სკოლაშიც კი ყველა მოსწავლე ეცნობა "ევკლიდეს გეომეტრიის" კონცეფციას, რომლის ძირითადი დებულებები ორიენტირებულია რამდენიმე აქსიომაზე, რომელიც დაფუძნებულია ისეთ გეომეტრიულ ელემენტებზე, როგორიცაა წერტილი, სიბრტყე, წრფე, მოძრაობა. ყველა მათგანი ერთად ქმნის იმას, რაც დიდი ხანია ცნობილია ტერმინით "ევკლიდური სივრცე"..
ევკლიდური სივრცე, რომლის განმარტება ეფუძნება ვექტორების სკალარული გამრავლების კონცეფციას, არის წრფივი (აფინური) სივრცის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც აკმაყოფილებს რიგ მოთხოვნებს. ჯერ ერთი, ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის აბსოლუტურად სიმეტრიული, ანუ ვექტორი კოორდინატებით (x;y) რაოდენობრივად იდენტურია კოორდინატების მქონე ვექტორის (y;x), მაგრამ მიმართულების საწინააღმდეგოდ..
მეორე, თუ შესრულებულია ვექტორის სკალარული ნამრავლი საკუთარ თავთან, მაშინ ამ მოქმედების შედეგი დადებითი იქნება. ერთადერთი გამონაკლისი იქნება შემთხვევა, როდესაც ამ ვექტორის საწყისი და საბოლოო კოორდინატები ნულის ტოლია: ამ შემთხვევაში მისი ნამრავლი თავისთანაც იქნება ნულის ტოლი..
მესამე, სკალარული ნამრავლი არის გამანაწილებელი, ანუ შესაძლებელია მისი ერთ-ერთი კოორდინატის დაშლა ორი მნიშვნელობის ჯამად, რაც არ გამოიწვევს რაიმე ცვლილებას ვექტორების სკალარული გამრავლების საბოლოო შედეგში. და ბოლოს, მეოთხე, როდესაც ვექტორები მრავლდებიან იმავე რეალურ რიცხვზე, მათი სკალარული ნამრავლი ასევე გაიზრდება იმავე კოეფიციენტით.
თუ ეს ოთხივე პირობა დაკმაყოფილებულია, შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ გვაქვს ევკლიდური სივრცე.
ევკლიდური სივრცე პრაქტიკული თვალსაზრისით შეიძლება დახასიათდეს შემდეგი კონკრეტული მაგალითებით:
- უმარტივესი შემთხვევა არის ვექტორთა სიმრავლის არსებობა გეომეტრიის ძირითადი კანონების მიხედვით განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით.
- ევკლიდური სივრცე ასევე მიიღება, თუ ვექტორებში ვგულისხმობთ რეალური რიცხვების გარკვეულ სასრულ სიმრავლეს მოცემული ფორმულით, რომელიც აღწერს მათ სკალარული ჯამს ან ნამრავლს.
- ევკლიდური სივრცის განსაკუთრებული შემთხვევაა ეგრეთ წოდებული ნულოვანი სივრცე, რომელიც მიიღება, თუ ორივე ვექტორის სკალარული სიგრძე ნულის ტოლია.
ევკლიდეს სივრცეს აქვს რამდენიმე სპეციფიკური თვისება. პირველ რიგში, სკალარული ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან როგორც სკალარული პროდუქტის პირველი და მეორე ფაქტორიდან, აქედან შედეგი არანაირად არ შეიცვლება. მეორე, სკალარის პირველი ელემენტის განაწილებასთან ერთადპროდუქტი, მოქმედებს მეორე ელემენტის განაწილებაც. გარდა ამისა, ვექტორთა სკალარული ჯამის გარდა, განაწილება ხდება ვექტორული გამოკლების შემთხვევაშიც. დაბოლოს, მესამე, როდესაც ვექტორი მასშტაბურად მრავლდება ნულზე, შედეგიც იქნება ნული.
ამგვარად, ევკლიდური სივრცე არის ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული კონცეფცია, რომელიც გამოიყენება ვექტორების ურთიერთგანლაგების პრობლემების გადასაჭრელად, რომელიც ხასიათდება ისეთი კონცეფციით, როგორიცაა სკალარული ნამრავლი..
