვლება თუ არა თავად ელემენტები, თამაშობს თუ არა მათ თანმიმდევრობა დიდ როლს. და ასევე ზოგიერთ სხვასთან მიმართებაშიფაქტორები.
კომბინატორულ პრობლემას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი შეზღუდვა, რომელიც შეიძლება დაწესდეს კავშირებზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოგიწევთ სრულად გამოთვალოთ მისი გადაწყვეტა და შეამოწმოთ აქვს თუ არა ეს შეზღუდვები რაიმე გავლენას ყველა ელემენტის კავშირზე. თუ ნამდვილად არის გავლენა, აუცილებელია შეამოწმოთ რომელი.
სად დავიწყოთ?
პირველ რიგში უნდა ისწავლოთ უმარტივესი კომბინატორული ამოცანების ამოხსნა. მარტივი მასალის დაუფლება საშუალებას მოგცემთ ისწავლოთ უფრო რთული ამოცანების გაგება. რეკომენდირებულია, ჯერ დაიწყოთ პრობლემების გადაჭრა შეზღუდვებით, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული უფრო მარტივი ვარიანტის განხილვისას.
ასევე რეკომენდირებულია პირველ რიგში იმ პრობლემების გადაჭრა, რომლებშიც საერთო ელემენტების უფრო მცირე რაოდენობა უნდა გაითვალისწინოთ. ამ გზით თქვენ შეძლებთ გაიგოთ ნიმუშების შექმნის პრინციპი და გაიგოთ როგორ შექმნათ ისინი მომავალში. თუ პრობლემა, რომლისთვისაც გჭირდებათ კომბინატორიკის გამოყენება, შედგება რამდენიმე მარტივის კომბინაციისგან, რეკომენდებულია მისი ნაწილებად გადაჭრა.
კომბინატორიული ამოცანების ამოხსნა
ასეთი პრობლემები შეიძლება ადვილად გადასაჭრელი ჩანდეს, მაგრამ კომბინატორიკის დაუფლება საკმაოდ რთულია, ზოგიერთი მათგანი ბოლო ასეული წლის განმავლობაში არ მოგვარებულა. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი პრობლემა არის სპეციალური რიგის ჯადოსნური კვადრატების რაოდენობის განსაზღვრა, როდესაც რიცხვი n 4-ზე მეტია.
კომბინატორიული პრობლემა მჭიდრო კავშირშია ალბათობის თეორიასთან, რომელიც გაჩნდა შუა საუკუნეებში. ალბათობამოვლენის წარმოშობის გამოთვლა შესაძლებელია მხოლოდ კომბინატორიკის გამოყენებით, ამ შემთხვევაში ოპტიმალური ამოხსნის მისაღებად საჭირო იქნება ყველა ფაქტორის მონაცვლეობა.
პრობლემის გადაჭრა
კომბინატორული ამოცანები ამონახსნებით გამოიყენება, რათა ასწავლონ მოსწავლეებსა და სტუდენტებს ამ მასალასთან მუშაობა. ზოგადად, მათ უნდა აღძრას ადამიანის ინტერესი და საერთო გამოსავლის პოვნის სურვილი. მათემატიკური გამოთვლების გარდა აუცილებელია ფსიქიკური სტრესის გამოყენება და გამოცნობის გამოყენება.
დასახული ამოცანების ამოხსნის პროცესში ბავშვს შეეძლება განუვითაროს მათემატიკური ფანტაზია და კომბინატორული შესაძლებლობები, ეს შეიძლება სერიოზულად გამოადგეს მას მომავალში. თანდათან უნდა გაიზარდოს გადასაჭრელი ამოცანების სირთულის დონე, რათა არ დავივიწყოთ არსებული ცოდნა და დავამატოთ ახალი.
მეთოდი 1. მკერდი
კომბინატორიული ამოცანების ამოხსნის მეთოდები ძალიან განსხვავდება ერთმანეთისგან, მაგრამ ყველა მათგანი შეიძლება გამოიყენოს მოსწავლემ პასუხის მისაღებად. ერთ-ერთი უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს, ყველაზე გრძელი გზა არის უხეში ძალა. მასთან ერთად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაიაროთ ყველა შესაძლო გადაწყვეტა სქემებისა და ცხრილების შედგენის გარეშე.
როგორც წესი, ასეთ პრობლემაში შეკითხვა დაკავშირებულია მოვლენის წარმოშობის შესაძლო ვარიანტებთან, მაგალითად: რა რიცხვები შეიძლება გაკეთდეს 2, 4, 8, 9 რიცხვების გამოყენებით? ყველა ვარიანტის მოძიებით დგება პასუხი, რომელიც შედგება შესაძლო კომბინაციებისგან. ეს მეთოდი შესანიშნავია შესაძლო ვარიანტების რაოდენობის შემთხვევაშიშედარებით მცირე.
მეთოდი 2. ვარიანტების ხე
ზოგიერთი კომბინატორიული ამოცანის გადაწყვეტა შესაძლებელია მხოლოდ სქემების შედგენით, რომლებიც დეტალურად აღწერს ინფორმაციას თითოეული ელემენტის შესახებ. შესაძლო ვარიანტების ხის შედგენა პასუხის პოვნის კიდევ ერთი გზაა. გამოდგება არც ისე რთული პრობლემების გადასაჭრელად, რომელშიც არის დამატებითი პირობა.
ასეთი დავალების მაგალითი:
რა ხუთნიშნა რიცხვების დამზადება შეიძლება 0, 1, 7, 8 რიცხვებიდან? მის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა ააწყოთ ხე ყველა შესაძლო კომბინაციიდან და არის დამატებითი პირობა - რიცხვი არ შეიძლება დაიწყოს ნულიდან. ამრიგად, პასუხი შედგება ყველა რიცხვისგან, რომელიც დაიწყება 1-ით, 7-ით ან 8-ით
მეთოდი 3. ცხრილების ფორმირება
კომბინატორული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ცხრილების გამოყენებითაც. ისინი მსგავსია შესაძლო ვარიანტების ხეს, რადგან სთავაზობენ სიტუაციის ვიზუალურ გადაწყვეტას. სწორი პასუხის საპოვნელად, თქვენ უნდა ჩამოაყალიბოთ ცხრილი და ის ასახული იქნება: ჰორიზონტალური და ვერტიკალური პირობები ერთნაირი იქნება.
შესაძლო პასუხები მიიღება სვეტებისა და მწკრივების გადაკვეთაზე. ამ შემთხვევაში, პასუხები სვეტისა და მწკრივის გადაკვეთაზე ერთი და იგივე მონაცემებით არ მიიღება, ეს კვეთები სპეციალურად უნდა იყოს მონიშნული, რათა საბოლოო პასუხის შედგენისას არ იყოს დაბნეული. ამ მეთოდს ხშირად არ ირჩევენ სტუდენტები, ბევრს ურჩევნია ხე ოფციონებით.
მეთოდი 4. გამრავლება
კომბინატორიული ამოცანების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა არსებობს - გამრავლების წესი. Ის არის კარგადშესაფერისია იმ შემთხვევაში, როდესაც, მდგომარეობის მიხედვით, არ არის აუცილებელი ყველა შესაძლო გადაწყვეტის ჩამოთვლა, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ მათი მაქსიმალური რაოდენობა. ეს მეთოდი უნიკალურია, ის ძალიან ხშირად გამოიყენება კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას.
ასეთი დავალების მაგალითი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
6 ადამიანი ელოდება გამოცდას დერეფანში. რამდენი ხერხის გამოყენება შეგიძლიათ მათი ზოგად სიაში მოსაწყობად? პასუხის მისაღებად უნდა განმარტოთ რამდენი მათგანი შეიძლება იყოს პირველ ადგილზე, რამდენი მეორეში, მესამეში და ა.შ. პასუხი იქნება რიცხვი 720
კომბინატორიკა და მისი ტიპები
კომბინატორული ამოცანა არ არის მხოლოდ სასკოლო მასალა, მას სწავლობენ უნივერსიტეტის სტუდენტებიც. მეცნიერებაში არსებობს რამდენიმე სახის კომბინატორიკა და თითოეულ მათგანს აქვს თავისი მისია. აღრიცხვის კომბინატორიკამ უნდა გაითვალისწინოს შესაძლო კონფიგურაციების ჩამოთვლა და ჩამოთვლა დამატებითი პირობებით.
სტრუქტურული კომბინატორიკა არის საუნივერსიტეტო პროგრამის კომპონენტი, ის სწავლობს მატროიდების თეორიას და გრაფიკებს. ექსტრემალური კომბინატორიკა ასევე დაკავშირებულია საუნივერსიტეტო მასალასთან და აქ არის ინდივიდუალური შეზღუდვები. კიდევ ერთი განყოფილებაა რამსის თეორია, რომელიც ეხება სტრუქტურების შესწავლას ელემენტების შემთხვევითი ვარიაციით. ასევე არსებობს ლინგვისტური კომბინატორიკა, რომელიც ეხება გარკვეული ელემენტების ერთმანეთთან თავსებადობის საკითხს.
კომბინატორიული ამოცანების სწავლების მეთოდი
სახელმძღვანელოს მიხედვითგეგმები, მოსწავლეთა ასაკი, რომელიც განკუთვნილია ამ მასალის პირველადი გაცნობისა და კომბინატორული ამოცანების გადასაჭრელად, არის 5 კლასი. სწორედ იქ სთავაზობენ მოსწავლეებს პირველად ეს თემა განსახილველად, ისინი ეცნობიან კომბინატორობის ფენომენს და ცდილობენ გადაჭრან მათთვის დაკისრებული ამოცანები. ამავდროულად, ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ კომბინატორული ამოცანის დაყენებისას გამოყენებული იყოს მეთოდი, როდესაც ბავშვები თავად ეძებენ პასუხებს კითხვებზე.
სხვა საკითხებთან ერთად, ამ თემის შესწავლის შემდეგ, ბევრად უფრო ადვილი იქნება ფაქტორიალის ცნების დანერგვა და მისი გამოყენება განტოლებების, ამოცანების ამოხსნისას და ა.შ. ამრიგად, კომბინატორობა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შემდგომ განათლებაში.
კომბინატორული პრობლემები: რატომ არის ისინი საჭირო?
თუ იცით რა არის კომბინატორიული პრობლემები, მაშინ არ შეგექმნებათ რაიმე სირთულე მათი გადაწყვეტისას. მათი ამოხსნის ტექნიკა შეიძლება გამოადგეს, როცა უნდა შექმნათ განრიგი, სამუშაო გრაფიკი, ასევე რთული მათემატიკური გამოთვლები, რომლებიც არ არის შესაფერისი ელექტრონული მოწყობილობებისთვის.
მათემატიკისა და კომპიუტერული მეცნიერების სიღრმისეული შესწავლის სკოლებში დამატებით იკვლევენ კომბინატორულ ამოცანებს, რისთვისაც შედგენილია სპეციალური კურსები, სასწავლო საშუალებები და ამოცანები. როგორც წესი, მათემატიკის ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შეიძლება შევიდეს ამ ტიპის რამდენიმე პრობლემა, როგორც წესი, ისინი „დამალულია“C ნაწილში.
როგორ გადავჭრათ კომბინატორიული პრობლემა სწრაფად?
ძალიან მნიშვნელოვანია კომბინატორული პრობლემის დანახვასწრაფად, ვინაიდან მას შეიძლება ჰქონდეს ფარული ფორმულირება, ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია გამოცდის ჩაბარებისას, სადაც ყოველი წუთი მნიშვნელოვანია. ცალკე ჩამოწერეთ ინფორმაცია, რომელსაც ხედავთ პრობლემის ტექსტში ფურცელზე და შემდეგ სცადეთ მისი გაანალიზება თქვენთვის ცნობილი ოთხი გზით.
თუ შეგიძლიათ ინფორმაცია მოათავსოთ ცხრილში ან სხვა ფორმირებაში, სცადეთ მისი ამოხსნა. თუ არ შეგიძლია მისი კლასიფიკაცია, ამ შემთხვევაში ჯობია ცოტა ხნით დატოვო და სხვა დავალებაზე გადახვიდე, რომ ძვირფასი დრო არ დაკარგო. ამ სიტუაციის თავიდან აცილება შესაძლებელია ამ ტიპის ამოცანების გარკვეული რაოდენობის წინასწარ გადაჭრით.
სად ვიპოვო მაგალითები?
ერთადერთი რაც დაგეხმარება ისწავლო კომბინატორიული ამოცანების ამოხსნა არის მაგალითები. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ისინი სპეციალურ მათემატიკურ კოლექციებში, რომლებიც იყიდება საგანმანათლებლო ლიტერატურის მაღაზიებში. თუმცა, იქ შეგიძლიათ იპოვოთ ინფორმაცია მხოლოდ უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის, სკოლის მოსწავლეებს დამატებით მოუწევთ დავალებების ძებნა, როგორც წესი, მათთვის დავალებებს სხვა მასწავლებლები იგონებენ.
უმაღლესი სასწავლებლების მასწავლებლები თვლიან, რომ სტუდენტებს სჭირდებათ ტრენინგი და მუდმივად სთავაზობენ მათ დამატებით სასწავლო ლიტერატურას. ერთ-ერთი საუკეთესო კრებული არის „დისკრეტული ანალიზის მეთოდები კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას“, დაწერილი 1977 წელს და არაერთხელ გამოიცა ქვეყნის წამყვანი გამომცემლობების მიერ. სწორედ იქ შეგიძლიათ იპოვოთ ამოცანები, რომლებიც იმ დროს აქტუალური იყო და დღესაც აქტუალური რჩება.
რა მოხდება, თუ კომბინატორიული პრობლემის შედგენა გჭირდებათ?
ყველაზე ხშირად კომბინატორული პრობლემების შედგენაა საჭირომასწავლებლები, რომლებიც ვალდებულნი არიან ასწავლონ მოსწავლეებს აზროვნების მიღმა. აქ ყველაფერი დამოკიდებული იქნება შემდგენელის შემოქმედებით პოტენციალზე. მიზანშეწონილია ყურადღება მიაქციოთ არსებულ კოლექციებს და შეეცადოთ შეადგინოთ პრობლემა ისე, რომ ის ერთდროულად გაერთიანდეს მის გადაჭრის რამდენიმე გზაზე და ჰქონდეს განსხვავებული მონაცემები წიგნიდან.
უნივერსიტეტის მასწავლებლები ამ მხრივ ბევრად უფრო თავისუფალნი არიან ვიდრე სკოლის მასწავლებლები, ისინი ხშირად აძლევენ თავიანთ მოსწავლეებს დავალებას, თავად შეადგინონ კომბინატორული პრობლემები დეტალური ამოხსნის მეთოდებითა და ახსნა-განმარტებით. თუ თქვენ არც ერთი ხართ და არც მეორე, შეგიძლიათ სთხოვოთ დახმარება მათ, ვისაც ეს საკითხი ნამდვილად ესმის, ასევე დაიქირავოთ კერძო მასწავლებელი. ერთი აკადემიური საათი საკმარისია რამდენიმე მსგავსი პრობლემის შესაქმნელად.
კომბინატორიკა - მომავლის მეცნიერება?
მათემატიკისა და ფიზიკის დარგის ბევრი სპეციალისტი თვლის, რომ ეს არის კომბინატორიული პრობლემა, რომელიც შეიძლება გახდეს იმპულსი ყველა ტექნიკური მეცნიერების განვითარებაში. საკმარისია გარკვეული პრობლემების გადაჭრის არასტანდარტული მიდგომა და შემდეგ შესაძლებელი გახდება კითხვებზე პასუხის გაცემა, რომლებიც მეცნიერებს რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში აწუხებთ. ზოგიერთი მათგანი სერიოზულად ამტკიცებს, რომ კომბინატორიკა არის დახმარება ყველა თანამედროვე მეცნიერებისთვის, განსაკუთრებით ასტრონავტიკისთვის. ბევრად უფრო ადვილი იქნება გემების ფრენის გზების გამოთვლა კომბინატორული ამოცანების გამოყენებით და ასევე საშუალებას მოგცემთ განსაზღვროთ გარკვეული ციური სხეულების ზუსტი მდებარეობა.
არასტანდარტული მიდგომის განხორციელება დიდი ხანია დაიწყო აზიის ქვეყნებში, სადაც სტუდენტებიც კიგამრავლება, გამოკლება, შეკრება და გაყოფა წყდება კომბინატორიული მეთოდებით. ბევრი ევროპელი მეცნიერის გასაკვირად, ტექნიკა ნამდვილად მუშაობს. ევროპის სკოლებმა ჯერ მხოლოდ დაიწყეს კოლეგების გამოცდილებიდან სწავლა. როდის გახდება ზუსტად კომბინატორიკა მათემატიკის ერთ-ერთ მთავარ დარგად, ძნელი მისახვედრია. ახლა მეცნიერებას სწავლობენ მსოფლიოს წამყვანი მეცნიერები, რომლებიც მის პოპულარიზაციას ცდილობენ.
