მარტივად და მოკლედ რომ ვთქვათ, სფერო არის მნიშვნელობები, რომლებიც ნებისმიერ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს. ამ თემის სრულად შესასწავლად, თქვენ თანდათან უნდა დაშალოთ შემდეგი პუნქტები და ცნებები. ჯერ გავიგოთ ფუნქციის განმარტება და მისი გამოჩენის ისტორია.
რა არის ფუნქცია
ყველა ზუსტი მეცნიერება გვაძლევს მრავალ მაგალითს, სადაც მოცემული ცვლადები გარკვეულწილად ერთმანეთზეა დამოკიდებული. მაგალითად, ნივთიერების სიმკვრივე მთლიანად განისაზღვრება მისი მასით და მოცულობით. იდეალური გაზის წნევა მუდმივ მოცულობაზე იცვლება ტემპერატურის მიხედვით. ამ მაგალითებს აერთიანებს ის ფაქტი, რომ ყველა ფორმულას აქვს დამოკიდებულებები ცვლადებს შორის, რომლებსაც ფუნქციური ეწოდება.
ფუნქცია არის ცნება, რომელიც გამოხატავს ერთი სიდიდის დამოკიდებულებას მეორეზე. მას აქვს ფორმა y=f(x), სადაც y არის ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია x - არგუმენტზე. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ y არის x-ის მნიშვნელობაზე დამოკიდებული ცვლადი. მნიშვნელობები, რომლებიც x-ს შეუძლია ერთად მიიღოსმოცემული ფუნქციის დომენი (D(y) ან D(f)) და შესაბამისად, y-ის მნიშვნელობები წარმოადგენს ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს (E(f) ან E(y)). არის შემთხვევები, როდესაც ფუნქცია მოცემულია რაიმე ფორმულით. ამ შემთხვევაში, განმარტების დომენი შედგება ისეთი ცვლადების მნიშვნელობისაგან, რომლებშიც ფორმულით აღნიშვნა აზრი აქვს.
არსებობს შესატყვისი ან თანაბარი ფუნქციები. ეს არის ორი ფუნქცია, რომლებსაც აქვთ მოქმედი მნიშვნელობების თანაბარი დიაპაზონები, ისევე როგორც თავად ფუნქციის მნიშვნელობები ტოლია ყველა ერთი და იგივე არგუმენტისთვის.
ზუსტი მეცნიერებების ბევრი კანონი დასახელებულია ისევე, როგორც რეალურ ცხოვრებაში არსებული სიტუაციები. ასეთი საინტერესო ფაქტია მათემატიკური ფუნქციის შესახებაც. არსებობს თეორემა ფუნქციის ლიმიტის შესახებ "სენდვიჩირებული" ორ სხვას შორის, რომლებსაც აქვთ იგივე ლიმიტი - დაახლოებით ორი პოლიციელი. ისინი ამას ასე ხსნიან: ვინაიდან ორი პოლიციელი მიჰყავს პატიმარს მათ შორის არსებულ საკანში, დამნაშავე იძულებულია წავიდეს იქ და მას უბრალოდ არჩევანი არ აქვს.
ისტორიული მახასიათებლის მითითება
ფუნქციის კონცეფცია მაშინვე არ გახდა საბოლოო და ზუსტი, მან დიდი გზა გაიარა. პირველ რიგში, მე-17 საუკუნის ბოლოს გამოქვეყნებული ფერმას სიბრტყისა და მყარი ადგილების შესავალი და შესწავლა, ნათქვამია შემდეგი:
როდესაც საბოლოო განტოლებაში ორი უცნობია, არის ადგილი.
ზოგადად, ეს ნაშრომი საუბრობს ფუნქციურ დამოკიდებულებაზე და მის მატერიალურ გამოსახულებაზე (ადგილი=ხაზი).
ასევე, დაახლოებით ამავე დროს, რენე დეკარტმა შეისწავლა ხაზები მათი განტოლებით თავის ნაშრომში "გეომეტრია" (1637), სადაც კვლავ ის ფაქტი.ორი სიდიდის ერთმანეთზე დამოკიდებულება.
ტერმინი "ფუნქციის" ხსენება მხოლოდ მე-17 საუკუნის ბოლოს გაჩნდა ლაიბნიცთან, მაგრამ არა მისი თანამედროვე ინტერპრეტაციით. თავის სამეცნიერო ნაშრომში მან ჩათვალა, რომ ფუნქცია არის სხვადასხვა სეგმენტი, რომელიც დაკავშირებულია მრუდე ხაზთან.
მაგრამ უკვე მე-18 საუკუნეში ფუნქციის უფრო სწორად განსაზღვრა დაიწყო. ბერნულმა დაწერა შემდეგი:
ფუნქცია არის მნიშვნელობა, რომელიც შედგება ცვლადისა და მუდმივისაგან.
ეილერის აზრები ასევე ახლოს იყო ამას:
ცვლადი რაოდენობის ფუნქცია არის ანალიტიკური გამოხატულება, რომელიც შედგენილია გარკვეულწილად ამ ცვლადი რაოდენობისა და რიცხვებისგან ან მუდმივი სიდიდეებისგან.
როდესაც ზოგიერთი სიდიდე სხვებზეა დამოკიდებული ისე, რომ როდესაც ეს უკანასკნელი იცვლება, ისინი თავად იცვლებიან, მაშინ პირველებს უწოდებენ ამ უკანასკნელის ფუნქციებს.
ფუნქციის გრაფიკი
ფუნქციის გრაფიკი შედგება ყველა წერტილისგან, რომელიც მიეკუთვნება კოორდინატთა სიბრტყის ღერძებს, რომელთა აბსციები იღებენ არგუმენტის მნიშვნელობებს, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის ორდინატი.
ფუნქციის ფარგლები პირდაპირ კავშირშია მის გრაფიკთან, რადგან თუ რომელიმე აბსციზა გამორიცხულია მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონით, მაშინ თქვენ უნდა დახაზოთ ცარიელი წერტილები გრაფიკზე ან დახაზოთ გრაფიკი გარკვეულ საზღვრებში. მაგალითად, თუ აიღეთ y=tgx ფორმის გრაფიკი, მაშინ მნიშვნელობა x=pi / 2 + pin, n∉R გამორიცხულია განმარტების არედან, ტანგენტური გრაფიკის შემთხვევაში, თქვენ უნდა დახაზოთვერტიკალური ხაზები y-ღერძის პარალელურად (მათ უწოდებენ ასიმპტოტებს), რომლებიც გადიან ±pi/2 წერტილებს.
ფუნქციების ნებისმიერი საფუძვლიანი და ფრთხილად შესწავლა წარმოადგენს მათემატიკის დიდ ფილიალს, რომელსაც ეწოდება კალკულუსი. ელემენტარულ მათემატიკაში ასევე ეხება ელემენტარული კითხვები ფუნქციების შესახებ, მაგალითად, მარტივი გრაფიკის აგება და ფუნქციის ზოგიერთი ძირითადი თვისების დადგენა.
რა ფუნქციის დაყენება შეიძლება
ფუნქცია შეიძლება:
- იყოს ფორმულა, მაგალითად: y=cos x;
- დაყენებულია ფორმის წყვილის ნებისმიერი ცხრილით (x; y);
- დაუყოვნებლივ გქონდეთ გრაფიკული ხედი, ამისთვის ფორმის წინა ელემენტის წყვილები (x; y) უნდა იყოს გამოსახული კოორდინატთა ღერძებზე.
ფრთხილად იყავით ზოგიერთი მაღალი დონის ამოცანის ამოხსნისას, თითქმის ნებისმიერი გამონათქვამი შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად y (x) ფუნქციის მნიშვნელობის რაიმე არგუმენტის მიმართ. ასეთ ამოცანებში განსაზღვრების დომენის პოვნა შეიძლება იყოს გადაწყვეტის გასაღები.
რისთვის არის შესაძლებლობები?
პირველი, რაც თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციის შესახებ, რომ შეისწავლოთ ან შექმნათ, არის მისი ფარგლები. გრაფიკი უნდა შეიცავდეს მხოლოდ იმ წერტილებს, სადაც ფუნქცია შეიძლება არსებობდეს. განმარტების დომენი (x) შეიძლება ასევე მოიხსენიებოდეს, როგორც მისაღები მნიშვნელობების დომენი (შემოკლებით, როგორც ODZ).
ფუნქციების გრაფიკის სწორად და სწრაფად ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ ამ ფუნქციის დომენი, რადგან გრაფიკის გარეგნობა და ერთგულება მასზეა დამოკიდებული.მშენებლობა. მაგალითად, y=√x ფუნქციის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ x-ს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობები. ამიტომ ის აგებულია მხოლოდ პირველ კოორდინატულ კვადრატში.
განმარტების ფარგლები ელემენტარული ფუნქციების მაგალითზე
თავის არსენალში მათემატიკას აქვს მარტივი, განსაზღვრული ფუნქციების მცირე რაოდენობა. მათ აქვთ შეზღუდული ფარგლები. ამ საკითხის გადაწყვეტა არ შეგიქმნის სირთულეებს მაშინაც კი, თუ თქვენ წინ გაქვთ ე.წ. ეს მხოლოდ რამდენიმე მარტივის კომბინაციაა.
- ასე რომ, ფუნქცია შეიძლება იყოს წილადი, მაგალითად: f(x)=1/x. ამრიგად, ცვლადი (ჩვენი არგუმენტი) არის მნიშვნელში და ყველამ იცის, რომ წილადის მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, შესაბამისად, არგუმენტმა შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა 0-ის გარდა. აღნიშვნა ასე გამოიყურება: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). თუ მნიშვნელში არის რაიმე გამოხატულება ცვლადით, მაშინ უნდა ამოხსნათ განტოლება x-ისთვის და გამორიცხოთ მნიშვნელობები, რომლებიც აქცევს მნიშვნელს 0-ზე. სქემატური წარმოდგენისთვის საკმარისია 5 კარგად შერჩეული წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი იქნება ჰიპერბოლა ვერტიკალური ასიმპტოტით, რომელიც გადის წერტილში (0; 0) და კომბინაციაში Ox და Oy ღერძებზე. თუ გრაფიკული გამოსახულება იკვეთება ასიმპტოტებთან, მაშინ ასეთი შეცდომა ჩაითვლება ყველაზე უხეში.
- მაგრამ რა არის root-ის დომენი? ფუნქციის დომენს რადიკალური გამოსახულებით (f(x)=√(2x + 5)), რომელიც შეიცავს ცვლადს, ასევე აქვს თავისი ნიუანსი (გამოიყენება მხოლოდ ლუწი ხარისხის ფესვზე). როგორცარითმეტიკული ფესვი არის დადებითი გამოხატულება ან 0-ის ტოლი, მაშინ ძირეული გამოხატულება უნდა იყოს 0-ზე მეტი ან ტოლი, ვხსნით შემდეგ უტოლობას: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, შესაბამისად, ამის დომენი ფუნქცია: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). გრაფიკი არის პარაბოლის ერთ-ერთი განშტოება, რომელიც ბრუნავს 90 გრადუსით, რომელიც მდებარეობს პირველ კოორდინატულ კვადრატში.
- თუ საქმე გვაქვს ლოგარითმულ ფუნქციასთან, მაშინ უნდა გვახსოვდეს, რომ არსებობს შეზღუდვა ლოგარითმის ფუძესთან და ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებთან დაკავშირებით, ამ შემთხვევაში განსაზღვრების დომენი შეგიძლიათ იპოვოთ როგორც მოჰყვება. გვაქვს ფუნქცია: y=loga(x + 7), ვხსნით უტოლობას: x + 7 > 0, x > -7. მაშინ ამ ფუნქციის დომენი არის D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- ასევე მიაქციეთ ყურადღება y=tgx და y=ctgx ფორმის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, რადგან y=tgx=sinx/cos/x და y=ctgx=cosx/sinx, ამიტომ, თქვენ უნდა გამორიცხოთ მნიშვნელობები რომლის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. თუ იცნობთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს, მათი დომენის გაგება მარტივი ამოცანაა.
როგორ განსხვავდება რთული ფუნქციებით მუშაობა
დაიმახსოვრე რამდენიმე ძირითადი წესი. თუ ჩვენ ვმუშაობთ კომპლექსურ ფუნქციასთან, მაშინ არ არის საჭირო რაღაცის ამოხსნა, გამარტივება, წილადების დამატება, უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე შემცირება და ფესვების ამოღება. ჩვენ უნდა გამოვიკვლიოთ ეს ფუნქცია, რადგან განსხვავებულმა (თუნდაც იდენტურმა) ოპერაციებმა შეიძლება შეცვალოს ფუნქციის ფარგლები, რაც გამოიწვევს არასწორ პასუხს.
მაგალითად, გვაქვს რთული ფუნქცია: y=(x2 - 4)/(x - 2). ჩვენ არ შეგვიძლია შევამციროთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, რადგან ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ≠ 2, და ეს არის ფუნქციის დომენის პოვნის ამოცანა, ასე რომ, ჩვენ არ ვაქცევთ მრიცხველს და არ ვხსნით რაიმე უტოლობას, რადგან მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქცია არ არსებობს, შეუიარაღებელი თვალით ჩანს. ამ შემთხვევაში, x ვერ მიიღებს 2 მნიშვნელობას, რადგან მნიშვნელი ვერ მიდის 0-ზე, აღნიშვნა ასე გამოიყურება: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
საპასუხო ფუნქციები
დაწყებისთვის, ღირს იმის თქმა, რომ ფუნქცია შეიძლება გახდეს შექცევადი მხოლოდ გაზრდის ან შემცირების ინტერვალით. შებრუნებული ფუნქციის საპოვნელად, თქვენ უნდა შეცვალოთ x და y აღნიშვნით და ამოხსნათ x-ის განტოლება. განმარტების დომენები და მნიშვნელობის დომენები უბრალოდ შებრუნებულია.
შექცევადობის მთავარი პირობა არის ფუნქციის მონოტონური ინტერვალი, თუ ფუნქციას აქვს ზრდის და კლების ინტერვალები, მაშინ შესაძლებელია ნებისმიერი ერთი ინტერვალის შებრუნებული ფუნქციის შედგენა (მზარდი ან კლება).
მაგალითად, ექსპონენციალური ფუნქციისთვის y=ex საპასუხო არის ბუნებრივი ლოგარითმული ფუნქცია y=logea=lna. ტრიგონომეტრიისთვის ეს იქნება ფუნქციები პრეფიქსით arc-: y=sinx და y=arcsinx და ა.შ. გრაფიკები განთავსდება სიმეტრიულად ზოგიერთი ღერძის ან ასიმპტოტის მიმართ.
დასკვნა
მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის ძიება მოდის ფუნქციების გრაფიკის გამოკვლევაზე (თუ არსებობს),უტოლობების საჭირო სპეციფიკური სისტემის ჩაწერა და ამოხსნა.
ასე რომ, ეს სტატია დაგეხმარა იმის გაგებაში, თუ რისთვის არის ფუნქციის ფარგლები და როგორ იპოვოთ იგი. ვიმედოვნებთ, რომ ის დაგეხმარებათ საბაზისო სკოლის კურსის კარგად გაგებაში.
