თემა "არითმეტიკული პროგრესია" ისწავლება მე-9 კლასის სკოლებში ალგებრის ზოგად კურსში. ეს თემა მნიშვნელოვანია რიცხვთა რიგის მათემატიკის შემდგომი სიღრმისეული შესწავლისთვის. ამ სტატიაში გავეცნობით არითმეტიკულ პროგრესიას, მის განსხვავებას, ასევე ტიპურ ამოცანებს, რომელთა წინაშეც შეიძლება აღმოჩნდნენ სკოლის მოსწავლეები.
ალგებრული პროგრესიის ცნება
რიცხობრივი პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო ელემენტი შეიძლება მივიღოთ წინა ელემენტისგან, თუ გამოყენებულია მათემატიკური კანონი. არსებობს პროგრესირების ორი მარტივი ტიპი: გეომეტრიული და არითმეტიკული, რომელსაც ასევე უწოდებენ ალგებრულს. მოდით ვისაუბროთ მასზე უფრო დეტალურად.
წარმოვიდგინოთ რაციონალური რიცხვი, აღვნიშნოთ სიმბოლო a1, სადაც ინდექსი მიუთითებს მის რიგით რიცხვს განსახილველ სერიებში. დავამატოთ სხვა რიცხვი 1 -ს, ავღნიშნოთ ის d. მერე მეორესერიის ელემენტი შეიძლება აისახოს შემდეგნაირად: a2=a1+d. ახლა ისევ დაამატეთ d, მივიღებთ: a3=a2+d. ამ მათემატიკური ოპერაციის გაგრძელებით, შეგიძლიათ მიიღოთ რიცხვების მთელი რიგი, რომელსაც დაერქმევა არითმეტიკული პროგრესია.
როგორც ზემოაღნიშნულიდან ჩანს, ამ მიმდევრობის n-ე ელემენტის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა: a =a1+ (n -1)დ. მართლაც, გამოსახულებაში n=1 ჩანაცვლებით, მივიღებთ 1=a1, თუ n=2, მაშინ ფორმულა გულისხმობს: a2=a1 + 1d და ასე შემდეგ.
მაგალითად, თუ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა არის 5, და a1=1, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ მოცემული ტიპის რიცხვითი სერია ასე გამოიყურება: 1, 6, 11, 16, 21, … როგორც ხედავთ, მისი თითოეული წევრი წინაზე მეტია 5-ით.
ფორმულები არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობისთვის
რიცხვთა განხილული სერიის ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რიცხვი: a1 და d. ამ უკანასკნელს ამ პროგრესის განსხვავებას უწოდებენ. ის ცალსახად განსაზღვრავს მთელი სერიის ქცევას. მართლაც, თუ d დადებითია, მაშინ რიცხვების სერია მუდმივად გაიზრდება, პირიქით, უარყოფითი d-ის შემთხვევაში, სერიების რიცხვები გაიზრდება მხოლოდ მოდულით, ხოლო მათი აბსოლუტური მნიშვნელობა მცირდება n რიცხვის გაზრდით.
რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის? განვიხილოთ ორი ძირითადი ფორმულა, რომლებიც გამოიყენება ამ მნიშვნელობის გამოსათვლელად:
- d=an+1-a , ეს ფორმულა პირდაპირ გამომდინარეობს მოცემული რიცხვების სერიის განმარტებიდან.
- d=(-a1+a)/(n-1), ეს გამოხატულება მიიღება d-ის გამოხატვით მოცემული ფორმულიდან სტატიის წინა პუნქტში. გაითვალისწინეთ, რომ ეს გამოხატულება ხდება განუსაზღვრელი (0/0), თუ n=1. ეს გამოწვეულია იმით, რომ აუცილებელია სერიის მინიმუმ 2 ელემენტის ცოდნა მისი განსხვავების დასადგენად.
ეს ორი ძირითადი ფორმულა გამოიყენება პროგრესირების სხვაობის პოვნის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად. თუმცა, არსებობს კიდევ ერთი ფორმულა, რომლის შესახებაც თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ.
პირველი ელემენტების ჯამი
ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ალგებრული პროგრესიის ნებისმიერი რაოდენობის წევრების ჯამის დასადგენად, ისტორიული მტკიცებულებების მიხედვით, პირველად მიიღო მე-18 საუკუნის მათემატიკის პრინცმა კარლ გაუსმა. გერმანელმა მეცნიერმა, ჯერ კიდევ სოფლის სკოლის დაწყებით კლასებში სწავლის ბიჭმა შენიშნა, რომ რიგის ნატურალური რიცხვების 1-დან 100-მდე დასამატებლად, ჯერ პირველი ელემენტი უნდა შეაჯამოთ და ბოლო (მიღებული მნიშვნელობა ტოლი იქნება). წინაბოლო და მეორე, წინაბოლო და მესამე ელემენტების ჯამზე და ასე შემდეგ), და შემდეგ ეს რიცხვი უნდა გავამრავლოთ ამ თანხების რაოდენობაზე, ანუ 50-ზე.
ფორმულა, რომელიც ასახავს მითითებულ შედეგს კონკრეტულ მაგალითზე, შეიძლება განზოგადდეს თვითნებურ შემთხვევაზე. ეს ასე გამოიყურება: S =n/2(a +a1). გაითვალისწინეთ, რომ მითითებული მნიშვნელობის საპოვნელად, d სხვაობის ცოდნა არ არის საჭირო,თუ ცნობილია პროგრესიის ორი წევრი (a და a1).
მაგალითი 1. დაადგინეთ განსხვავება a1 და an
სერიის ორი ტერმინის გაცნობით.
მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ სტატიაში ზემოთ ნახსენები ფორმულები. მოვიყვანოთ მარტივი მაგალითი: არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა უცნობია, აუცილებელია განვსაზღვროთ რისი ტოლი იქნება, თუ a13=-5, 6 და a1. =-12, 1.
რადგან ჩვენ ვიცით რიცხვითი მიმდევრობის ორი ელემენტის მნიშვნელობები და მათგან ერთი პირველი რიცხვია, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა No.2 განსხვავების დასადგენად d. გვაქვს: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. გამოსახულებაში გამოვიყენეთ მნიშვნელობა n=13, ვინაიდან ამ სერიული ნომრის წევრი არის ცნობილია.
მიღებული განსხვავება მიუთითებს, რომ პროგრესია იზრდება, მიუხედავად იმისა, რომ პრობლემის პირობით მოცემულ ელემენტებს უარყოფითი მნიშვნელობა აქვთ. ჩანს, რომ a13>a1, თუმცა |a13|<|a 1 |.
მაგალითი 2. პროგრესიის დადებითი წევრები მაგალითში 1
გამოვიყენოთ წინა მაგალითში მიღებული შედეგი ახალი ამოცანის ამოსახსნელად. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: რომელი თანმიმდევრული რიცხვიდან იწყებენ პროგრესიის ელემენტები მაგალითში 1 დადებითი მნიშვნელობების მიღებას?
როგორც ნაჩვენებია, პროგრესია, რომელშიც a1=-12, 1 და d=0. 54167 იზრდება, ასე რომ, ზოგიერთი რიცხვიდან რიცხვები დაიწყება მხოლოდ დადებითის მიღებას. ღირებულებები. ამ n რიცხვის დასადგენად, უნდა ამოხსნათ მარტივი უტოლობა, რომელიც არისმათემატიკურად იწერება შემდეგნაირად: a >0 ან შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით გადავწერთ უტოლობას: a1 + (n-1)d>0. აუცილებელია ვიპოვოთ უცნობი n, გამოვხატოთ იგი: n>-1a1/d + 1. ახლა რჩება სხვაობის და პირველი წევრის ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლება. თანმიმდევრობის. ჩვენ ვიღებთ: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ან n>23, 338. ვინაიდან n-ს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები, მიღებული უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ სერიის ნებისმიერი წევრი 23-ზე მეტი რიცხვის ქონა დადებითი იქნება.
შეამოწმეთ თქვენი პასუხი ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით ამ არითმეტიკული პროგრესიის 23-ე და 24-ე ელემენტების გამოსათვლელად. გვაქვს: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (უარყოფითი რიცხვი); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (დადებითი მნიშვნელობა). ამრიგად, მიღებული შედეგი სწორია: n=24-დან დაწყებული რიცხვების სერიის ყველა წევრი იქნება ნულზე მეტი.
მაგალითი 3. რამდენი ჟურნალი მოერგება?
მოდით ერთი კურიოზული პრობლემა დავსვათ: ჭრის დროს გადაწყდა ნახერხი მორების დაწყობა ერთმანეთზე, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე. რამდენი ჟურნალის დაწყობა შეიძლება ამ გზით, იმის ცოდნა, რომ 10 სტრიქონი მოერგება ჯამში?
ლოგების დაწყობისას შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ერთი საინტერესო რამ: ყოველი მომდევნო მწკრივი შეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ ჟურნალს, ანუ არის ალგებრული პროგრესია, რომლის სხვაობაა d=1. ვივარაუდოთ, რომ ჟურნალების რაოდენობა თითოეულ მწკრივში არის ამ პროგრესიის წევრი,და ასევე იმის გათვალისწინებით, რომ a1=1 (მხოლოდ ერთი ჟურნალი მოერგება ზედა ნაწილში), ჩვენ ვიპოვით რიცხვს a10. გვაქვს: a10=1 + 1(10-1)=10. ანუ მე-10 რიგში, რომელიც დევს მიწაზე, იქნება 10 მორი.
ამ "პირამიდული" კონსტრუქციის მთლიანი რაოდენობა შეიძლება მიღებულ იქნას გაუსის ფორმულით. ჩვენ ვიღებთ: S10=10/2(10+1)=55 ჟურნალი.
