გეომეტრიის ერთ-ერთი აქსიომა ამბობს, რომ ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია ერთი სწორი ხაზის დახატვა. ეს აქსიომა მოწმობს, რომ არსებობს უნიკალური რიცხვითი გამოხატულება, რომელიც ცალსახად აღწერს მითითებულ ერთგანზომილებიან გეომეტრიულ ობიექტს. განვიხილოთ სტატიაში კითხვა, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.
რა არის წერტილი და წრფე?
სივრცეში და სიბრტყეზე განტოლების სწორი ხაზის აგების საკითხის განხილვამდე, რომელიც გადის სხვადასხვა წერტილში, უნდა განვსაზღვროთ მითითებული გეომეტრიული ობიექტები.
წერტილი ცალსახად განისაზღვრება კოორდინატთა სიმრავლით კოორდინატთა ღერძების მოცემულ სისტემაში. მათ გარდა, წერტილისთვის მეტი მახასიათებელი არ არსებობს. ის არის ნულოვანი განზომილებიანი ობიექტი.
სწორ ხაზზე საუბრისას თითოეული ადამიანი წარმოიდგენს ხაზს, რომელიც გამოსახულია თეთრ ფურცელზე. ამავდროულად, შესაძლებელია ზუსტი გეომეტრიული განმარტების მიცემაეს ობიექტი. სწორი ხაზი არის წერტილების ისეთი კრებული, რომლისთვისაც თითოეული მათგანის კავშირი ყველა დანარჩენთან მისცემს პარალელური ვექტორების ერთობლიობას.
ეს განმარტება გამოიყენება სწორი ხაზის ვექტორული განტოლების დაყენებისას, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული.
რადგან ნებისმიერი ხაზი შეიძლება მოინიშნოს თვითნებური სიგრძის სეგმენტით, ამბობენ, რომ ეს არის ერთგანზომილებიანი გეომეტრიული ობიექტი.
რიცხვის ვექტორის ფუნქცია
განტოლება გამავალი სწორი ხაზის ორ წერტილში შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა ფორმით. სამგანზომილებიან და ორგანზომილებიან სივრცეებში მთავარი და ინტუიციურად გასაგები რიცხვითი გამოხატულება არის ვექტორი.
ვუშვათ, რომ არსებობს გარკვეული მიმართული სეგმენტი u¯(a; b; c). 3D სივრცეში, u¯ ვექტორი შეიძლება დაიწყოს ნებისმიერ წერტილში, ამიტომ მისი კოორდინატები განსაზღვრავენ პარალელური ვექტორების უსასრულო სიმრავლეს. თუმცა, თუ ავირჩევთ კონკრეტულ წერტილს P(x0; y0; z0) და დავაყენებთ ეს არის u¯ ვექტორის დასაწყისი, მაშინ, ამ ვექტორის გამრავლებით თვითნებურ რეალურ რიცხვზე λ, შეიძლება მივიღოთ ერთი სწორი ხაზის ყველა წერტილი სივრცეში. ანუ ვექტორული განტოლება დაიწერება როგორც:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; ბ; გ)
ცხადია, სიბრტყეში შემთხვევისთვის, რიცხვითი ფუნქცია იღებს ფორმას:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
ამ ტიპის განტოლების უპირატესობა სხვებთან შედარებით (სეგმენტებში, კანონიკური,ზოგადი ფორმა) მდგომარეობს იმაში, რომ იგი ცალსახად შეიცავს მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს. ეს უკანასკნელი ხშირად გამოიყენება იმის დასადგენად, არის თუ არა ხაზები პარალელური თუ პერპენდიკულარული.
ზოგადი სეგმენტებში და კანონიკური ფუნქცია სწორი ხაზისთვის ორგანზომილებიან სივრცეში
ამოცანების ამოხსნისას, ზოგჯერ საჭიროა დაწეროთ ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება გარკვეული, კონკრეტული ფორმით. მაშასადამე, მოცემული უნდა იყოს ამ გეომეტრიული ობიექტის ორგანზომილებიან სივრცეში დაზუსტების სხვა გზები (სიმარტივისთვის განვიხილავთ შემთხვევას სიბრტყეზე).
დავიწყოთ ზოგადი განტოლებით. მას აქვს ფორმა:
Ax + By + C=0
როგორც წესი, სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება იწერება ამ ფორმით, მხოლოდ y არის ცალსახად განსაზღვრული x-ის მეშვეობით.
ახლა გარდაქმენით ზემოთ მოცემული გამოხატულება შემდეგნაირად:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
ამ გამოსახულებას ეწოდება განტოლება სეგმენტებში, რადგან თითოეული ცვლადის მნიშვნელი გვიჩვენებს, თუ რამდენ ხანს იჭრება ხაზის სეგმენტი შესაბამის კოორდინატთა ღერძზე საწყისი წერტილის მიმართ (0; 0).
რჩება კანონიკური განტოლების მაგალითის მოყვანა. ამისათვის ჩვენ ვწერთ ვექტორულ ტოლობას:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
გამოვხატოთ პარამეტრი λ აქედან და გავაიგივოთ მიღებული ტოლობები:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
ბოლო ტოლობას ეწოდება განტოლება კანონიკური ან სიმეტრიული ფორმით.
თითოეული მათგანი შეიძლება გადაკეთდეს ვექტორად და პირიქით.
სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში: კომპილაციის ტექნიკა
უბრუნდი სტატიის კითხვას. დავუშვათ, რომ სივრცეში ორი წერტილია:
M(x1; y1; z1) და N(x 2; y2; z2)
მათში გადის ერთადერთი სწორი ხაზი, რომლის განტოლება ძალიან ადვილია ვექტორული სახით შედგენა. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ მიმართული სეგმენტის MN¯ კოორდინატებს, გვაქვს:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ ეს ვექტორი იქნება სწორი ხაზის სახელმძღვანელო, რომლის განტოლებაც უნდა მივიღოთ. იმის ცოდნა, რომ ის ასევე გადის M და N-ში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რომელიმე მათგანის კოორდინატები ვექტორული გამოსახულებისთვის. შემდეგ სასურველი განტოლება იღებს ფორმას:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
ორგანზომილებიან სივრცეში შემთხვევისთვის ვიღებთ მსგავს ტოლობას z ცვლადის მონაწილეობის გარეშე.
როგორც კი დაიწერება წრფის ვექტორული ტოლობა, ის შეიძლება გადაითარგმნოს ნებისმიერი სხვა ფორმით, რომელსაც მოითხოვს პრობლემის კითხვა.
ამოცანა:დაწერეთ ზოგადი განტოლება
ცნობილია, რომ სწორი ხაზი გადის წერტილებში კოორდინატებით (-1; 4) და (3; 2). აუცილებელია მათში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების შედგენა ზოგადი ფორმით, რომელიც გამოსახავს y-ს x-ით.
ამოცანის ამოსახსნელად, ჯერ ვწერთ განტოლებას ვექტორული სახით. ვექტორის (მეგზური) კოორდინატებია:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
მაშინ სწორი ხაზის განტოლების ვექტორული ფორმა არის შემდეგი:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
რჩება ზოგადი სახით y(x) სახით ჩაწერა. ჩვენ პირდაპირ ვწერთ ამ ტოლობას, გამოვხატავთ პარამეტრს λ და გამოვრიცხავთ მას განტოლებიდან:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-წ)/2
მიღებული კანონიკური განტოლებიდან გამოვხატავთ y და მივდივართ ამოცანის კითხვაზე პასუხამდე:
y=-0,5x + 3,5
ამ ტოლობის მართებულობის შემოწმება შესაძლებელია პრობლემის დებულებაში მითითებული წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით.
პრობლემა: სწორი ხაზი, რომელიც გადის სეგმენტის ცენტრში
ახლა მოვაგვაროთ ერთი საინტერესო პრობლემა. დავუშვათ, რომ მოცემულია ორი ქულა M(2; 1) და N(5; 0). ცნობილია, რომ სწორი ხაზი გადის სეგმენტის შუა წერტილში, რომელიც აკავშირებს წერტილებს და არის მასზე პერპენდიკულარული. დაწერეთ სეგმენტის შუაზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება ვექტორული სახით.
სასურველი რიცხვითი გამოხატულება შეიძლება ჩამოყალიბდეს ამ ცენტრის კოორდინატის გამოთვლით და მიმართულების ვექტორის განსაზღვრით, რომელიცსეგმენტი ქმნის კუთხეს 90o.
სეგმენტის შუა წერტილია:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
ახლა გამოვთვალოთ MN ვექტორის კოორდინატები:
MN¯=N - M=(3; -1)
რადგან სასურველი წრფის მიმართულების ვექტორი პერპენდიკულარულია MN¯-ზე, მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ საჭის ვექტორის უცნობი კოორდინატები (a; b):
a3 - b=0=>
b=3a
ახლა დაწერეთ ვექტორული განტოლება:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
აქ ჩვენ შევცვალეთ პროდუქტი aλ ახალი β პარამეტრით.
ამგვარად, ჩვენ შევქმენით სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის სეგმენტის ცენტრში.
